Bài học

Phương trình, nghiệm và phương trình bậc nhất một ẩn

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu được thế nào là nghiệm của một phương trình, kiểm tra được một giá trị cho trước có là nghiệm hay không, và nhận diện đúng phương trình bậc nhất một ẩn dạng $ax+b=0$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết tính giá trị của một biểu thức đại số khi thay một số cụ thể vào biến — kỹ năng đó dùng lại ngay trong bài này, chỉ khác là thay xong em còn phải so sánh kết quả với một số cho trước. Em cũng cần nhớ thứ tự thực hiện phép tính và quy tắc dấu khi có ngoặc. Toàn bộ bảy bài của khóa học này đều xây trên một nền chung duy nhất: gọi tên một đại lượng chưa biết bằng chữ $x$ , rồi dùng các quy tắc biến đổi để tìm ra giá trị của nó — bài đầu tiên này chỉ dừng ở bước nhận diện và kiểm tra, chưa yêu cầu tự tìm.

Em đã biết tính giá trị của một biểu thức đại số khi thay một số cụ thể vào biến — kỹ năng đó dùng lại ngay trong bài này, chỉ khác là thay xong em còn phải so sánh kết quả với một số cho trước. Em cũng cần nhớ thứ tự thực hiện phép tính và quy tắc dấu khi có ngoặc. Toàn bộ bảy bài của khóa học này đều xây trên một nền chung duy nhất: gọi tên một đại lượng chưa biết bằng chữ $x$, rồi dùng các quy tắc biến đổi để tìm ra giá trị của nó — bài đầu tiên này chỉ dừng ở bước nhận diện và kiểm tra, chưa yêu cầu tự tìm.

Khởi động

Bạn Lan nghĩ ra một số, lấy số đó nhân 3 rồi trừ đi 1 thì được kết quả bằng 5. Không đoán mò, làm sao viết lại đúng bài toán này bằng một dòng kí hiệu toán học, và làm sao chắc chắn số 2 (nếu ai đó đoán) có đúng là số Lan nghĩ hay không?

Kiến thức trọng tâm

Một phương trình một ẩn là một đẳng thức có dạng $A(x) = B(x)$ , trong đó $A(x)$ , $B(x)$ là hai biểu thức chứa cùng một biến $x$ (gọi là ẩn). $A(x)$ gọi là vế trái, $B(x)$ gọi là vế phải. Bài toán của bạn Lan viết lại thành phương trình $3x-1=5$ .

Một phương trình một ẩn là một đẳng thức có dạng $A(x) = B(x)$, trong đó $A(x)$, $B(x)$ là hai biểu thức chứa cùng một biến $x$ (gọi là ẩn). $A(x)$ gọi là vế trái, $B(x)$ gọi là vế phải. Bài toán của bạn Lan viết lại thành phương trình $3x-1=5$.

Một số $x_0$ được gọi là nghiệm của phương trình nếu khi thay $x=x_0$ vào cả hai vế, ta được một khẳng định đúng — tức hai vế bằng nhau. Với phương trình $3x-1=5$ , thay $x=2$ ta có vế trái $3\times 2-1=5$ , đúng bằng vế phải, nên $x=2$ là một nghiệm. Nếu thay một số khác vào mà hai vế không bằng nhau, số đó KHÔNG phải là nghiệm.

Một số $x_0$ được gọi là nghiệm của phương trình nếu khi thay $x=x_0$ vào cả hai vế, ta được một khẳng định đúng — tức hai vế bằng nhau. Với phương trình $3x-1=5$, thay $x=2$ ta có vế trái $3\times 2-1=5$, đúng bằng vế phải, nên $x=2$ là một nghiệm. Nếu thay một số khác vào mà hai vế không bằng nhau, số đó KHÔNG phải là nghiệm.

Trong các phương trình một ẩn, có một dạng đặc biệt gọi tên riêng: phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có thể viết được về dạng $ax+b=0$ , với $a$ , $b$ là hai số đã biết (gọi là hệ số) và $a \ne 0$ . Điều kiện $a\ne 0$ bắt buộc phải có — nếu $a=0$ , biểu thức $ax+b$ chỉ còn là hằng số $b$ , phương trình mất hẳn vai trò của ẩn $x$ và không còn là phương trình bậc nhất nữa.

Trong các phương trình một ẩn, có một dạng đặc biệt gọi tên riêng: phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có thể viết được về dạng $ax+b=0$, với $a$, $b$ là hai số đã biết (gọi là hệ số) và $a \ne 0$. Điều kiện $a\ne 0$ bắt buộc phải có — nếu $a=0$, biểu thức $ax+b$ chỉ còn là hằng số $b$, phương trình mất hẳn vai trò của ẩn $x$ và không còn là phương trình bậc nhất nữa.

Không phải phương trình một ẩn nào cũng là phương trình bậc nhất. Chẳng hạn $x^2+3=0$ chứa $x^2$ nên không thể đưa về dạng $ax+b=0$ — đây là một loại phương trình khác, lớp 8 chưa xét tới.

Một phương trình nói chung có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm, hoặc không có nghiệm nào — em sẽ gặp cả ba khả năng này trong các bài sau. Riêng phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$ với $a\ne 0$ luôn có ĐÚNG MỘT nghiệm duy nhất, vì chỉ cần chuyển $b$ sang vế phải rồi chia cho $a$ là ra ngay một giá trị $x$ xác định, không hơn không kém. Đây chính là lí do phương trình bậc nhất được học đầu tiên: nó là dạng "dễ đoán kết quả" nhất trước khi em gặp những dạng phức tạp hơn ở các bài sau.

Một phương trình nói chung có thể có một nghiệm, nhiều nghiệm, hoặc không có nghiệm nào — em sẽ gặp cả ba khả năng này trong các bài sau. Riêng phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$ với $a\ne 0$ luôn có ĐÚNG MỘT nghiệm duy nhất, vì chỉ cần chuyển $b$ sang vế phải rồi chia cho $a$ là ra ngay một giá trị $x$ xác định, không hơn không kém. Đây chính là lí do phương trình bậc nhất được học đầu tiên: nó là dạng \"dễ đoán kết quả\" nhất trước khi em gặp những dạng phức tạp hơn ở các bài sau.

Việc gọi tên một số chưa biết là $x$ rồi viết một đẳng thức liên hệ nó với các số đã biết chính là bước khởi đầu của TOÀN BỘ đại số — không riêng gì lớp 8. Toàn bộ khóa học này, từ kiểm tra nghiệm ở đây cho tới việc dịch nguyên một bài toán chuyển động hay bài toán tuổi thành phương trình ở các chương cuối, đều chỉ là những cách áp dụng khác nhau của MỘT ý tưởng duy nhất này.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kiểm tra một giá trị có là nghiệm hay không

1
Kiểm tra xem $x=2$ có là nghiệm của phương trình $3x-1=5$ hay không.
Kiểm tra xem $x=2$ có là nghiệm của phương trình $3x-1=5$ hay không.
2
Thay $x=2$ : vế trái $=3\times 2-1=6-1=5$ .
Thay $x=2$: vế trái $=3\times 2-1=6-1=5$.
3
Vế phải của phương trình là $5$ . Vế trái vừa tính cũng bằng $5$ , nên hai vế bằng nhau.
Vế phải của phương trình là $5$. Vế trái vừa tính cũng bằng $5$, nên hai vế bằng nhau.
4
Vậy $x=2$ là nghiệm của phương trình $3x-1=5$ .
Vậy $x=2$ là nghiệm của phương trình $3x-1=5$.

Ví dụ

Kiểm tra một giá trị KHÔNG là nghiệm

1
Kiểm tra xem $x=1$ có là nghiệm của phương trình $2x+3=7$ hay không.
Kiểm tra xem $x=1$ có là nghiệm của phương trình $2x+3=7$ hay không.
2
Thay $x=1$ : vế trái $=2\times 1+3=5$ .
Thay $x=1$: vế trái $=2\times 1+3=5$.
3
Vế phải bằng $7$ . Vế trái vừa tính bằng $5$ , khác $7$ , nên hai vế không bằng nhau.
Vế phải bằng $7$. Vế trái vừa tính bằng $5$, khác $7$, nên hai vế không bằng nhau.
4
Vậy $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình $2x+3=7$ .
Vậy $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình $2x+3=7$.

Ví dụ

Nhận diện phương trình bậc nhất một ẩn và xác định hệ số (dạng thi)

1
Trong ba phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? Với phương trình bậc nhất, hãy xác định hệ số $a$ và $b$ : (a) $5x-10=0$ ; (b) $x^2+3=0$ ; (c) $4-2x=0$ .
Trong ba phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn? Với phương trình bậc nhất, hãy xác định hệ số $a$ và $b$: (a) $5x-10=0$; (b) $x^2+3=0$; (c) $4-2x=0$.
2
$5x-10=0$ đã đúng dạng $ax+b=0$ với $a=5$ , $b=-10$ . Vì $a=5\ne 0$ nên (a) là phương trình bậc nhất một ẩn.
$5x-10=0$ đã đúng dạng $ax+b=0$ với $a=5$, $b=-10$. Vì $a=5\ne 0$ nên (a) là phương trình bậc nhất một ẩn.
3
$x^2+3=0$ chứa $x^2$ , không thể viết về dạng $ax+b=0$ (bậc của $x$ ở đây là 2, không phải 1). Vậy (b) không phải phương trình bậc nhất một ẩn.
$x^2+3=0$ chứa $x^2$, không thể viết về dạng $ax+b=0$ (bậc của $x$ ở đây là 2, không phải 1). Vậy (b) không phải phương trình bậc nhất một ẩn.
4
Viết lại $4-2x=0$ thành $-2x+4=0$ , đúng dạng $ax+b=0$ với $a=-2$ , $b=4$ . Vì $a=-2\ne 0$ nên (c) là phương trình bậc nhất một ẩn.
Viết lại $4-2x=0$ thành $-2x+4=0$, đúng dạng $ax+b=0$ với $a=-2$, $b=4$. Vì $a=-2\ne 0$ nên (c) là phương trình bậc nhất một ẩn.
5
Vậy (a) và (c) là phương trình bậc nhất một ẩn, lần lượt có hệ số $a=5,b=-10$ và $a=-2,b=4$ ; còn (b) không phải vì chứa $x^2$ .
Vậy (a) và (c) là phương trình bậc nhất một ẩn, lần lượt có hệ số $a=5,b=-10$ và $a=-2,b=4$; còn (b) không phải vì chứa $x^2$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn thay số vào một vế rồi quên tính vế còn lại, dẫn tới so sánh sai. Một lỗi khác là khi viết lại phương trình về dạng $ax+b=0$ , quên đổi dấu hạng tử — ví dụ $4-2x=0$ phải viết thành $-2x+4=0$ ( $a=-2$ ), không phải $a=2$ . Cũng đừng quên: có chữ $x$ chưa chắc là phương trình bậc nhất, phải xem bậc của $x$ có đúng là 1 hay không.

Nhiều bạn thay số vào một vế rồi quên tính vế còn lại, dẫn tới so sánh sai. Một lỗi khác là khi viết lại phương trình về dạng $ax+b=0$, quên đổi dấu hạng tử — ví dụ $4-2x=0$ phải viết thành $-2x+4=0$ ($a=-2$), không phải $a=2$. Cũng đừng quên: có chữ $x$ chưa chắc là phương trình bậc nhất, phải xem bậc của $x$ có đúng là 1 hay không.

Ghi nhớ

Nghiệm của phương trình là giá trị làm hai vế bằng nhau khi thay vào. Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax+b=0$ với $a\ne 0$ — thiếu điều kiện này thì không còn là phương trình bậc nhất. Muốn kiểm tra một nghiệm, luôn thay số vào vế trái VÀ vế phải rồi so sánh, không được chỉ nhìn qua bằng trực giác.

Bài sau không dừng ở việc kiểm tra một giá trị cho sẵn nữa — em sẽ học hai quy tắc biến đổi để TỰ TÌM ra nghiệm của một phương trình bậc nhất một ẩn bất kỳ.