Bài học

Bài toán phần trăm và số học

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng được quy trình năm bước để giải bài toán tăng/giảm theo phần trăm liên tiếp, và bài toán tìm hai số biết tổng cùng một quan hệ khác giữa chúng.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần dùng lại khái niệm phần trăm của bài trước, và quy trình năm bước của cả ba bài đã học trong chương này. Em cũng cần nhớ cách nhân, chia số thập phân — vì các hệ số phần trăm trong bài này thường viết dưới dạng thập phân như $0{,}8$ hay $1{,}1$ thay vì phân số.

Khởi động

Một chiếc áo được giảm giá 20% trong đợt khuyến mãi, sau đó vì bán chậm, cửa hàng lại tăng giá mới thêm 10%. Giá cuối cùng có bằng giá gốc ban đầu không? Nhiều bạn đoán "có" vì nghĩ 20% và 10% bù trừ cho nhau gần đúng — thực tế thì sao?

Kiến thức trọng tâm

Khi một đại lượng giảm $x\%$ so với giá trị ban đầu $A$ , giá trị mới bằng $(100-x)\%$ của $A$ , tức $A\times\dfrac{100-x}{100}$ . Khi tăng $y\%$ so với một giá trị $B$ , giá trị mới bằng $B\times\dfrac{100+y}{100}$ .

Khi một đại lượng giảm $x\%$ so với giá trị ban đầu $A$, giá trị mới bằng $(100-x)\%$ của $A$, tức $A\times\dfrac{100-x}{100}$. Khi tăng $y\%$ so với một giá trị $B$, giá trị mới bằng $B\times\dfrac{100+y}{100}$.

Điểm dễ nhầm nhất: khi có HAI lần thay đổi liên tiếp (giảm rồi tăng, hoặc tăng rồi giảm), lần thay đổi THỨ HAI luôn tính trên GIÁ TRỊ MỚI sau lần thay đổi thứ nhất, chứ KHÔNG tính trên giá trị gốc ban đầu. Vì vậy giảm 20% rồi tăng 10% không cho lại giá gốc, và cũng không đơn giản là "giảm 10%" — phải nhân liên tiếp hai hệ số $0{,}8$ và $1{,}1$ .

Điểm dễ nhầm nhất: khi có HAI lần thay đổi liên tiếp (giảm rồi tăng, hoặc tăng rồi giảm), lần thay đổi THỨ HAI luôn tính trên GIÁ TRỊ MỚI sau lần thay đổi thứ nhất, chứ KHÔNG tính trên giá trị gốc ban đầu. Vì vậy giảm 20% rồi tăng 10% không cho lại giá gốc, và cũng không đơn giản là \"giảm 10%\" — phải nhân liên tiếp hai hệ số $0{,}8$ và $1{,}1$.

Với dạng bài toán tìm hai số: đề thường cho tổng (hoặc hiệu) của hai số, cùng một mối quan hệ khác giữa chúng (ví dụ "số này gấp đôi số kia trừ đi một lượng"). Cách làm: đặt MỘT trong hai số làm ẩn, biểu diễn số còn lại theo QUAN HỆ đã cho (không phải theo tổng), rồi dùng điều kiện tổng để lập phương trình.

Một dạng bài toán phần trăm khác, gần với dạng bài toán hai số, là chia một tổng đã biết thành các phần theo tỉ lệ phần trăm cho trước — ví dụ "số học sinh giỏi bằng $40\%$ số học sinh khá", hay "số sản phẩm loại A bằng $150\%$ số sản phẩm loại B". Cách xử lí giống hệt bài toán hai số: đặt ẩn cho MỘT phần, biểu diễn phần còn lại theo tỉ lệ phần trăm đã cho, rồi dùng tổng đã biết để lập phương trình.

Một dạng bài toán phần trăm khác, gần với dạng bài toán hai số, là chia một tổng đã biết thành các phần theo tỉ lệ phần trăm cho trước — ví dụ \"số học sinh giỏi bằng $40\%$ số học sinh khá\", hay \"số sản phẩm loại A bằng $150\%$ số sản phẩm loại B\". Cách xử lí giống hệt bài toán hai số: đặt ẩn cho MỘT phần, biểu diễn phần còn lại theo tỉ lệ phần trăm đã cho, rồi dùng tổng đã biết để lập phương trình.

Giá cuối

660{.}000

đ chỉ bằng

0{,}88

lần giá gốc — KHÔNG bằng giá gốc, và cũng không phải "giảm 10%" so với giá gốc.Giá cuối $660{.}000$đ chỉ bằng $0{,}88$ lần giá gốc — KHÔNG bằng giá gốc, và cũng không phải \"giảm 10%\" so với giá gốc.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giảm giá rồi tăng giá liên tiếp

1
Một cửa hàng giảm giá một chiếc áo 20%, sau đó vì bán chậm nên tăng giá mới thêm 10%, được giá cuối cùng là 660.000đ. Tính giá gốc ban đầu của chiếc áo.
2
Gọi giá gốc ban đầu là $x$ (đồng), điều kiện $x>0$ .
Gọi giá gốc ban đầu là $x$ (đồng), điều kiện $x>0$.
3
Sau khi giảm 20%, giá còn lại là $(100-20)\%x=0{,}8x$ (đồng). Sau khi tăng 10% trên giá MỚI này, giá cuối cùng là $0{,}8x\times 1{,}1=0{,}88x$ (đồng).
Sau khi giảm 20%, giá còn lại là $(100-20)\%x=0{,}8x$ (đồng). Sau khi tăng 10% trên giá MỚI này, giá cuối cùng là $0{,}8x\times 1{,}1=0{,}88x$ (đồng).
4
$0{,}88x=660000$ .
$0{,}88x=660000$.
5
$x=\dfrac{660000}{0{,}88}=750000$ .
$x=\dfrac{660000}{0{,}88}=750000$.
6
$x=750000$ thỏa điều kiện $x>0$ . Vậy giá gốc ban đầu của chiếc áo là 750.000đ.
$x=750000$ thỏa điều kiện $x>0$. Vậy giá gốc ban đầu của chiếc áo là 750.000đ.

Ví dụ

Tìm hai số biết tổng và một quan hệ khác

1
Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 45, trong đó số thứ nhất bằng hai lần số thứ hai trừ đi 3.
2
Gọi số thứ hai là $x$ . Theo quan hệ đã cho, số thứ nhất là $2x-3$ .
Gọi số thứ hai là $x$. Theo quan hệ đã cho, số thứ nhất là $2x-3$.
3
Tổng hai số bằng 45: $(2x-3)+x=45$ .
Tổng hai số bằng 45: $(2x-3)+x=45$.
4
$3x-3=45 \iff 3x=48 \iff x=16$ .
$3x-3=45 \iff 3x=48 \iff x=16$.
5
$x=16$ là số thứ hai; số thứ nhất là $2\times 16-3=29$ .
$x=16$ là số thứ hai; số thứ nhất là $2\times 16-3=29$.
6
Vậy hai số cần tìm là 16 và 29 (kiểm tra: $16+29=45$ , đúng bằng tổng đề cho).
Vậy hai số cần tìm là 16 và 29 (kiểm tra: $16+29=45$, đúng bằng tổng đề cho).

Ví dụ

Bài toán phần trăm kết hợp tổng hai loại (dạng thi)

1
Lớp 8A có 42 học sinh, chỉ có hai loại học lực giỏi và khá. Biết số học sinh giỏi bằng 40% số học sinh khá. Tính số học sinh mỗi loại.
2
Gọi số học sinh khá là $x$ (học sinh), điều kiện $x$ nguyên dương và $x<42$ . Số học sinh giỏi là $0{,}4x$ (học sinh).
Gọi số học sinh khá là $x$ (học sinh), điều kiện $x$ nguyên dương và $x<42$. Số học sinh giỏi là $0{,}4x$ (học sinh).
3
Tổng số học sinh của lớp: $x+0{,}4x=42$ .
Tổng số học sinh của lớp: $x+0{,}4x=42$.
4
$1{,}4x=42 \iff x=30$ .
$1{,}4x=42 \iff x=30$.
5
$x=30$ nguyên dương và nhỏ hơn 42, thỏa điều kiện. Số học sinh giỏi là $0{,}4\times 30=12$ . Vậy lớp có 30 học sinh khá và 12 học sinh giỏi (kiểm tra: $30+12=42$ , và $12$ đúng bằng $40\%$ của $30$ ).
$x=30$ nguyên dương và nhỏ hơn 42, thỏa điều kiện. Số học sinh giỏi là $0{,}4\times 30=12$. Vậy lớp có 30 học sinh khá và 12 học sinh giỏi (kiểm tra: $30+12=42$, và $12$ đúng bằng $40\%$ của $30$).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi nặng nhất là cộng/trừ trực tiếp hai phần trăm liên tiếp — nghĩ giảm 20% rồi tăng 10% là giảm 10% — sai, vì hai lần tính trên hai giá trị gốc khác nhau; hệ số nhân đúng là $0{,}8\times 1{,}1=0{,}88$ , tức giảm $12\%$ so với gốc chứ không phải $10\%$ . Trong bài toán hai số, lỗi khác là biểu diễn số còn lại theo TỔNG thay vì theo QUAN HỆ đề cho, khiến phương trình sai ngay từ bước lập.

Lỗi nặng nhất là cộng/trừ trực tiếp hai phần trăm liên tiếp — nghĩ giảm 20% rồi tăng 10% là giảm 10% — sai, vì hai lần tính trên hai giá trị gốc khác nhau; hệ số nhân đúng là $0{,}8\times 1{,}1=0{,}88$, tức giảm $12\%$ so với gốc chứ không phải $10\%$. Trong bài toán hai số, lỗi khác là biểu diễn số còn lại theo TỔNG thay vì theo QUAN HỆ đề cho, khiến phương trình sai ngay từ bước lập.

Ghi nhớ

Giảm $x\%$ rồi tăng $y\%$ liên tiếp cho hệ số nhân chung $\dfrac{100-x}{100}\times\dfrac{100+y}{100}$ , khác với cộng trừ trực tiếp $x,y$ . Bài toán hai số: đặt ẩn cho MỘT số, biểu diễn số kia theo quan hệ đề cho, rồi dùng tổng để lập phương trình.

Giảm $x\%$ rồi tăng $y\%$ liên tiếp cho hệ số nhân chung $\dfrac{100-x}{100}\times\dfrac{100+y}{100}$, khác với cộng trừ trực tiếp $x,y$. Bài toán hai số: đặt ẩn cho MỘT số, biểu diễn số kia theo quan hệ đề cho, rồi dùng tổng để lập phương trình.

So với ba bài trước của chương (chuyển động, công việc chung, pha trộn), bài toán phần trăm và số học ở đây thường KHÔNG cần ẩn ở mẫu — phương trình lập được thường đã là phương trình bậc nhất thuần túy như ở Chương 2, ít khi phải dùng tới ĐKXĐ hay phân tích nhân tử. Đây là lí do dạng bài này thường xuất hiện sớm trong đề kiểm tra, làm bài khởi động trước những câu phối hợp phức tạp hơn.

Bài cuối cùng của khóa ôn lại toàn bộ hành trình — từ khái niệm phương trình, quy tắc biến đổi, các dạng phương trình đặc biệt, tới quy trình lập phương trình cho mọi bối cảnh đã học — qua một loạt bài toán tổng hợp.