Bài học

Ôn tập — Diện tích và thể tích hình chóp đều trong bài toán tổng hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này em giải được một bài toán tổng hợp yêu cầu cả ba đại lượng — diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích — trên cùng một hình chóp, và biết chọn đúng công thức nào ứng với yêu cầu nào của đề, đúng như một bài toán thực tế hoặc một câu đề kiểm tra cuối chương sẽ hỏi.

Kiến thức cần nhớ

Ba công thức của chương, nhắc lại một lần

$S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ (dùng trung đoạn $d$ ); $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$ ; $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$ (dùng chiều cao thật $h$ , tìm bằng Pythagore trong tam giác $SOM$ hoặc $SOA$ nếu đề chưa cho sẵn). Nhầm $d$ với $h$ là lỗi lớn nhất xuyên suốt cả chương.

$S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d$ (dùng trung đoạn $d$); $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}$; $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h$ (dùng chiều cao thật $h$, tìm bằng Pythagore trong tam giác $SOM$ hoặc $SOA$ nếu đề chưa cho sẵn). Nhầm $d$ với $h$ là lỗi lớn nhất xuyên suốt cả chương.

Khởi động

Lớp của bạn Hoa được giao làm một mô hình kim tự tháp bằng bìa cứng cho buổi triển lãm địa lý, dạng hình chóp tứ giác đều. Cô giáo yêu cầu tính ba con số: diện tích bìa cần cho phần xung quanh, diện tích bìa nếu dán kín cả đáy, và thể tích không gian bên trong mô hình. Đây chính là một bài toán tổng hợp thật, không phải bài tập được chia sẵn ba câu nhỏ như trong các bài trước.

Kiến thức trọng tâm

Một bài toán tổng hợp về hình chóp đều luôn giải theo cùng một quy trình, bất kể đáy vuông hay đáy tam giác đều. Trước hết, xác định đáy là hình gì và các đại lượng đề đã cho — cạnh đáy, cùng với trung đoạn hoặc cạnh bên hoặc chiều cao. Nếu đề yêu cầu thể tích mà chưa cho chiều cao thật, tìm nó trước bằng Pythagore trong tam giác vuông tại tâm đáy, đúng kỹ thuật hai bài trước.

Sau đó, chọn đúng công thức theo đúng yêu cầu của đề: $S_{xq}$ nếu chỉ cần phần bao quanh (hoặc vật thể hở đáy), $S_{tp}$ nếu cần bọc kín toàn bộ, $V$ nếu hỏi sức chứa hoặc lượng vật liệu đặc bên trong. Ba đại lượng này độc lập với nhau về mặt tính toán nhưng dùng chung một bộ dữ kiện của cùng một hình, nên khi đề hỏi cả ba, em chỉ cần tính từng đại lượng đúng một lần rồi tái sử dụng — như $S_{xq}$ đã tính sẽ dùng lại ngay trong $S_{tp}$ , không cần tính lại từ đầu.

Kiểm tra lại kết quả có hợp lý không

Sau khi tính xong, đối chiếu nhanh ba con số: $S_{tp}$ luôn lớn hơn $S_{xq}$ (vì cộng thêm đáy dương), và thể tích luôn nhỏ hơn hẳn tích $S_{đáy}\times h$ (vì còn nhân thêm $\dfrac{1}{3}$ ). Nếu kết quả đi ngược lại — ví dụ $S_{tp}$ nhỏ hơn $S_{xq}$ , hoặc $V$ gần bằng $S_{đáy}\times h$ — gần như chắc chắn có một bước tính sai ở phía trên, cần rà lại trước khi kết luận.

Sau khi tính xong, đối chiếu nhanh ba con số: $S_{tp}$ luôn lớn hơn $S_{xq}$ (vì cộng thêm đáy dương), và thể tích luôn nhỏ hơn hẳn tích $S_{đáy}\times h$ (vì còn nhân thêm $\dfrac{1}{3}$). Nếu kết quả đi ngược lại — ví dụ $S_{tp}$ nhỏ hơn $S_{xq}$, hoặc $V$ gần bằng $S_{đáy}\times h$ — gần như chắc chắn có một bước tính sai ở phía trên, cần rà lại trước khi kết luận.

Lời giải có hình

Tam giác vuông SOM của mô hình kim tự tháp

Bước 1

Mô hình có cạnh đáy a = 10 cm, trung đoạn SM = 13 cm. OM = a/2 = 5 cm.

Bước chọn công thức (bước 3) là bước học sinh hay nhảy cóc bỏ qua nhất khi làm bài nhanh.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Mô hình kim tự tháp: cả ba đại lượng trên cùng một hình

1
Mô hình kim tự tháp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=10$ cm, trung đoạn $d=13$ cm. Tính $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , và $V$ (biết chiều cao đã tìm ở trên là $h=12$ cm).
Mô hình kim tự tháp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $a=10$ cm, trung đoạn $d=13$ cm. Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$, và $V$ (biết chiều cao đã tìm ở trên là $h=12$ cm).
2
Chu vi đáy $C_{đáy}=4\times 10=40$ cm; $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 40\times 13=260\text{ cm}^2$ .
Chu vi đáy $C_{đáy}=4\times 10=40$ cm; $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 40\times 13=260\text{ cm}^2$.
3
$S_{đáy}=10^2=100\text{ cm}^2$ ; $S_{tp}=260+100=360\text{ cm}^2$ .
$S_{đáy}=10^2=100\text{ cm}^2$; $S_{tp}=260+100=360\text{ cm}^2$.
4
$V=\dfrac{1}{3}\times 100\times 12=400\text{ cm}^3$ .
$V=\dfrac{1}{3}\times 100\times 12=400\text{ cm}^3$.
5
Đáy là hình vuông cạnh $a=10$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=4a=40$ cm và diện tích đáy $S_{đáy}=a^2=100\text{ cm}^2$ . (1)

Theo công thức: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d=\dfrac{1}{2}\times 40\times 13=260\text{ cm}^2$ . (2)

$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=260+100=360\text{ cm}^2$ , thay (1) và (2). (3)

Chiều cao thật tìm được bằng Pythagore trong tam giác vuông $SOM$ (với $OM=5$ cm, $SM=13$ cm) là $h=12$ cm; $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h=\dfrac{1}{3}\times 100\times 12=400\text{ cm}^3$ .

Vậy mô hình có $S_{xq}=260\text{ cm}^2$ , $S_{tp}=360\text{ cm}^2$ , $V=400\text{ cm}^3$ .
Đáy là hình vuông cạnh $a=10$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=4a=40$ cm và diện tích đáy $S_{đáy}=a^2=100\text{ cm}^2$. (1) Theo công thức: $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d=\dfrac{1}{2}\times 40\times 13=260\text{ cm}^2$. (2) $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=260+100=360\text{ cm}^2$, thay (1) và (2). (3) Chiều cao thật tìm được bằng Pythagore trong tam giác vuông $SOM$ (với $OM=5$ cm, $SM=13$ cm) là $h=12$ cm; $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h=\dfrac{1}{3}\times 100\times 12=400\text{ cm}^3$. Vậy mô hình có $S_{xq}=260\text{ cm}^2$, $S_{tp}=360\text{ cm}^2$, $V=400\text{ cm}^3$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Bài toán hỗn hợp đáy tam giác đều, luyện làm tròn số

1
Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=10$ cm, diện tích đáy đã cho là $15,6\text{ cm}^2$ và chiều cao đã cho là $h=8$ cm. Tính $S_{xq}$ , $S_{tp}$ , $V$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất nếu cần).
Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy $a=6$ cm, trung đoạn $d=10$ cm, diện tích đáy đã cho là $15,6\text{ cm}^2$ và chiều cao đã cho là $h=8$ cm. Tính $S_{xq}$, $S_{tp}$, $V$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất nếu cần).
2
Chu vi đáy $=3\times 6=18$ cm; $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 18\times 10=90\text{ cm}^2$ .
Chu vi đáy $=3\times 6=18$ cm; $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times 18\times 10=90\text{ cm}^2$.
3
$S_{tp}=90+15,6=105,6\text{ cm}^2$ .
$S_{tp}=90+15,6=105,6\text{ cm}^2$.
4
$V=\dfrac{1}{3}\times 15,6\times 8=41,6\text{ cm}^3$ .
$V=\dfrac{1}{3}\times 15,6\times 8=41,6\text{ cm}^3$.
5
Đáy là tam giác đều cạnh $a=6$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=3a=18$ cm. (1)

$S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d=\dfrac{1}{2}\times 18\times 10=90\text{ cm}^2$ , thay (1). (2)

Theo đề, $S_{đáy}=15,6\text{ cm}^2$ ; $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=90+15,6=105,6\text{ cm}^2$ , thay (2). (3)

Theo đề, $h=8$ cm; $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h=\dfrac{1}{3}\times 15,6\times 8=41,6\text{ cm}^3$ .

Vậy $S_{xq}=90\text{ cm}^2$ , $S_{tp}=105,6\text{ cm}^2$ , $V=41,6\text{ cm}^3$ (đã làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất theo đề bài).
Đáy là tam giác đều cạnh $a=6$ cm nên chu vi đáy $C_{đáy}=3a=18$ cm. (1) $S_{xq}=\dfrac{1}{2}\times C_{đáy}\times d=\dfrac{1}{2}\times 18\times 10=90\text{ cm}^2$, thay (1). (2) Theo đề, $S_{đáy}=15,6\text{ cm}^2$; $S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}=90+15,6=105,6\text{ cm}^2$, thay (2). (3) Theo đề, $h=8$ cm; $V=\dfrac{1}{3}\times S_{đáy}\times h=\dfrac{1}{3}\times 15,6\times 8=41,6\text{ cm}^3$. Vậy $S_{xq}=90\text{ cm}^2$, $S_{tp}=105,6\text{ cm}^2$, $V=41,6\text{ cm}^3$ (đã làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất theo đề bài).

Tổng kết các sai lầm của cả chương

Bốn lỗi hay gặp nhất xuyên suốt chương: (1) dùng cạnh bên hoặc trung đoạn thay cho chiều cao thật khi tính $V$ ; (2) quên chia đôi khi tính $S_{xq}$ ; (3) quên nhân $\dfrac{1}{3}$ khi tính $V$ ; (4) cộng thêm diện tích đáy dù đề mô tả một vật hở đáy. Trước khi nộp bài, đọc lại đúng đại lượng đề hỏi và đối chiếu công thức đã dùng.

Bốn lỗi hay gặp nhất xuyên suốt chương: (1) dùng cạnh bên hoặc trung đoạn thay cho chiều cao thật khi tính $V$; (2) quên chia đôi khi tính $S_{xq}$; (3) quên nhân $\dfrac{1}{3}$ khi tính $V$; (4) cộng thêm diện tích đáy dù đề mô tả một vật hở đáy. Trước khi nộp bài, đọc lại đúng đại lượng đề hỏi và đối chiếu công thức đã dùng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Ghi nhớ cả chương

Hình chóp đều = đáy đều (tam giác đều hoặc hình vuông) + đỉnh trên tâm đáy. Trung đoạn phục vụ $S_{xq}$ , $S_{tp}$ ; chiều cao thật (tìm bằng Pythagore nếu cần) phục vụ $V$ . Luôn đối chiếu công thức với đúng đại lượng đề hỏi, không đoán theo thói quen.

Hình chóp đều = đáy đều (tam giác đều hoặc hình vuông) + đỉnh trên tâm đáy. Trung đoạn phục vụ $S_{xq}$, $S_{tp}$; chiều cao thật (tìm bằng Pythagore nếu cần) phục vụ $V$. Luôn đối chiếu công thức với đúng đại lượng đề hỏi, không đoán theo thói quen.

So với các bài trước, khác biệt lớn nhất của một bài ôn tập tổng hợp không nằm ở công thức — cả ba công thức đều đã quen thuộc — mà nằm ở việc đề không còn nói rõ "hãy dùng công thức nào". Kỹ năng thật sự được kiểm tra là đọc đúng ngữ cảnh: một chi tiết nhỏ như "hở đáy" hay "đặc bên trong" quyết định công thức nào cần dùng, đúng như hai câu luyện tập độc lập bên dưới.

Khóa học tiếp theo rời khỏi hình học để bước sang một mạch kiến thức khác của lớp 8: thống kê và xác suất — thu thập, phân loại dữ liệu, đọc biểu đồ, và tính khả năng xảy ra của một biến cố. Kỹ năng đọc kỹ đề trước khi chọn công thức mà em vừa luyện ở bài này sẽ còn dùng lại, dù công thức bây giờ sẽ khác hẳn.