Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Quy trình lập phương trình và bài toán chuyển động
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em trình bày được quy trình năm bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, và áp dụng quy trình đó để giải các bài toán chuyển động — hai xe gặp nhau, ca nô xuôi/ngược dòng.
Kiến thức nền cần nhớ
Bốn bài trước đã trang bị đầy đủ kỹ năng GIẢI một phương trình bậc nhất một ẩn, kể cả khi có ngoặc, có ẩn ở mẫu, hay có dấu giá trị tuyệt đối. Bài này dùng lại nguyên vẹn kỹ năng đó, chỉ thêm một khâu mới: tự VIẾT ra phương trình cần giải. Em cũng cần nhớ công thức quãng đường $s=v\times t$ (quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian) đã quen thuộc từ các lớp dưới.
Khởi động
Hai bạn Minh và Nam xuất phát cùng lúc từ hai đầu một con đường dài 90km, đi xe đạp ngược chiều về phía nhau. Sau 1,5 giờ hai bạn gặp nhau. Biết bạn Nam đi nhanh hơn bạn Minh 10km/h. Làm sao tính được vận tốc của mỗi bạn, nếu chỉ có đúng những thông tin này?
Kiến thức trọng tâm
Giải bài toán bằng cách lập phương trình nghĩa là biến một bài toán kể bằng LỜI thành một phương trình đại số, rồi dùng công cụ đã học ở bốn bài trước để giải nó. Toàn bộ quá trình này tuân theo đúng năm bước sau, và năm bước này sẽ được dùng lại — với đúng tên gọi này — cho mọi bài toán lập phương trình trong suốt phần còn lại của khóa học.
Bước 1, chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn: nêu rõ ẩn đại diện cho đại lượng nào, đơn vị gì, và điều kiện để ẩn có nghĩa với thực tế bài toán — chẳng hạn vận tốc phải dương, số người phải là số tự nhiên. Bước 2, biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn, dùng công thức liên hệ giữa chúng — cách tốt nhất là trình bày rõ từng đại lượng như một bảng liệt kê, TRƯỚC KHI viết phương trình, để không bỏ sót thông tin nào của đề. Bước 3, lập phương trình, dựa vào MỘT mối quan hệ mà đề bài cho (thường nằm ở câu cuối \"biết rằng...\"). Bước 4, giải phương trình vừa lập. Bước 5, đối chiếu điều kiện của ẩn và trả lời — nghiệm tìm được phải thỏa điều kiện ở bước 1, và đôi khi đề hỏi một đại lượng KHÁC với ẩn đã chọn, nên phải tính ngược lại trước khi trả lời.
Bước 5 không phải là thủ tục hình thức: một nghiệm âm cho vận tốc, hoặc một số người không nguyên, đều vô lí với thực tế và phải bị loại — giống hệt việc loại một nghiệm không thỏa ĐKXĐ ở Chương 3.
Với bài toán chuyển động, công thức nền vẫn là $s=v\times t$. Khi hai xe xuất phát CÙNG LÚC, đi NGƯỢC CHIỀU về phía nhau và gặp nhau, tổng hai quãng đường mà chúng đi được đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa chúng. Khi một ca nô di chuyển trên sông có dòng nước chảy, vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc riêng cộng vận tốc dòng nước, còn vận tốc ngược dòng bằng vận tốc riêng trừ vận tốc dòng nước.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Hai xe xuất phát ngược chiều, gặp nhau
1
Hai bạn Minh và Nam xuất phát cùng lúc từ hai đầu quãng đường dài 90km, đi ngược chiều về phía nhau, sau 1,5 giờ thì gặp nhau. Biết vận tốc của Nam nhanh hơn vận tốc của Minh 10km/h. Tính vận tốc mỗi bạn.
2
Gọi vận tốc của Minh là $x$ (km/h), điều kiện $x>0$. Khi đó vận tốc của Nam là $x+10$ (km/h).
3
Quãng đường Minh đi được sau 1,5 giờ là $1{,}5x$ (km). Quãng đường Nam đi được sau 1,5 giờ là $1{,}5(x+10)$ (km).
4
Vì hai bạn đi ngược chiều và gặp nhau, tổng hai quãng đường bằng khoảng cách ban đầu: $1{,}5x+1{,}5(x+10)=90$.
5
$1{,}5x+1{,}5x+15=90 \iff 3x=75 \iff x=25$.
6
$x=25$ thỏa điều kiện $x>0$. Vậy vận tốc của Minh là $25$km/h, vận tốc của Nam là $25+10=35$km/h.
Ví dụ
Ca nô xuôi dòng và ngược dòng (dạng thi)
1
Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B hết 2 giờ, và ngược dòng từ B về A hết 3 giờ, biết vận tốc dòng nước là 3km/h. Tính vận tốc riêng của ca nô và quãng đường AB.
2
Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h), điều kiện $x>3$ (phải lớn hơn vận tốc dòng nước thì ca nô mới đi ngược dòng được).
3
Xuôi dòng: vận tốc $x+3$ (km/h), thời gian 2 giờ, quãng đường $2(x+3)$ (km). Ngược dòng: vận tốc $x-3$ (km/h), thời gian 3 giờ, quãng đường $3(x-3)$ (km).
4
Quãng đường AB tính theo chiều xuôi và theo chiều ngược phải bằng nhau: $2(x+3)=3(x-3)$.
5
$2x+6=3x-9 \iff 15=x \iff x=15$.
6
$x=15$ thỏa điều kiện $x>3$. Vậy vận tốc riêng của ca nô là $15$km/h, và quãng đường $AB=2\times(15+3)=36$km.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Sai lầm thường gặp
Lỗi nặng nhất là quên đặt điều kiện cho ẩn ở bước 1 — vận tốc, thời gian đều phải dương — nên khi giải ra nghiệm âm vẫn nhận bừa mà không nhận ra nó vô lí. Lỗi khác là nhầm lẫn giữa hai tình huống chuyển động: đi ngược chiều gặp nhau thì CỘNG hai quãng đường, còn đuổi kịp (cùng chiều) thì hai quãng đường phải BẰNG NHAU chứ không cộng — phải đọc kỹ đề để biết đang ở tình huống nào trước khi lập phương trình.
Ghi nhớ
Quy trình năm bước — chọn ẩn và đặt điều kiện, biểu diễn qua ẩn, lập phương trình, giải, đối chiếu và trả lời — là khung chung cho MỌI bài toán lập phương trình, không riêng bài toán chuyển động. Với chuyển động: quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian; ngược chiều gặp nhau thì cộng quãng đường; ca nô xuôi/ngược dòng thì vận tốc thay đổi theo dòng nước.
Bài sau áp dụng đúng quy trình năm bước này cho một bối cảnh khác hẳn — bài toán công việc chung — nơi đại lượng cần liên hệ không phải quãng đường, mà là khối lượng công việc.
Bốn bài trước đã trang bị đầy đủ kỹ năng GIẢI một phương trình bậc nhất một ẩn, kể cả khi có ngoặc, có ẩn ở mẫu, hay có dấu giá trị tuyệt đối. Bài này dùng lại nguyên vẹn kỹ năng đó, chỉ thêm một khâu mới: tự VIẾT ra phương trình cần giải. Em cũng cần nhớ công thức quãng đường s=v×t (quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian) đã quen thuộc từ các lớp dưới.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình nghĩa là biến một bài toán kể bằng LỜI thành một phương trình đại số, rồi dùng công cụ đã học ở bốn bài trước để giải nó. Toàn bộ quá trình này tuân theo đúng năm bước sau, và năm bước này sẽ được dùng lại — với đúng tên gọi này — cho mọi bài toán lập phương trình trong suốt phần còn lại của khóa học.
Bước 1, chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn: nêu rõ ẩn đại diện cho đại lượng nào, đơn vị gì, và điều kiện để ẩn có nghĩa với thực tế bài toán — chẳng hạn vận tốc phải dương, số người phải là số tự nhiên. Bước 2, biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn, dùng công thức liên hệ giữa chúng — cách tốt nhất là trình bày rõ từng đại lượng như một bảng liệt kê, TRƯỚC KHI viết phương trình, để không bỏ sót thông tin nào của đề. Bước 3, lập phương trình, dựa vào MỘT mối quan hệ mà đề bài cho (thường nằm ở câu cuối "biết rằng..."). Bước 4, giải phương trình vừa lập. Bước 5, đối chiếu điều kiện của ẩn và trả lời — nghiệm tìm được phải thỏa điều kiện ở bước 1, và đôi khi đề hỏi một đại lượng KHÁC với ẩn đã chọn, nên phải tính ngược lại trước khi trả lời.
Với bài toán chuyển động, công thức nền vẫn là s=v×t. Khi hai xe xuất phát CÙNG LÚC, đi NGƯỢC CHIỀU về phía nhau và gặp nhau, tổng hai quãng đường mà chúng đi được đúng bằng khoảng cách ban đầu giữa chúng. Khi một ca nô di chuyển trên sông có dòng nước chảy, vận tốc xuôi dòng bằng vận tốc riêng cộng vận tốc dòng nước, còn vận tốc ngược dòng bằng vận tốc riêng trừ vận tốc dòng nước.
Gọi vận tốc của Minh là x (km/h), điều kiện x>0. Khi đó vận tốc của Nam là x+10 (km/h).
Quãng đường Minh đi được sau 1,5 giờ là 1,5x (km). Quãng đường Nam đi được sau 1,5 giờ là 1,5(x+10) (km).
Vì hai bạn đi ngược chiều và gặp nhau, tổng hai quãng đường bằng khoảng cách ban đầu: 1,5x+1,5(x+10)=90.
1,5x+1,5x+15=90⟺3x=75⟺x=25.
x=25 thỏa điều kiện x>0. Vậy vận tốc của Minh là 25km/h, vận tốc của Nam là 25+10=35km/h.
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h), điều kiện x>3 (phải lớn hơn vận tốc dòng nước thì ca nô mới đi ngược dòng được).
Xuôi dòng: vận tốc x+3 (km/h), thời gian 2 giờ, quãng đường 2(x+3) (km). Ngược dòng: vận tốc x−3 (km/h), thời gian 3 giờ, quãng đường 3(x−3) (km).
Quãng đường AB tính theo chiều xuôi và theo chiều ngược phải bằng nhau: 2(x+3)=3(x−3).
2x+6=3x−9⟺15=x⟺x=15.
x=15 thỏa điều kiện x>3. Vậy vận tốc riêng của ca nô là 15km/h, và quãng đường AB=2×(15+3)=36km.
Lỗi nặng nhất là quên đặt điều kiện cho ẩn ở bước 1 — vận tốc, thời gian đều phải dương — nên khi giải ra nghiệm âm vẫn nhận bừa mà không nhận ra nó vô lí. Lỗi khác là nhầm lẫn giữa hai tình huống chuyển động: đi ngược chiều gặp nhau thì CỘNG hai quãng đường, còn đuổi kịp (cùng chiều) thì hai quãng đường phải BẰNG NHAU chứ không cộng — phải đọc kỹ đề để biết đang ở tình huống nào trước khi lập phương trình.
Quy trình năm bước — chọn ẩn và đặt điều kiện, biểu diễn qua ẩn, lập phương trình, giải, đối chiếu và trả lời — là khung chung cho MỌI bài toán lập phương trình, không riêng bài toán chuyển động. Với chuyển động: quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian; ngược chiều gặp nhau thì cộng quãng đường; ca nô xuôi/ngược dòng thì vận tốc thay đổi theo dòng nước.