Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Quy tắc biến đổi và giải phương trình bậc nhất
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em phát biểu được hai quy tắc biến đổi phương trình (chuyển vế đổi dấu; nhân/chia hai vế với cùng một số khác 0) và áp dụng chúng để giải thành thạo phương trình bậc nhất một ẩn, kể cả khi phương trình có dấu ngoặc hoặc ẩn ở cả hai vế.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước cho em định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn $ax+b=0$ và cách kiểm tra một nghiệm cho sẵn. Bài này cần thêm quy tắc nhân đơn thức với đa thức (phá ngoặc) đã học, vì nhiều phương trình bậc nhất viết ở dạng chưa rút gọn. Em cũng cần nhớ cách cộng, trừ các đơn thức đồng dạng (ví dụ $3x-2x=x$), vì bước thu gọn mỗi vế dùng lại đúng kỹ năng này.
Khởi động
Ở bài trước, phương trình $3x-1=5$ có nghiệm $x=2$ — nhưng đó là vì đề đã CHO SẴN số 2 để em thử. Nếu đề không cho sẵn đáp số, chỉ đưa ra phương trình, làm sao em tự tìm ra $x$ mà không cần đoán?
Kiến thức trọng tâm
Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Muốn tự tìm nghiệm, ta biến đổi phương trình đã cho thành một phương trình tương đương nhưng đơn giản hơn, cho tới khi ẩn đứng riêng một vế.
Quy tắc chuyển vế: khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử đó. Quy tắc này thực chất là cộng (hoặc trừ) cùng một lượng vào cả hai vế — một phép biến đổi luôn giữ nguyên tập nghiệm — chỉ được viết gọn lại thành thao tác \"chuyển và đổi dấu\" cho nhanh. Ví dụ với $x+3=7$: nếu cộng $-3$ vào cả hai vế, ta được $x+3-3=7-3$, tức $x=4$ — đúng bằng kết quả khi \"chuyển $3$ sang phải rồi đổi dấu thành $-3$\". Hai cách trình bày cho cùng một kết quả, nhưng cách chuyển vế nhanh hơn nên được dùng làm thao tác chính thức.
Quy tắc nhân với một số: nhân (hoặc chia) cả hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 thì được phương trình tương đương. Số nhân phải khác 0, vì nhân cả hai vế với 0 sẽ biến phương trình thành $0=0$ — luôn đúng nhưng làm mất hết thông tin ban đầu.
Kết hợp hai quy tắc, quy trình giải phương trình bậc nhất một ẩn (hoặc phương trình đưa được về dạng đó) gồm các bước: nếu có ngoặc thì phá ngoặc trước; chuyển mọi hạng tử chứa ẩn về một vế, hạng tử tự do về vế còn lại (nhớ đổi dấu); thu gọn mỗi vế; rồi chia cả hai vế cho hệ số của ẩn để được nghiệm.
Vì sao không cần công thức nghiệm tổng quát $x=-\dfrac{b}{a}$ học thuộc lòng? Vì đề bài lớp 8 hiếm khi cho sẵn phương trình ở đúng dạng $ax+b=0$ — thường nó còn ngổn ngang dấu ngoặc, ẩn ở cả hai vế, chưa thu gọn. Trình bày từng bước biến đổi, thay vì nhảy thẳng vào công thức, còn giúp em TỰ KIỂM TRA được ở đâu mình có thể lỡ sai dấu, điều một công thức học vẹt không làm được.
Sau khi tìm được nghiệm, luôn nên kiểm tra lại bằng cách thay ngược giá trị đó vào phương trình BAN ĐẦU (chưa biến đổi) — nếu hai vế bằng nhau thì chắc chắn không sai sót ở bước nào. Thói quen này đặc biệt hữu ích khi phương trình dài, nhiều dấu ngoặc, vì rất dễ lỡ tay đổi dấu sai ở một bước giữa chừng mà không nhận ra.
Quy trình năm bước ở đây không chỉ dùng cho những phương trình "thuần túy" như trong bài. Hai bài sau áp dụng đúng các bước này cho phương trình có ẩn ở mẫu và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối — chỉ thêm một bước kiểm tra điều kiện ở đầu hoặc cuối, còn khung giải vẫn giữ nguyên.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Giải phương trình có ẩn ở cả hai vế
1
Giải phương trình $2x-5=3x+1$.
2
Chuyển $3x$ sang trái (đổi dấu thành $-3x$) và $-5$ sang phải (đổi dấu thành $+5$): $2x-3x=1+5$.
3
$2x-3x=-x$ và $1+5=6$, nên $-x=6$.
4
Chia cả hai vế cho $-1$: $x=-6$.
5
Vậy phương trình có nghiệm $x=-6$ (kiểm tra: vế trái $2\times(-6)-5=-17$, vế phải $3\times(-6)+1=-17$, hai vế bằng nhau).
Ví dụ
Giải phương trình có dấu ngoặc
1
Giải phương trình $3(x-2)=2x+4$.
2
$3(x-2)=3x-6$, nên phương trình trở thành $3x-6=2x+4$.
3
$3x-2x=4+6$, tức $x=10$.
4
Vậy $x=10$ (kiểm tra: $3\times(10-2)=24$, $2\times 10+4=24$, hai vế bằng nhau).
Ví dụ
Phá ngoặc ở cả hai vế rồi giải (dạng thi)
1
Giải phương trình $2(x+3)-5=4(x-1)+3$.
2
$2(x+3)-5=2x+6-5=2x+1$.
3
$4(x-1)+3=4x-4+3=4x-1$.
4
Phương trình trở thành $2x+1=4x-1$, tức $2x-4x=-1-1$, tức $-2x=-2$.
5
Chia hai vế cho $-2$: $x=1$. Kiểm tra: vế trái $2(1+3)-5=3$, vế phải $4(1-1)+3=3$, hai vế bằng nhau. Vậy $x=1$.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Sai lầm thường gặp
Lỗi phổ biến nhất là quên đổi dấu khi chuyển vế — viết $2x-5=3x+1$ thành $2x-3x=1-5$ thay vì $2x-3x=1+5$. Lỗi thứ hai xảy ra khi phá ngoặc có dấu trừ phía trước, ví dụ $-(x-2)$ phải nhân dấu trừ cho MỌI hạng tử bên trong để được $-x+2$, chứ không phải $-x-2$. Lỗi thứ ba là chia hai vế cho hệ số của ẩn nhưng quên chia luôn cả hằng số ở vế còn lại — ví dụ từ $2x=8$ chỉ được $x=4$ khi chia CẢ HAI vế cho 2, không phải chỉ chia vế trái.
Ghi nhớ
Hai quy tắc biến đổi tương đương: chuyển vế thì đổi dấu; nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0. Quy trình giải: phá ngoặc — chuyển vế — thu gọn — chia hệ số — kết luận. Luôn thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình gốc để kiểm tra lại trước khi viết đáp số cuối cùng.
Bài sau xét trường hợp ẩn xuất hiện ngay trong MẪU của một phân thức. Quy trình vừa học vẫn còn nguyên giá trị, nhưng sẽ có thêm một bước bắt buộc trước khi bắt tay vào giải.
Bài trước cho em định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn ax+b=0 và cách kiểm tra một nghiệm cho sẵn. Bài này cần thêm quy tắc nhân đơn thức với đa thức (phá ngoặc) đã học, vì nhiều phương trình bậc nhất viết ở dạng chưa rút gọn. Em cũng cần nhớ cách cộng, trừ các đơn thức đồng dạng (ví dụ 3x−2x=x), vì bước thu gọn mỗi vế dùng lại đúng kỹ năng này.
Ở bài trước, phương trình 3x−1=5 có nghiệm x=2 — nhưng đó là vì đề đã CHO SẴN số 2 để em thử. Nếu đề không cho sẵn đáp số, chỉ đưa ra phương trình, làm sao em tự tìm ra x mà không cần đoán?
Quy tắc chuyển vế: khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử đó. Quy tắc này thực chất là cộng (hoặc trừ) cùng một lượng vào cả hai vế — một phép biến đổi luôn giữ nguyên tập nghiệm — chỉ được viết gọn lại thành thao tác "chuyển và đổi dấu" cho nhanh. Ví dụ với x+3=7: nếu cộng −3 vào cả hai vế, ta được x+3−3=7−3, tức x=4 — đúng bằng kết quả khi "chuyển 3 sang phải rồi đổi dấu thành −3". Hai cách trình bày cho cùng một kết quả, nhưng cách chuyển vế nhanh hơn nên được dùng làm thao tác chính thức.
Quy tắc nhân với một số: nhân (hoặc chia) cả hai vế của phương trình với cùng một số khác 0 thì được phương trình tương đương. Số nhân phải khác 0, vì nhân cả hai vế với 0 sẽ biến phương trình thành 0=0 — luôn đúng nhưng làm mất hết thông tin ban đầu.
Vì sao không cần công thức nghiệm tổng quát x=−ab học thuộc lòng? Vì đề bài lớp 8 hiếm khi cho sẵn phương trình ở đúng dạng ax+b=0 — thường nó còn ngổn ngang dấu ngoặc, ẩn ở cả hai vế, chưa thu gọn. Trình bày từng bước biến đổi, thay vì nhảy thẳng vào công thức, còn giúp em TỰ KIỂM TRA được ở đâu mình có thể lỡ sai dấu, điều một công thức học vẹt không làm được.
Giải phương trình 2x−5=3x+1.
Chuyển 3x sang trái (đổi dấu thành −3x) và −5 sang phải (đổi dấu thành +5): 2x−3x=1+5.
2x−3x=−x và 1+5=6, nên −x=6.
Chia cả hai vế cho −1: x=−6.
Vậy phương trình có nghiệm x=−6 (kiểm tra: vế trái 2×(−6)−5=−17, vế phải 3×(−6)+1=−17, hai vế bằng nhau).
Giải phương trình 3(x−2)=2x+4.
3(x−2)=3x−6, nên phương trình trở thành 3x−6=2x+4.
3x−2x=4+6, tức x=10.
Vậy x=10 (kiểm tra: 3×(10−2)=24, 2×10+4=24, hai vế bằng nhau).
Giải phương trình 2(x+3)−5=4(x−1)+3.
2(x+3)−5=2x+6−5=2x+1.
4(x−1)+3=4x−4+3=4x−1.
Phương trình trở thành 2x+1=4x−1, tức 2x−4x=−1−1, tức −2x=−2.
Chia hai vế cho −2: x=1. Kiểm tra: vế trái 2(1+3)−5=3, vế phải 4(1−1)+3=3, hai vế bằng nhau. Vậy x=1.
Lỗi phổ biến nhất là quên đổi dấu khi chuyển vế — viết 2x−5=3x+1 thành 2x−3x=1−5 thay vì 2x−3x=1+5. Lỗi thứ hai xảy ra khi phá ngoặc có dấu trừ phía trước, ví dụ −(x−2) phải nhân dấu trừ cho MỌI hạng tử bên trong để được −x+2, chứ không phải −x−2. Lỗi thứ ba là chia hai vế cho hệ số của ẩn nhưng quên chia luôn cả hằng số ở vế còn lại — ví dụ từ 2x=8 chỉ được x=4 khi chia CẢ HAI vế cho 2, không phải chỉ chia vế trái.