Bài học

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được phương trình dạng $|A|=B$ bằng cách tách thành hai trường hợp, và biết kiểm tra điều kiện để loại nghiệm không hợp lệ khi vế phải $B$ chứa ẩn.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ lại khái niệm giá trị tuyệt đối đã học: $|a|=a$ nếu $a\ge 0$ , và $|a|=-a$ nếu $a<0$ — luôn không âm, và về mặt hình học chính là khoảng cách từ điểm $a$ đến điểm $0$ trên trục số. Em cũng cần dùng lại thành thạo quy trình giải phương trình bậc nhất của hai bài trước, vì mỗi trường hợp tách ra đều là một phương trình bậc nhất bình thường. Khi cần đặt điều kiện $B\ge 0$ với $B$ là một biểu thức bậc nhất, em chỉ cần dùng đúng quy tắc chuyển vế đã quen — tìm giá trị $x$ làm $B$ bằng 0, rồi suy ra $B\ge 0$ ứng với $x$ lớn hơn hay nhỏ hơn giá trị đó.

Em cần nhớ lại khái niệm giá trị tuyệt đối đã học: $|a|=a$ nếu $a\ge 0$, và $|a|=-a$ nếu $a<0$ — luôn không âm, và về mặt hình học chính là khoảng cách từ điểm $a$ đến điểm $0$ trên trục số. Em cũng cần dùng lại thành thạo quy trình giải phương trình bậc nhất của hai bài trước, vì mỗi trường hợp tách ra đều là một phương trình bậc nhất bình thường. Khi cần đặt điều kiện $B\ge 0$ với $B$ là một biểu thức bậc nhất, em chỉ cần dùng đúng quy tắc chuyển vế đã quen — tìm giá trị $x$ làm $B$ bằng 0, rồi suy ra $B\ge 0$ ứng với $x$ lớn hơn hay nhỏ hơn giá trị đó.

Khởi động

Một số $x$ cách điểm $3$ trên trục số đúng $5$ đơn vị. Số $x$ đó có thể bằng bao nhiêu — và có phải chỉ có MỘT đáp số hay không?

Kiến thức trọng tâm

Bài toán khởi động viết lại thành phương trình $|x-3|=5$ , vì $|x-3|$ chính là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $3$ . Với phương trình dạng $|A|=B$ ( $A$ là biểu thức chứa ẩn), có hai tình huống: nếu $B$ là một hằng số ÂM cụ thể, phương trình vô nghiệm ngay lập tức, vì giá trị tuyệt đối không thể âm; nếu $B\ge 0$ , phương trình tách thành hai trường hợp $A=B$ hoặc $A=-B$ , và em giải từng trường hợp như một phương trình bậc nhất.

Bài toán khởi động viết lại thành phương trình $|x-3|=5$, vì $|x-3|$ chính là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $3$. Với phương trình dạng $|A|=B$ ($A$ là biểu thức chứa ẩn), có hai tình huống: nếu $B$ là một hằng số ÂM cụ thể, phương trình vô nghiệm ngay lập tức, vì giá trị tuyệt đối không thể âm; nếu $B\ge 0$, phương trình tách thành hai trường hợp $A=B$ hoặc $A=-B$, và em giải từng trường hợp như một phương trình bậc nhất.

Khi $B$ không phải một hằng số mà là một biểu thức chứa ẩn, ta không thể biết trước dấu của $B$ chỉ bằng cách nhìn — phải đặt điều kiện $B\ge 0$ trước khi tách hai trường hợp. Sau khi giải mỗi trường hợp, nghiệm tìm được CHỈ được nhận nếu thỏa điều kiện này; nghiệm không thỏa phải loại, đúng tinh thần đối chiếu ĐKXĐ đã học ở bài trước — chỉ khác đối tượng cần kiểm tra.

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện trong nhiều tình huống đo đạc thực tế, ở đó người ta không quan tâm một đại lượng lệch nhiều hay ít theo hướng nào, mà chỉ quan tâm độ LỆCH — chẳng hạn sai số cho phép của một phép cân, hoặc khoảng dao động nhiệt độ quanh một mức chuẩn. Cách viết $|A|=B$ chính là ngôn ngữ toán học gọn nhất cho ý "độ lệch đúng bằng $B$ , không cần biết lệch về phía nào".

Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối xuất hiện trong nhiều tình huống đo đạc thực tế, ở đó người ta không quan tâm một đại lượng lệch nhiều hay ít theo hướng nào, mà chỉ quan tâm độ LỆCH — chẳng hạn sai số cho phép của một phép cân, hoặc khoảng dao động nhiệt độ quanh một mức chuẩn. Cách viết $|A|=B$ chính là ngôn ngữ toán học gọn nhất cho ý \"độ lệch đúng bằng $B$, không cần biết lệch về phía nào\".

Ngoài cách đặt điều kiện $B\ge 0$ rồi đối chiếu như trên, em cũng có thể kiểm tra một nghiệm bằng cách thay trực tiếp giá trị đó vào phương trình GỐC (có dấu $|\cdot|$ ) rồi tính lại hai vế — cách này chậm hơn khi có nhiều nghiệm cần kiểm tra, nhưng lại chắc chắn tuyệt đối, không phụ thuộc việc em có nhớ đúng điều kiện hay không. Hai cách cho cùng một kết quả; bài này trình bày cách đặt điều kiện vì nó nhanh và rèn đúng thói quen "kiểm tra trước khi kết luận" xuyên suốt cả khóa.

Ngoài cách đặt điều kiện $B\ge 0$ rồi đối chiếu như trên, em cũng có thể kiểm tra một nghiệm bằng cách thay trực tiếp giá trị đó vào phương trình GỐC (có dấu $|\cdot|$) rồi tính lại hai vế — cách này chậm hơn khi có nhiều nghiệm cần kiểm tra, nhưng lại chắc chắn tuyệt đối, không phụ thuộc việc em có nhớ đúng điều kiện hay không. Hai cách cho cùng một kết quả; bài này trình bày cách đặt điều kiện vì nó nhanh và rèn đúng thói quen \"kiểm tra trước khi kết luận\" xuyên suốt cả khóa.

Bốn chương vừa học — khái niệm, giải phương trình cơ bản, phương trình có ẩn ở mẫu, và phương trình trị tuyệt đối — cùng nhau tạo thành bộ công cụ giải phương trình hoàn chỉnh của lớp 8. Từ chương sau, em không còn tự đặt ra phương trình để luyện tập nữa, mà học cách TỰ LẬP một phương trình đúng từ một bài toán kể bằng lời.

Hai nghiệm

x=8

và

x=-2

của

|x-3|=5

chính là hai điểm cách

3

đúng

5

đơn vị, về hai phía.Hai nghiệm $x=8$ và $x=-2$ của $|x-3|=5$ chính là hai điểm cách $3$ đúng $5$ đơn vị, về hai phía.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Giải phương trình trị tuyệt đối với vế phải là hằng số

1
Giải phương trình $|x-3|=5$ .
Giải phương trình $|x-3|=5$.
2
$B=5\ge 0$ (hằng số dương) nên phương trình tách thành hai trường hợp.
$B=5\ge 0$ (hằng số dương) nên phương trình tách thành hai trường hợp.
3
$x-3=5 \iff x=8$ .
$x-3=5 \iff x=8$.
4
$x-3=-5 \iff x=-2$ .
$x-3=-5 \iff x=-2$.
5
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\{8;-2\}$ (kiểm tra: $|8-3|=5$ và $|-2-3|=|-5|=5$ , cả hai đều đúng).
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\{8;-2\}$ (kiểm tra: $|8-3|=5$ và $|-2-3|=|-5|=5$, cả hai đều đúng).

Ví dụ

Vế phải chứa ẩn, cả hai nghiệm đều hợp lệ

1
Giải phương trình $|2x+1|=x+4$ .
Giải phương trình $|2x+1|=x+4$.
2
Cần $x+4\ge 0$ , tức $x\ge -4$ .
Cần $x+4\ge 0$, tức $x\ge -4$.
3
$2x+1=x+4 \iff x=3$ . Đối chiếu: $3\ge -4$ , thỏa điều kiện.
$2x+1=x+4 \iff x=3$. Đối chiếu: $3\ge -4$, thỏa điều kiện.
4
$2x+1=-(x+4) \iff 2x+1=-x-4 \iff 3x=-5 \iff x=-\dfrac{5}{3}$ . Đối chiếu: $-\dfrac{5}{3}\approx -1{,}67 \ge -4$ , thỏa điều kiện.
$2x+1=-(x+4) \iff 2x+1=-x-4 \iff 3x=-5 \iff x=-\dfrac{5}{3}$. Đối chiếu: $-\dfrac{5}{3}\approx -1{,}67 \ge -4$, thỏa điều kiện.
5
Cả hai giá trị đều thỏa điều kiện $x\ge -4$ nên tập nghiệm là $\left\{3;-\dfrac{5}{3}\right\}$ .
Cả hai giá trị đều thỏa điều kiện $x\ge -4$ nên tập nghiệm là $\left\{3;-\dfrac{5}{3}\right\}$.

Ví dụ

Một nghiệm bị loại vì không thỏa điều kiện (dạng thi)

1
Giải phương trình $|x-1|=3x-5$ .
Giải phương trình $|x-1|=3x-5$.
2
Cần $3x-5\ge 0$ , tức $x\ge \dfrac{5}{3}$ .
Cần $3x-5\ge 0$, tức $x\ge \dfrac{5}{3}$.
3
$x-1=3x-5 \iff -2x=-4 \iff x=2$ . Đối chiếu: $2\ge \dfrac{5}{3}$ , thỏa điều kiện, nhận.
$x-1=3x-5 \iff -2x=-4 \iff x=2$. Đối chiếu: $2\ge \dfrac{5}{3}$, thỏa điều kiện, nhận.
4
$x-1=-(3x-5) \iff x-1=-3x+5 \iff 4x=6 \iff x=1{,}5$ . Đối chiếu: $\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67$ , mà $1{,}5<1{,}67$ nên KHÔNG thỏa điều kiện — loại nghiệm này.
$x-1=-(3x-5) \iff x-1=-3x+5 \iff 4x=6 \iff x=1{,}5$. Đối chiếu: $\dfrac{5}{3}\approx 1{,}67$, mà $1{,}5<1{,}67$ nên KHÔNG thỏa điều kiện — loại nghiệm này.
5
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=2$ ; nghiệm $x=1{,}5$ của trường hợp 2 bị loại vì không thỏa điều kiện $3x-5\ge 0$ .
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm $x=2$; nghiệm $x=1{,}5$ của trường hợp 2 bị loại vì không thỏa điều kiện $3x-5\ge 0$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là chỉ giải trường hợp $A=B$ rồi dừng lại, quên hẳn trường hợp $A=-B$ — mất một nửa tập nghiệm. Lỗi khác là khi $B$ âm, vẫn cố tách hai trường hợp thay vì kết luận vô nghiệm ngay. Khi $B$ chứa ẩn, quên kiểm tra điều kiện $B\ge 0$ cho từng nghiệm cũng là lỗi thường gặp — y hệt lỗi quên đối chiếu ĐKXĐ ở bài trước. Một lỗi dấu tinh vi khác là khi tách trường hợp $A=-B$ , quên đổi dấu MỌI hạng tử của $B$ — với $B=x+4$ thì $-B=-x-4$ , chứ không phải $-x+4$ .

Lỗi phổ biến nhất là chỉ giải trường hợp $A=B$ rồi dừng lại, quên hẳn trường hợp $A=-B$ — mất một nửa tập nghiệm. Lỗi khác là khi $B$ âm, vẫn cố tách hai trường hợp thay vì kết luận vô nghiệm ngay. Khi $B$ chứa ẩn, quên kiểm tra điều kiện $B\ge 0$ cho từng nghiệm cũng là lỗi thường gặp — y hệt lỗi quên đối chiếu ĐKXĐ ở bài trước. Một lỗi dấu tinh vi khác là khi tách trường hợp $A=-B$, quên đổi dấu MỌI hạng tử của $B$ — với $B=x+4$ thì $-B=-x-4$, chứ không phải $-x+4$.

Ghi nhớ

Phương trình $|A|=B$ : nếu $B<0$ thì vô nghiệm ngay; nếu $B\ge 0$ thì tách $A=B$ hoặc $A=-B$ . Khi $B$ chứa ẩn, phải đặt điều kiện $B\ge 0$ và đối chiếu từng nghiệm với điều kiện đó trước khi kết luận. Một phương trình trị tuyệt đối có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm — không có khuôn mẫu cố định, phải kiểm tra từng trường hợp cụ thể.

Phương trình $|A|=B$: nếu $B<0$ thì vô nghiệm ngay; nếu $B\ge 0$ thì tách $A=B$ hoặc $A=-B$. Khi $B$ chứa ẩn, phải đặt điều kiện $B\ge 0$ và đối chiếu từng nghiệm với điều kiện đó trước khi kết luận. Một phương trình trị tuyệt đối có thể có 0, 1 hoặc 2 nghiệm — không có khuôn mẫu cố định, phải kiểm tra từng trường hợp cụ thể.

Bốn bài vừa qua trang bị đủ công cụ giải mọi dạng phương trình bậc nhất một ẩn thường gặp ở lớp 8. Từ chương sau, những công cụ này quay lại phục vụ một nhiệm vụ khác hẳn: dịch một bài toán bằng lời thành một phương trình, rồi giải nó.