Bài học

Phương trình có ẩn ở mẫu

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tìm được điều kiện xác định (ĐKXĐ) của một phương trình chứa ẩn ở mẫu, giải được phương trình đó bằng cách quy đồng khử mẫu, và biết loại một nghiệm nếu nó không thỏa ĐKXĐ.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần vững lại quy trình giải phương trình bậc nhất ở bài trước — phá ngoặc, chuyển vế, thu gọn, chia hệ số — vì sau khi khử mẫu, phương trình thu được chính là dạng đó. Em cũng cần nhớ lại điều kiện để một phân thức đại số có nghĩa: mẫu thức phải khác 0, đã học ở chương phân thức đại số của lớp 8, cùng với cách quy đồng mẫu thức của hai hay nhiều phân thức.

Khởi động

Với phương trình $\dfrac{1}{x-1}=3$ , giá trị $x=1$ có thể là nghiệm được không? Không cần giải, em vẫn có thể loại ngay giá trị này — vì sao?

Với phương trình $\dfrac{1}{x-1}=3$, giá trị $x=1$ có thể là nghiệm được không? Không cần giải, em vẫn có thể loại ngay giá trị này — vì sao?

Kiến thức trọng tâm

Với phương trình chứa ẩn ở mẫu, biểu thức ở vế nào có mẫu chỉ có nghĩa khi mẫu đó khác 0. Tập hợp mọi giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu trong phương trình khác 0 gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Với $\dfrac{1}{x-1}=3$ , mẫu là $x-1$ , nên ĐKXĐ là $x\ne 1$ — giá trị $x=1$ bị loại ngay từ đầu, trước khi giải bất cứ điều gì. Khi phương trình có nhiều hơn một mẫu, ĐKXĐ là điều kiện của TẤT CẢ các mẫu cùng lúc — mỗi mẫu góp một điều kiện riêng, rồi ta giữ lại đồng thời mọi điều kiện đó.

Với phương trình chứa ẩn ở mẫu, biểu thức ở vế nào có mẫu chỉ có nghĩa khi mẫu đó khác 0. Tập hợp mọi giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu trong phương trình khác 0 gọi là điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Với $\dfrac{1}{x-1}=3$, mẫu là $x-1$, nên ĐKXĐ là $x\ne 1$ — giá trị $x=1$ bị loại ngay từ đầu, trước khi giải bất cứ điều gì. Khi phương trình có nhiều hơn một mẫu, ĐKXĐ là điều kiện của TẤT CẢ các mẫu cùng lúc — mỗi mẫu góp một điều kiện riêng, rồi ta giữ lại đồng thời mọi điều kiện đó.

Quy trình giải gồm bốn bước: tìm ĐKXĐ (cho từng mẫu khác 0); quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu (nhân cả hai vế với mẫu thức chung, đưa về một phương trình không còn phân thức); giải phương trình vừa thu được như một phương trình bậc nhất bình thường; và cuối cùng đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ — nghiệm thỏa ĐKXĐ thì nhận (viết tắt TMĐK), nghiệm không thỏa thì phải loại.

Bước đối chiếu cuối cùng không phải là thủ tục hình thức. Phép nhân hai vế với một biểu thức CHỨA ẨN, khác với nhân một số, có thể sinh ra một phương trình mới không hoàn toàn tương đương với phương trình ban đầu — nó có thể có thêm nghiệm mà phương trình gốc không có (gọi là nghiệm ngoại lai). Nếu bỏ qua bước đối chiếu, em có thể nhận một "nghiệm" thực ra làm mẫu thức ban đầu bằng 0, là điều vô nghĩa.

Bước đối chiếu cuối cùng không phải là thủ tục hình thức. Phép nhân hai vế với một biểu thức CHỨA ẨN, khác với nhân một số, có thể sinh ra một phương trình mới không hoàn toàn tương đương với phương trình ban đầu — nó có thể có thêm nghiệm mà phương trình gốc không có (gọi là nghiệm ngoại lai). Nếu bỏ qua bước đối chiếu, em có thể nhận một \"nghiệm\" thực ra làm mẫu thức ban đầu bằng 0, là điều vô nghĩa.

Có một điều đáng chú ý: phương trình chứa ẩn ở mẫu là dạng phương trình ĐẦU TIÊN trong khóa mà em có thể gặp kết luận "vô nghiệm", dù các bước biến đổi đại số đều đúng. Điều này khác hẳn phương trình bậc nhất thường của hai bài trước, luôn có đúng một nghiệm. Ví dụ 3 dưới đây minh họa chính xác tình huống đó.

Dạng phương trình này còn quan trọng vì nó sẽ quay lại nhiều lần trong các bài toán thực tế của những chương sau — chẳng hạn khi hai người cùng làm chung một công việc, thời gian mỗi người làm riêng thường xuất hiện ở mẫu của một phân thức năng suất. Nắm chắc quy trình bốn bước ở đây là nền tảng bắt buộc cho những bài toán đó, không chỉ để giải các phương trình "thuần túy" như trong bài này.

Cũng cần phân biệt rõ hai khái niệm dễ nhầm: ĐKXĐ là điều kiện để phương trình CÓ NGHĨA, xét trước khi giải; còn nghiệm là kết quả TÌM ĐƯỢC sau khi giải. Một giá trị có thể là nghiệm đúng của phương trình đã khử mẫu, nhưng lại không phải nghiệm của phương trình ban đầu, nếu nó vi phạm ĐKXĐ — đó chính là điều Ví dụ 3 minh họa.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải phương trình có ẩn ở mẫu, nghiệm thỏa ĐKXĐ

1
Giải phương trình $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x+1}$ .
Giải phương trình $\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x+1}$.
2
Cần $x-1\ne 0$ và $x+1\ne 0$ , tức $x\ne 1$ và $x\ne -1$ .
Cần $x-1\ne 0$ và $x+1\ne 0$, tức $x\ne 1$ và $x\ne -1$.
3
Hai phân thức bằng nhau nên nhân chéo: $1\times(x+1)=2\times(x-1)$ , tức $x+1=2x-2$ .
Hai phân thức bằng nhau nên nhân chéo: $1\times(x+1)=2\times(x-1)$, tức $x+1=2x-2$.
4
$x+1=2x-2 \iff x-2x=-2-1 \iff -x=-3 \iff x=3$ .
$x+1=2x-2 \iff x-2x=-2-1 \iff -x=-3 \iff x=3$.
5
$x=3$ thỏa $x\ne 1$ và $x\ne -1$ (TMĐK). Vậy nghiệm của phương trình là $x=3$ .
$x=3$ thỏa $x\ne 1$ và $x\ne -1$ (TMĐK). Vậy nghiệm của phương trình là $x=3$.

Ví dụ

Rút gọn trước khi khử mẫu

1
Giải phương trình $\dfrac{3}{x-1}-2=\dfrac{1}{x-1}$ .
Giải phương trình $\dfrac{3}{x-1}-2=\dfrac{1}{x-1}$.
2
Cần $x-1\ne 0$ , tức $x\ne 1$ .
Cần $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$.
3
$\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}=2 \iff \dfrac{2}{x-1}=2$ .
$\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}=2 \iff \dfrac{2}{x-1}=2$.
4
$2=2(x-1) \iff 2=2x-2 \iff 2x=4 \iff x=2$ .
$2=2(x-1) \iff 2=2x-2 \iff 2x=4 \iff x=2$.
5
$x=2$ thỏa $x\ne 1$ (TMĐK). Vậy nghiệm của phương trình là $x=2$ .
$x=2$ thỏa $x\ne 1$ (TMĐK). Vậy nghiệm của phương trình là $x=2$.

Ví dụ

Nghiệm bị loại vì không thỏa ĐKXĐ (dạng thi)

1
Giải phương trình $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{16}{x^2-4}$ .
Giải phương trình $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{16}{x^2-4}$.
2
Vì $x^2-4=(x-2)(x+2)$ , cần $x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$ , tức $x\ne 2$ và $x\ne -2$ .
Vì $x^2-4=(x-2)(x+2)$, cần $x-2\ne 0$ và $x+2\ne 0$, tức $x\ne 2$ và $x\ne -2$.
3
Mẫu thức chung là $(x-2)(x+2)$ . Quy đồng và khử mẫu: $(x+2)^2-(x-2)^2=16$ .
Mẫu thức chung là $(x-2)(x+2)$. Quy đồng và khử mẫu: $(x+2)^2-(x-2)^2=16$.
4
Khai triển: $(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x$ . Vậy $8x=16$ , suy ra $x=2$ .
Khai triển: $(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)=8x$. Vậy $8x=16$, suy ra $x=2$.
5
$x=2$ KHÔNG thỏa ĐKXĐ (vì ĐKXĐ yêu cầu $x\ne 2$ ), nên phải loại nghiệm này. Vậy phương trình vô nghiệm.
$x=2$ KHÔNG thỏa ĐKXĐ (vì ĐKXĐ yêu cầu $x\ne 2$), nên phải loại nghiệm này. Vậy phương trình vô nghiệm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi nặng nhất là quên tìm ĐKXĐ trước khi giải, hoặc tìm rồi mà cuối bài quên đối chiếu — dẫn tới nhận cả nghiệm ngoại lai như trong ví dụ 3. Lỗi khác là nhân chéo sai khi một mẫu gồm nhiều hạng tử: phải nhân đúng cả biểu thức mẫu, không chỉ một phần của nó — ví dụ nhân chéo với $(x-2)(x+2)$ thì phải nhân đúng CẢ tích đó, không được chỉ nhân với $(x-2)$ rồi quên $(x+2)$ . Một lỗi tinh vi hơn là quên đổi dấu khi chuyển một phân thức từ vế này sang vế kia trước khi quy đồng — quy tắc chuyển vế của Chương 2 vẫn áp dụng nguyên vẹn ở đây.

Lỗi nặng nhất là quên tìm ĐKXĐ trước khi giải, hoặc tìm rồi mà cuối bài quên đối chiếu — dẫn tới nhận cả nghiệm ngoại lai như trong ví dụ 3. Lỗi khác là nhân chéo sai khi một mẫu gồm nhiều hạng tử: phải nhân đúng cả biểu thức mẫu, không chỉ một phần của nó — ví dụ nhân chéo với $(x-2)(x+2)$ thì phải nhân đúng CẢ tích đó, không được chỉ nhân với $(x-2)$ rồi quên $(x+2)$. Một lỗi tinh vi hơn là quên đổi dấu khi chuyển một phân thức từ vế này sang vế kia trước khi quy đồng — quy tắc chuyển vế của Chương 2 vẫn áp dụng nguyên vẹn ở đây.

Ghi nhớ

Với phương trình chứa ẩn ở mẫu: tìm ĐKXĐ trước — quy đồng khử mẫu — giải phương trình bậc nhất thu được — đối chiếu nghiệm với ĐKXĐ. Nghiệm không thỏa ĐKXĐ luôn bị loại, dù phép biến đổi trước đó không có gì sai. Khi mọi nghiệm tìm được đều bị loại, kết luận đúng là phương trình vô nghiệm, không phải "không giải được".

Bốn bài vừa qua giải quyết phương trình phân thức. Bài sau chuyển sang một dạng đặc biệt khác — phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối — nơi một phương trình có thể tách thành hai trường hợp.