Bài học

Giải phương trình cos x = a

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\cos x=a$ , và vận dụng để giải các phương trình có ẩn số nằm trong đối số (như $\cos(2x)=a$ ) rồi liệt kê đầy đủ nghiệm trên một đoạn cho trước.

Sau bài này, em nêu đúng điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm tổng quát của phương trình $\cos x=a$, và vận dụng để giải các phương trình có ẩn số nằm trong đối số (như $\cos(2x)=a$) rồi liệt kê đầy đủ nghiệm trên một đoạn cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã giải phương trình $\sin x=a$ bằng cách xác định góc $\alpha$ rồi áp dụng công thức nghiệm (same-grade bridge). Bài này lặp lại đúng quy trình đó cho $\cos x=a$ , chỉ khác ở công thức nghiệm cuối cùng — vì đường thẳng đứng $x=a$ cắt đường tròn lượng giác theo cách khác với đường thẳng ngang $y=a$ .

Bài trước đã giải phương trình $\sin x=a$ bằng cách xác định góc $\alpha$ rồi áp dụng công thức nghiệm (same-grade bridge). Bài này lặp lại đúng quy trình đó cho $\cos x=a$, chỉ khác ở công thức nghiệm cuối cùng — vì đường thẳng đứng $x=a$ cắt đường tròn lượng giác theo cách khác với đường thẳng ngang $y=a$.

Khởi động

Vị trí theo phương ngang của một vật dao động điều hòa quanh gốc tọa độ cho bởi $x(t)=\cos t$ . Trong một chu kỳ, có bao nhiêu thời điểm vật ở đúng tọa độ $-\dfrac{\sqrt2}{2}$ ?

Vị trí theo phương ngang của một vật dao động điều hòa quanh gốc tọa độ cho bởi $x(t)=\cos t$. Trong một chu kỳ, có bao nhiêu thời điểm vật ở đúng tọa độ $-\dfrac{\sqrt2}{2}$?

Kiến thức trọng tâm

Vì tập giá trị của hàm cos cũng là $[-1;1]$ , phương trình $\cos x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$ — hoàn toàn giống điều kiện của $\sin x=a$ .

Vì tập giá trị của hàm cos cũng là $[-1;1]$, phương trình $\cos x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$ — hoàn toàn giống điều kiện của $\sin x=a$.

Với $|a|\le1$ , gọi $\alpha$ là một số thực với $\cos\alpha=a$ (thường chọn $\alpha\in[0;\pi]$ , viết $\alpha=\arccos a$ ). Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng đứng $x=a$ cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành — ứng với góc $\alpha$ và góc $-\alpha$ . Do tính tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ , nghiệm tổng quát là $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ), thường viết gọn thành $x=\pm\alpha+k2\pi$ .

Với $|a|\le1$, gọi $\alpha$ là một số thực với $\cos\alpha=a$ (thường chọn $\alpha\in[0;\pi]$, viết $\alpha=\arccos a$). Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng đứng $x=a$ cắt đường tròn tại hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành — ứng với góc $\alpha$ và góc $-\alpha$. Do tính tuần hoàn chu kỳ $2\pi$, nghiệm tổng quát là $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=-\alpha+k2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$), thường viết gọn thành $x=\pm\alpha+k2\pi$.

So với $\sin x=a$ (một nghiệm $\alpha$ , một nghiệm $\pi-\alpha$ ), công thức của $\cos x=a$ đơn giản hơn: hai nghiệm chỉ khác nhau ở dấu, $\pm\alpha$ . Các trường hợp đặc biệt: $a=1$ cho $x=k2\pi$ ; $a=-1$ cho $x=\pi+k2\pi$ ; $a=0$ cho $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ (hai họ $\pm\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ gộp lại vì cách nhau đúng $\pi$ ).

So với $\sin x=a$ (một nghiệm $\alpha$, một nghiệm $\pi-\alpha$), công thức của $\cos x=a$ đơn giản hơn: hai nghiệm chỉ khác nhau ở dấu, $\pm\alpha$. Các trường hợp đặc biệt: $a=1$ cho $x=k2\pi$; $a=-1$ cho $x=\pi+k2\pi$; $a=0$ cho $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ (hai họ $\pm\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ gộp lại vì cách nhau đúng $\pi$).

Hình dưới minh họa đồ thị $y=\cos(2x)$ — đúng dạng xuất hiện trong Ví dụ 2 bên dưới — cùng đường nét đứt $y=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ và bốn điểm cắt trên $[0;2\pi]$ .

Vì đối số là 2x, đồ thị dao động nhanh gấp đôi trong cùng đoạn [0;2π], nên đường thẳng y=-√2/2 cắt nó tới bốn lần thay vì hai.

Ví dụ

Giải phương trình

\cos x=-\dfrac12

Giải phương trình $\cos x=-\dfrac12$

1
Giải phương trình $\cos x=-\dfrac12$ .
Giải phương trình $\cos x=-\dfrac12$.
2
Ta có $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12$ , nên chọn $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$ .
Ta có $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12$, nên chọn $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$.
3
Theo công thức nghiệm của $\cos x=a$ : $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Theo công thức nghiệm của $\cos x=a$: $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.
4
Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Vậy phương trình có nghiệm $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

Ví dụ

Giải phương trình

\cos2x=-\dfrac{\sqrt2}{2}

và liệt kê nghiệm trên

[0;2\pi]

Giải phương trình $\cos2x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ và liệt kê nghiệm trên $[0;2\pi]$

1
Giải phương trình $\cos2x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ rồi liệt kê các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$ .
Giải phương trình $\cos2x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ rồi liệt kê các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$.
2
Đặt $\theta=2x$ . Phương trình trở thành $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
Đặt $\theta=2x$. Phương trình trở thành $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}{2}$.
3
Vì $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ , chọn $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}$ . Suy ra $\theta=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$ .
Vì $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, chọn $\alpha=\dfrac{3\pi}{4}$. Suy ra $\theta=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$.
4
Từ $\theta=2x$ suy ra $x=\dfrac{\theta}{2}$ , tức $x=\pm\dfrac{3\pi}{8}+k\pi$ (chia cả họ nghiệm, kể cả $k2\pi$ , cho 2).
Từ $\theta=2x$ suy ra $x=\dfrac{\theta}{2}$, tức $x=\pm\dfrac{3\pi}{8}+k\pi$ (chia cả họ nghiệm, kể cả $k2\pi$, cho 2).
5
Với $x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi$ : $k=0$ cho $\dfrac{3\pi}{8}$ , $k=1$ cho $\dfrac{11\pi}{8}$ , cả hai thuộc $[0;2\pi]$ . Với $x=-\dfrac{3\pi}{8}+k\pi$ : $k=1$ cho $\dfrac{5\pi}{8}$ , $k=2$ cho $\dfrac{13\pi}{8}$ , cả hai thuộc $[0;2\pi]$ (còn $k=0$ cho $-\dfrac{3\pi}{8}<0$ , loại).
Với $x=\dfrac{3\pi}{8}+k\pi$: $k=0$ cho $\dfrac{3\pi}{8}$, $k=1$ cho $\dfrac{11\pi}{8}$, cả hai thuộc $[0;2\pi]$. Với $x=-\dfrac{3\pi}{8}+k\pi$: $k=1$ cho $\dfrac{5\pi}{8}$, $k=2$ cho $\dfrac{13\pi}{8}$, cả hai thuộc $[0;2\pi]$ (còn $k=0$ cho $-\dfrac{3\pi}{8}<0$, loại).
6
Thay $x=\dfrac{3\pi}{8}$ : $2x=\dfrac{3\pi}{4}$ , $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ (TMĐK).
Thay $x=\dfrac{3\pi}{8}$: $2x=\dfrac{3\pi}{4}$, $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ (TMĐK).
7
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi]$ : $\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{5\pi}{8};\dfrac{11\pi}{8};\dfrac{13\pi}{8}$ .
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi]$: $\dfrac{3\pi}{8};\dfrac{5\pi}{8};\dfrac{11\pi}{8};\dfrac{13\pi}{8}$.

So sánh cách trình bày hai ví dụ trên với hai ví dụ tương ứng của bài $\sin x=a$ : cấu trúc bài giải giống hệt nhau (đặt ẩn phụ theo góc, giải phương trình cơ bản, trở lại biến $x$ , đối chiếu đoạn), chỉ khác công thức nghiệm cuối cùng. Nắm vững sự tương đồng này giúp em không phải học thuộc bốn quy trình rời rạc, mà chỉ cần nhớ một quy trình chung và bốn công thức nghiệm khác nhau.

So sánh cách trình bày hai ví dụ trên với hai ví dụ tương ứng của bài $\sin x=a$: cấu trúc bài giải giống hệt nhau (đặt ẩn phụ theo góc, giải phương trình cơ bản, trở lại biến $x$, đối chiếu đoạn), chỉ khác công thức nghiệm cuối cùng. Nắm vững sự tương đồng này giúp em không phải học thuộc bốn quy trình rời rạc, mà chỉ cần nhớ một quy trình chung và bốn công thức nghiệm khác nhau.

Ví dụ

Một ứng dụng thực tế: tìm thời điểm nhiệt độ trung bình bằng 20°C

1
Nhiệt độ trung bình tháng thứ $t$ trong năm tại một địa phương được mô hình hóa bởi $T(t)=25+5\cos\left(\dfrac{\pi}{6}(t-7)\right)$ (độ C, $t=1,\ldots,12$ ứng với tháng 1 đến tháng 12, và tháng 7 được chọn làm mốc vì đó là tháng nóng nhất trong mô hình). Tìm tháng có nhiệt độ trung bình đúng bằng $20^\circ$ C.
Nhiệt độ trung bình tháng thứ $t$ trong năm tại một địa phương được mô hình hóa bởi $T(t)=25+5\cos\left(\dfrac{\pi}{6}(t-7)\right)$ (độ C, $t=1,\ldots,12$ ứng với tháng 1 đến tháng 12, và tháng 7 được chọn làm mốc vì đó là tháng nóng nhất trong mô hình). Tìm tháng có nhiệt độ trung bình đúng bằng $20^\circ$C.
2
Cần giải $25+5\cos\left(\dfrac{\pi}{6}(t-7)\right)=20$ , tức $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}(t-7)\right)=-1$ .
Cần giải $25+5\cos\left(\dfrac{\pi}{6}(t-7)\right)=20$, tức $\cos\left(\dfrac{\pi}{6}(t-7)\right)=-1$.
3
Đặt $\theta=\dfrac{\pi}{6}(t-7)$ . Từ $\cos\theta=-1$ suy ra $\theta=\pi+k2\pi$ .
Đặt $\theta=\dfrac{\pi}{6}(t-7)$. Từ $\cos\theta=-1$ suy ra $\theta=\pi+k2\pi$.
4
Từ $\theta=\dfrac{\pi}{6}(t-7)$ suy ra $t-7=6\theta/\pi=6+12k$ , tức $t=13+12k$ .
Từ $\theta=\dfrac{\pi}{6}(t-7)$ suy ra $t-7=6\theta/\pi=6+12k$, tức $t=13+12k$.
5
Trong 12 tháng của một năm ( $1\le t\le12$ ), chỉ $k=-1$ cho $t=13-12=1$ thỏa mãn.
Trong 12 tháng của một năm ($1\le t\le12$), chỉ $k=-1$ cho $t=13-12=1$ thỏa mãn.
6
Vậy tháng 1 là tháng có nhiệt độ trung bình đúng $20^\circ$ C theo mô hình — hợp lý với thực tế khí hậu Việt Nam, nơi tháng 1 thường là tháng lạnh nhất trong năm, ứng với $\cos$ đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ trong công thức.
Vậy tháng 1 là tháng có nhiệt độ trung bình đúng $20^\circ$C theo mô hình — hợp lý với thực tế khí hậu Việt Nam, nơi tháng 1 thường là tháng lạnh nhất trong năm, ứng với $\cos$ đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ trong công thức.

Ví dụ

Giải phương trình

\cos3x=\dfrac12

và đếm nghiệm trên

[0;\pi]

Giải phương trình $\cos3x=\dfrac12$ và đếm nghiệm trên $[0;\pi]$

1
Giải phương trình $\cos3x=\dfrac12$ rồi đếm số nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi]$ .
Giải phương trình $\cos3x=\dfrac12$ rồi đếm số nghiệm thuộc đoạn $[0;\pi]$.
2
Đặt $\theta=3x$ . Từ $\cos\theta=\dfrac12$ suy ra $\theta=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$ .
Đặt $\theta=3x$. Từ $\cos\theta=\dfrac12$ suy ra $\theta=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$.
3
Từ $\theta=3x$ suy ra $x=\dfrac{\theta}{3}$ , tức $x=\pm\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$ (chia cả họ nghiệm cho 3).
Từ $\theta=3x$ suy ra $x=\dfrac{\theta}{3}$, tức $x=\pm\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$ (chia cả họ nghiệm cho 3).
4
Với $x=\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$ : $k=0$ cho $\dfrac{\pi}{9}$ , $k=1$ cho $\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{6\pi}{9}=\dfrac{7\pi}{9}$ , cả hai thuộc $[0;\pi]$ ( $k=2$ cho $\dfrac{13\pi}{9}>\pi$ , loại). Với $x=-\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$ : $k=1$ cho $-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{6\pi}{9}=\dfrac{5\pi}{9}$ , thuộc $[0;\pi]$ ( $k=0$ cho giá trị âm, $k=2$ cho $\dfrac{11\pi}{9}>\pi$ , cả hai loại).
Với $x=\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$: $k=0$ cho $\dfrac{\pi}{9}$, $k=1$ cho $\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{6\pi}{9}=\dfrac{7\pi}{9}$, cả hai thuộc $[0;\pi]$ ($k=2$ cho $\dfrac{13\pi}{9}>\pi$, loại). Với $x=-\dfrac{\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$: $k=1$ cho $-\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{6\pi}{9}=\dfrac{5\pi}{9}$, thuộc $[0;\pi]$ ($k=0$ cho giá trị âm, $k=2$ cho $\dfrac{11\pi}{9}>\pi$, cả hai loại).
5
Thay $x=\dfrac{\pi}{9}$ : $3x=\dfrac{\pi}{3}$ , $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ (TMĐK).
Thay $x=\dfrac{\pi}{9}$: $3x=\dfrac{\pi}{3}$, $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ (TMĐK).
6
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm trên $[0;\pi]$ : $\dfrac{\pi}{9};\dfrac{5\pi}{9};\dfrac{7\pi}{9}$ — nhiều hơn 2 nghiệm như trên một đoạn độ dài $2\pi$ thông thường, vì hệ số 3 trong $\cos3x$ làm hàm dao động nhanh gấp ba, nên trên cùng một đoạn số nghiệm cũng nhiều hơn theo tỉ lệ đó.
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm trên $[0;\pi]$: $\dfrac{\pi}{9};\dfrac{5\pi}{9};\dfrac{7\pi}{9}$ — nhiều hơn 2 nghiệm như trên một đoạn độ dài $2\pi$ thông thường, vì hệ số 3 trong $\cos3x$ làm hàm dao động nhanh gấp ba, nên trên cùng một đoạn số nghiệm cũng nhiều hơn theo tỉ lệ đó.

Cũng như $\sin x=a$ , phương trình $\cos x=a$ có ba trường hợp đáng chú ý trước khi áp dụng công thức tổng quát: $a=1$ và $a=-1$ chỉ cho một họ nghiệm (hai điểm cắt trùng làm một), còn $a=0$ tuy về công thức vẫn có hai họ $\pm\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ , nhưng hai họ đó lại gộp gọn thành một biểu thức $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ vì khoảng cách giữa chúng đúng bằng $\pi$ . Nhận diện các trường hợp đặc biệt này trước khi viết nghiệm giúp bài giải gọn và tránh sai sót khi đối chiếu với đáp án.

Cũng như $\sin x=a$, phương trình $\cos x=a$ có ba trường hợp đáng chú ý trước khi áp dụng công thức tổng quát: $a=1$ và $a=-1$ chỉ cho một họ nghiệm (hai điểm cắt trùng làm một), còn $a=0$ tuy về công thức vẫn có hai họ $\pm\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$, nhưng hai họ đó lại gộp gọn thành một biểu thức $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ vì khoảng cách giữa chúng đúng bằng $\pi$. Nhận diện các trường hợp đặc biệt này trước khi viết nghiệm giúp bài giải gọn và tránh sai sót khi đối chiếu với đáp án.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến là chỉ viết một họ nghiệm $x=\alpha+k2\pi$ mà quên dấu trừ $x=-\alpha+k2\pi$ . Sai lầm khác, như ở Ví dụ 2, là khi trở lại biến $x$ từ $\theta=2x$ , học sinh chỉ chia phần $k2\pi$ cho 2 mà quên chia luôn góc $\alpha$ , làm mất một nửa số nghiệm khi liệt kê trên một đoạn. Một sai lầm khác nữa là nhầm dấu $\pm$ của công thức cos với dấu cộng duy nhất của công thức sin, dẫn đến bỏ sót đúng một họ nghiệm.

Sai lầm phổ biến là chỉ viết một họ nghiệm $x=\alpha+k2\pi$ mà quên dấu trừ $x=-\alpha+k2\pi$. Sai lầm khác, như ở Ví dụ 2, là khi trở lại biến $x$ từ $\theta=2x$, học sinh chỉ chia phần $k2\pi$ cho 2 mà quên chia luôn góc $\alpha$, làm mất một nửa số nghiệm khi liệt kê trên một đoạn. Một sai lầm khác nữa là nhầm dấu $\pm$ của công thức cos với dấu cộng duy nhất của công thức sin, dẫn đến bỏ sót đúng một họ nghiệm.

Một cách nhớ khác để phân biệt công thức nghiệm của $\sin x=a$ và $\cos x=a$ : vì $\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ (đã học ở bài đầu chương), hai công thức thực chất chỉ là một công thức được viết dưới hai lớp vỏ khác nhau. Học sinh không cần nhớ máy móc hai công thức tách biệt, mà có thể tự suy ra công thức của $\cos x=a$ từ công thức của $\sin x=a$ bằng phép đổi biến này, nếu lỡ quên trong lúc làm bài.

Một cách nhớ khác để phân biệt công thức nghiệm của $\sin x=a$ và $\cos x=a$: vì $\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ (đã học ở bài đầu chương), hai công thức thực chất chỉ là một công thức được viết dưới hai lớp vỏ khác nhau. Học sinh không cần nhớ máy móc hai công thức tách biệt, mà có thể tự suy ra công thức của $\cos x=a$ từ công thức của $\sin x=a$ bằng phép đổi biến này, nếu lỡ quên trong lúc làm bài.

Chú ý rằng số nghiệm trên một đoạn phụ thuộc trực tiếp vào hệ số của $x$ trong đối số: hệ số càng lớn, hàm dao động càng nhanh, và số nghiệm trên cùng một đoạn càng nhiều — đúng như đã thấy khi so sánh $\cos x=a$ (2 nghiệm trên $[0;2\pi]$ ), $\cos2x=a$ (4 nghiệm trên $[0;2\pi]$ ), và $\cos3x=a$ (3 nghiệm trên $[0;\pi]$ , tức 6 nghiệm nếu xét trên cả $[0;2\pi]$ ). Quy luật này giúp em kiểm tra nhanh đáp số đếm nghiệm của mình có hợp lý hay không, ngay cả khi chưa liệt kê hết.

Chú ý rằng số nghiệm trên một đoạn phụ thuộc trực tiếp vào hệ số của $x$ trong đối số: hệ số càng lớn, hàm dao động càng nhanh, và số nghiệm trên cùng một đoạn càng nhiều — đúng như đã thấy khi so sánh $\cos x=a$ (2 nghiệm trên $[0;2\pi]$), $\cos2x=a$ (4 nghiệm trên $[0;2\pi]$), và $\cos3x=a$ (3 nghiệm trên $[0;\pi]$, tức 6 nghiệm nếu xét trên cả $[0;2\pi]$). Quy luật này giúp em kiểm tra nhanh đáp số đếm nghiệm của mình có hợp lý hay không, ngay cả khi chưa liệt kê hết.

Ghi nhớ

$\cos x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$ . Với $\cos\alpha=a$ , nghiệm tổng quát là $x=\pm\alpha+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

$\cos x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$. Với $\cos\alpha=a$, nghiệm tổng quát là $x=\pm\alpha+k2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

Bài tiếp theo hoàn thiện bộ bốn phương trình cơ bản bằng $\tan x=a$ và $\cot x=a$ — hai phương trình có công thức nghiệm đơn giản hơn vì chu kỳ chỉ là $\pi$ , và luôn có nghiệm với mọi giá trị của $a$ , không cần điều kiện $|a|\le1$ .

Bài tiếp theo hoàn thiện bộ bốn phương trình cơ bản bằng $\tan x=a$ và $\cot x=a$ — hai phương trình có công thức nghiệm đơn giản hơn vì chu kỳ chỉ là $\pi$, và luôn có nghiệm với mọi giá trị của $a$, không cần điều kiện $|a|\le1$.