Bài học

Thể tích hình chóp đều

Mục tiêu bài học

Sau bài này em tính được thể tích hình chóp đều bằng công thức $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$ , và biết tìm chiều cao $h$ bằng Pythagore trước khi tính $V$ khi đề không cho sẵn chiều cao — đúng kỹ năng vừa học ở bài trước.

Sau bài này em tính được thể tích hình chóp đều bằng công thức $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$, và biết tìm chiều cao $h$ bằng Pythagore trước khi tính $V$ khi đề không cho sẵn chiều cao — đúng kỹ năng vừa học ở bài trước.

Kiến thức cần nhớ

Trước khi vào bài

Em cần nhớ: chiều cao thật $h=SO$ (khác trung đoạn $d$ ) và cách tìm nó bằng Pythagore từ bài trước; công thức diện tích đáy $S_{đáy}=a^2$ với đáy hình vuông; và thể tích hình lăng trụ đứng $V=S_{đáy}\times h$ đã học ở chương trước đó của lớp 8.

Em cần nhớ: chiều cao thật $h=SO$ (khác trung đoạn $d$) và cách tìm nó bằng Pythagore từ bài trước; công thức diện tích đáy $S_{đáy}=a^2$ với đáy hình vuông; và thể tích hình lăng trụ đứng $V=S_{đáy}\times h$ đã học ở chương trước đó của lớp 8.

Khởi động

Nếu lấy một hình lăng trụ đứng và một hình chóp có cùng đáy, cùng chiều cao, rồi đổ đầy cát vào hình chóp và trút sang hình lăng trụ, phải đổ đúng ba lần hình chóp mới đầy hình lăng trụ. Kết quả này — quen thuộc trong hoạt động thực hành SGK — cho thấy thể tích hình chóp luôn bằng đúng một phần ba thể tích lăng trụ có cùng đáy và cùng chiều cao. Bài học hôm nay dùng thẳng kết quả đó làm công thức.

Kiến thức trọng tâm

Thể tích hình chóp đều tính bằng: $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$ , trong đó $S_{đáy}$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao THẬT của hình chóp — đoạn $SO$ vuông góc từ đỉnh xuống tâm đáy, không phải trung đoạn $d$ . Đây là chỗ khác biệt lớn nhất so với hai công thức diện tích đã học: $S_{xq}$ và $S_{tp}$ dùng trung đoạn (đo trên mặt bên), còn $V$ bắt buộc dùng chiều cao thật (đo xuyên qua khối hình).

Thể tích hình chóp đều tính bằng: $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$, trong đó $S_{đáy}$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao THẬT của hình chóp — đoạn $SO$ vuông góc từ đỉnh xuống tâm đáy, không phải trung đoạn $d$. Đây là chỗ khác biệt lớn nhất so với hai công thức diện tích đã học: $S_{xq}$ và $S_{tp}$ dùng trung đoạn (đo trên mặt bên), còn $V$ bắt buộc dùng chiều cao thật (đo xuyên qua khối hình).

Vì sao chỉ chấp nhận hệ số 1/3 mà không chứng minh

Chứng minh chặt chẽ vì sao hệ số đúng bằng $\dfrac{1}{3}$ (chứ không phải một số khác) cần đến công cụ tích phân hoặc lập luận Cavalieri, vượt xa chương trình lớp 8. SGK và khóa học này đều dùng hoạt động đổ cát/đổ nước như một cách quan sát và chấp nhận hệ số đó — đây là cách trình bày trung thực với chương trình, không phải "chứng minh" theo đúng nghĩa toán học.

Công thức áp dụng như nhau cho cả hình chóp tứ giác đều lẫn tam giác đều — chỉ cần thay đúng công thức diện tích đáy tương ứng ( $a^2$ cho đáy vuông, giá trị đã cho hoặc đã tính cho đáy tam giác đều) rồi nhân với chiều cao thật và chia ba. Cũng cần chú ý đơn vị: nếu cạnh đáy đo bằng mét mà chiều cao đo bằng centimét, phải đổi về cùng một đơn vị trước khi thay số, nếu không thể tích sẽ sai hoàn toàn dù công thức viết đúng.

Công thức áp dụng như nhau cho cả hình chóp tứ giác đều lẫn tam giác đều — chỉ cần thay đúng công thức diện tích đáy tương ứng ($a^2$ cho đáy vuông, giá trị đã cho hoặc đã tính cho đáy tam giác đều) rồi nhân với chiều cao thật và chia ba. Cũng cần chú ý đơn vị: nếu cạnh đáy đo bằng mét mà chiều cao đo bằng centimét, phải đổi về cùng một đơn vị trước khi thay số, nếu không thể tích sẽ sai hoàn toàn dù công thức viết đúng.

Khi đề bài cho sẵn $h$ , chỉ cần thay số. Nhưng phần lớn đề kiểm tra và đề thi cho trung đoạn hoặc cạnh bên thay vì chiều cao thật — khi đó phải dùng lại đúng kỹ thuật Pythagore của bài trước để tìm $h$ trước, rồi mới thay vào công thức thể tích. Bỏ qua bước tìm $h$ và dùng nhầm trung đoạn vào công thức $V$ là lỗi nặng nhất của bài này, vì $V$ sẽ sai hẳn chứ không chỉ lệch một chút.

Khi đề bài cho sẵn $h$, chỉ cần thay số. Nhưng phần lớn đề kiểm tra và đề thi cho trung đoạn hoặc cạnh bên thay vì chiều cao thật — khi đó phải dùng lại đúng kỹ thuật Pythagore của bài trước để tìm $h$ trước, rồi mới thay vào công thức thể tích. Bỏ qua bước tìm $h$ và dùng nhầm trung đoạn vào công thức $V$ là lỗi nặng nhất của bài này, vì $V$ sẽ sai hẳn chứ không chỉ lệch một chút.

Bước đầu tiên là bước dễ bỏ sót nhất khi đề không cho thẳng chiều cao.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Thể tích khi đã biết chiều cao

1
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, chiều cao $h=4$ cm (kết quả Pythagore từ Ví dụ 1 bài trước). Tính thể tích.
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, chiều cao $h=4$ cm (kết quả Pythagore từ Ví dụ 1 bài trước). Tính thể tích.
2
$S_{đáy}=a^2=6^2=36\text{ cm}^2$ .
$S_{đáy}=a^2=6^2=36\text{ cm}^2$.
3
$V=\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48\text{ cm}^3$ .
$V=\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48\text{ cm}^3$.
4
Đáy là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên $S_{đáy}=a^2=36\text{ cm}^2$ . (1)

Theo Ví dụ 1 của bài trước, chiều cao $h=SO=4$ cm. (2)

Theo công thức thể tích hình chóp đều: $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$ . (3)

Thay (1) và (2) vào (3): $V=\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48\text{ cm}^3$ .

Vậy thể tích của hình chóp là $48\text{ cm}^3$ .
Đáy là hình vuông cạnh $a=6$ cm nên $S_{đáy}=a^2=36\text{ cm}^2$. (1) Theo Ví dụ 1 của bài trước, chiều cao $h=SO=4$ cm. (2) Theo công thức thể tích hình chóp đều: $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$. (3) Thay (1) và (2) vào (3): $V=\dfrac{1}{3}\times 36\times 4=48\text{ cm}^3$. Vậy thể tích của hình chóp là $48\text{ cm}^3$.

Lời giải có hình

Tam giác vuông SOM — tìm chiều cao trước khi tính thể tích

Bước 1

Đề chỉ cho cạnh đáy a = 8 cm và trung đoạn SM = 5 cm — chưa có chiều cao thật.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Dạng thi: tìm chiều cao trước rồi mới tính thể tích

1
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=8$ cm, trung đoạn $d=5$ cm. Tính thể tích.
Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=8$ cm, trung đoạn $d=5$ cm. Tính thể tích.
2
Đề chỉ cho trung đoạn, chưa có chiều cao thật $h$ — phải tìm $h$ trước bằng Pythagore, đúng như hình vẽ ở trên.
Đề chỉ cho trung đoạn, chưa có chiều cao thật $h$ — phải tìm $h$ trước bằng Pythagore, đúng như hình vẽ ở trên.
3
$OM=\dfrac{8}{2}=4$ cm; $SO^2=SM^2-OM^2=5^2-4^2=9$ , suy ra $h=SO=3$ cm.
$OM=\dfrac{8}{2}=4$ cm; $SO^2=SM^2-OM^2=5^2-4^2=9$, suy ra $h=SO=3$ cm.
4
$S_{đáy}=8^2=64\text{ cm}^2$ ; $V=\dfrac{1}{3}\times 64\times 3=64\text{ cm}^3$ .
$S_{đáy}=8^2=64\text{ cm}^2$; $V=\dfrac{1}{3}\times 64\times 3=64\text{ cm}^3$.
5
Đề chỉ cho trung đoạn $d=SM=5$ cm, chưa có chiều cao thật, nên phải tìm $h=SO$ trước khi tính thể tích. (1)

$OM=\dfrac{a}{2}=\dfrac{8}{2}=4$ cm; vì $SO \perp OM$ , tam giác $SOM$ vuông tại $O$ với cạnh huyền $SM=5$ cm. (2)

Theo Pythagore: $SO^2=SM^2-OM^2=5^2-4^2=9$ , suy ra $SO=3$ cm. (3)

Diện tích đáy $S_{đáy}=a^2=8^2=64\text{ cm}^2$ . (4)

Theo công thức thể tích, thay (3) và (4): $V=\dfrac{1}{3}\times 64\times 3=64\text{ cm}^3$ .

Vậy thể tích của hình chóp là $64\text{ cm}^3$ .
Đề chỉ cho trung đoạn $d=SM=5$ cm, chưa có chiều cao thật, nên phải tìm $h=SO$ trước khi tính thể tích. (1) $OM=\dfrac{a}{2}=\dfrac{8}{2}=4$ cm; vì $SO \perp OM$, tam giác $SOM$ vuông tại $O$ với cạnh huyền $SM=5$ cm. (2) Theo Pythagore: $SO^2=SM^2-OM^2=5^2-4^2=9$, suy ra $SO=3$ cm. (3) Diện tích đáy $S_{đáy}=a^2=8^2=64\text{ cm}^2$. (4) Theo công thức thể tích, thay (3) và (4): $V=\dfrac{1}{3}\times 64\times 3=64\text{ cm}^3$. Vậy thể tích của hình chóp là $64\text{ cm}^3$.

Sai lầm phổ biến

Lỗi nặng nhất và phổ biến nhất: dùng nhầm trung đoạn $d$ thay cho chiều cao thật $h$ trong công thức $V=\dfrac{1}{3}S_{đáy}h$ — hai đại lượng này gần bằng nhau về độ lớn nên sai số khó nhận ra bằng mắt, nhưng công thức thể tích chỉ đúng với $h$ . Lỗi thứ hai là quên nhân $\dfrac{1}{3}$ , nhầm công thức hình chóp với công thức lăng trụ $V=S_{đáy}\times h$ . Lỗi thứ ba, ít gặp hơn nhưng vẫn xuất hiện trong bài toán ngược (cho $V$ tìm $h$ hoặc tìm cạnh đáy): quên nhân lại $3$ khi chuyển vế, tức viết nhầm $S_{đáy}=\dfrac{V}{h}$ thay vì $S_{đáy}=\dfrac{3V}{h}$ .

Lỗi nặng nhất và phổ biến nhất: dùng nhầm trung đoạn $d$ thay cho chiều cao thật $h$ trong công thức $V=\dfrac{1}{3}S_{đáy}h$ — hai đại lượng này gần bằng nhau về độ lớn nên sai số khó nhận ra bằng mắt, nhưng công thức thể tích chỉ đúng với $h$. Lỗi thứ hai là quên nhân $\dfrac{1}{3}$, nhầm công thức hình chóp với công thức lăng trụ $V=S_{đáy}\times h$. Lỗi thứ ba, ít gặp hơn nhưng vẫn xuất hiện trong bài toán ngược (cho $V$ tìm $h$ hoặc tìm cạnh đáy): quên nhân lại $3$ khi chuyển vế, tức viết nhầm $S_{đáy}=\dfrac{V}{h}$ thay vì $S_{đáy}=\dfrac{3V}{h}$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ

Thể tích hình chóp đều: $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$ , với $h$ LUÔN là chiều cao thật (khác trung đoạn). Khi đề không cho sẵn $h$ , tìm nó trước bằng Pythagore trong tam giác $SOM$ hoặc $SOA$ như bài trước, rồi mới thay vào công thức thể tích.

Thể tích hình chóp đều: $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$, với $h$ LUÔN là chiều cao thật (khác trung đoạn). Khi đề không cho sẵn $h$, tìm nó trước bằng Pythagore trong tam giác $SOM$ hoặc $SOA$ như bài trước, rồi mới thay vào công thức thể tích.

Ba công thức của chương — $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ — giờ đã đủ trong tay em. Bài ôn tập cuối chương ghép cả ba lại trong một tình huống thực tế duy nhất, đúng như một bài toán tổng hợp trong đề kiểm tra thật sự sẽ yêu cầu.

Ba công thức của chương — $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$ — giờ đã đủ trong tay em. Bài ôn tập cuối chương ghép cả ba lại trong một tình huống thực tế duy nhất, đúng như một bài toán tổng hợp trong đề kiểm tra thật sự sẽ yêu cầu.