Bài học

Giải phương trình tan x = a và cot x = a

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em viết đúng công thức nghiệm của $\tan x=a$ và $\cot x=a$ kèm điều kiện xác định, và vận dụng để giải các phương trình có ẩn số nằm trong đối số, kiểm tra điều kiện xác định sau khi giải.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài về hàm số tan, cot đã cho em tập xác định và chu kỳ $\pi$ của hai hàm này (same-grade bridge); hai bài về $\sin x=a$ , $\cos x=a$ đã cho em quy trình chung để giải một phương trình lượng giác cơ bản: xác định góc đặc biệt rồi áp dụng công thức nghiệm. Bài này áp dụng đúng quy trình đó cho tan và cot.

Bài về hàm số tan, cot đã cho em tập xác định và chu kỳ $\pi$ của hai hàm này (same-grade bridge); hai bài về $\sin x=a$, $\cos x=a$ đã cho em quy trình chung để giải một phương trình lượng giác cơ bản: xác định góc đặc biệt rồi áp dụng công thức nghiệm. Bài này áp dụng đúng quy trình đó cho tan và cot.

Khởi động

Một đoạn dốc có độ nghiêng sao cho tỉ số chiều cao trên chiều dài ngang đúng bằng 1. Góc nghiêng của dốc so với phương ngang là bao nhiêu? Có phải chỉ một góc duy nhất thỏa mãn trong toàn bộ các vòng quay có thể?

Kiến thức trọng tâm

Khác với $\sin x=a$ và $\cos x=a$ , phương trình $\tan x=a$ có nghiệm với MỌI giá trị thực của $a$ — vì khi $x$ chạy trong một khoảng giữa hai tiệm cận liên tiếp, $\tan x$ nhận mọi giá trị từ $-\infty$ đến $+\infty$ , nên chắc chắn đạt đúng giá trị $a$ tại một điểm duy nhất trong khoảng đó. Tất nhiên vẫn phải nhớ điều kiện xác định $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ đã học ở bài trước.

Khác với $\sin x=a$ và $\cos x=a$, phương trình $\tan x=a$ có nghiệm với MỌI giá trị thực của $a$ — vì khi $x$ chạy trong một khoảng giữa hai tiệm cận liên tiếp, $\tan x$ nhận mọi giá trị từ $-\infty$ đến $+\infty$, nên chắc chắn đạt đúng giá trị $a$ tại một điểm duy nhất trong khoảng đó. Tất nhiên vẫn phải nhớ điều kiện xác định $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ đã học ở bài trước.

Gọi $\alpha$ là một số thực với $\tan\alpha=a$ (viết $\alpha=\arctan a$ , luôn tồn tại và duy nhất trong $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ ). Vì $\tan x$ tuần hoàn chu kỳ $\pi$ , nghiệm tổng quát của $\tan x=a$ là $x=\alpha+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ — chỉ một họ nghiệm duy nhất, khác với sin, cos cần hai họ, vì trên mỗi khoảng độ dài $\pi$ , hàm tan chỉ cắt đường thẳng $y=a$ đúng một lần.

Gọi $\alpha$ là một số thực với $\tan\alpha=a$ (viết $\alpha=\arctan a$, luôn tồn tại và duy nhất trong $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$). Vì $\tan x$ tuần hoàn chu kỳ $\pi$, nghiệm tổng quát của $\tan x=a$ là $x=\alpha+k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$ — chỉ một họ nghiệm duy nhất, khác với sin, cos cần hai họ, vì trên mỗi khoảng độ dài $\pi$, hàm tan chỉ cắt đường thẳng $y=a$ đúng một lần.

Tương tự, phương trình $\cot x=a$ có nghiệm với mọi $a$ (điều kiện xác định $x\ne k\pi$ ), và nghiệm tổng quát là $x=\beta+k\pi$ với $\cot\beta=a$ .

Tương tự, phương trình $\cot x=a$ có nghiệm với mọi $a$ (điều kiện xác định $x\ne k\pi$), và nghiệm tổng quát là $x=\beta+k\pi$ với $\cot\beta=a$.

Khi giải một phương trình dạng $\tan u=\tan v$ ( $u,v$ là hai biểu thức chứa $x$ ), ta áp dụng trực tiếp $u=v+k\pi$ , kèm điều kiện xác định của cả $u$ lẫn $v$ . Cách làm với $\cot u=\cot v$ hoàn toàn tương tự: $u=v+k\pi$ . Vì công thức chỉ có một họ nghiệm, bước kiểm tra điều kiện xác định thường chỉ cần thực hiện một lần cho cả họ, thay vì kiểm tra riêng từng nghiệm.

Khi giải một phương trình dạng $\tan u=\tan v$ ($u,v$ là hai biểu thức chứa $x$), ta áp dụng trực tiếp $u=v+k\pi$, kèm điều kiện xác định của cả $u$ lẫn $v$. Cách làm với $\cot u=\cot v$ hoàn toàn tương tự: $u=v+k\pi$. Vì công thức chỉ có một họ nghiệm, bước kiểm tra điều kiện xác định thường chỉ cần thực hiện một lần cho cả họ, thay vì kiểm tra riêng từng nghiệm.

Hình dưới minh họa đồ thị $y=\cot x$ trên một chu kỳ $(0;\pi)$ , cùng hai đường tiệm cận đứng và hai điểm đặc biệt dùng ở các ví dụ bên dưới.

Hình dưới minh họa đồ thị $y=\cot x$ trên một chu kỳ $(0;\pi)$, cùng hai đường tiệm cận đứng và hai điểm đặc biệt dùng ở các ví dụ bên dưới.

Trên một chu kỳ (0;π), cot x giảm dần từ +∞ về -∞; điểm cot(π/3)=√3/3 chính là góc dùng ở Ví dụ 2 để giải phương trình cot bên dưới.

Ví dụ

Giải phương trình

\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1

Giải phương trình $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1$

1
Giải phương trình $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1$ .
Giải phương trình $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1$.
2
Ta có $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$ , nên phương trình viết lại thành $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\dfrac{\pi}{4}$ .
Ta có $\tan\dfrac{\pi}{4}=1$, nên phương trình viết lại thành $\tan\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan\dfrac{\pi}{4}$.
3
Suy ra $x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ .
Suy ra $x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.
4
Vậy $x=k\pi$ .
Vậy $x=k\pi$.
5
Điều kiện là $x+\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k'\pi$ , tức $x\ne\dfrac{\pi}{4}+k'\pi$ . Vì $\dfrac{\pi}{4}$ không phải bội nguyên của $\pi$ , mọi nghiệm $x=k\pi$ đều thỏa mãn (TMĐK).
Điều kiện là $x+\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k'\pi$, tức $x\ne\dfrac{\pi}{4}+k'\pi$. Vì $\dfrac{\pi}{4}$ không phải bội nguyên của $\pi$, mọi nghiệm $x=k\pi$ đều thỏa mãn (TMĐK).
6
Vậy phương trình có nghiệm $x=k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Ví dụ

Giải phương trình

\cot\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{3}

Giải phương trình $\cot\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{3}$

1
Giải phương trình $\cot\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .
Giải phương trình $\cot\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{3}$.
2
Ta có $\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$ , nên chọn $\beta=\dfrac{\pi}{3}$ .
Ta có $\cot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{3}$, nên chọn $\beta=\dfrac{\pi}{3}$.
3
Suy ra $2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ .
Suy ra $2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$.
4
$2x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}+k\pi=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ , suy ra $x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2}$ (chia cả họ nghiệm cho 2).
$2x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}+k\pi=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$, suy ra $x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2}$ (chia cả họ nghiệm cho 2).
5
Điều kiện là $2x+\dfrac{\pi}{6}\ne k'\pi$ ; vì ta đang xét đúng giá trị $2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ và $\dfrac{\pi}{3}$ không phải bội của $\pi$ , mọi nghiệm tìm được đều TMĐK.
Điều kiện là $2x+\dfrac{\pi}{6}\ne k'\pi$; vì ta đang xét đúng giá trị $2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ và $\dfrac{\pi}{3}$ không phải bội của $\pi$, mọi nghiệm tìm được đều TMĐK.
6
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2}$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{12}+k\dfrac{\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$.

So sánh bốn công thức nghiệm đã học trong chương này với chương trước: $\sin x=a$ và $\cos x=a$ mỗi phương trình cho hai họ nghiệm cộng $k2\pi$ (chu kỳ dài hơn, công thức phức tạp hơn); còn $\tan x=a$ và $\cot x=a$ mỗi phương trình chỉ cho một họ nghiệm cộng $k\pi$ (chu kỳ ngắn hơn, công thức đơn giản hơn). Sự khác biệt này không phải ngẫu nhiên — nó phản ánh đúng sự khác biệt về chu kỳ và tính đơn điệu của bốn hàm số đã học ở hai bài đầu chương.

Ví dụ

Giải phương trình

\tan(2x)=\tan x

— cẩn thận điều kiện xác địnhGiải phương trình $\tan(2x)=\tan x$ — cẩn thận điều kiện xác định

1
Giải phương trình $\tan(2x)=\tan x$ .
Giải phương trình $\tan(2x)=\tan x$.
2
Theo công thức $\tan u=\tan v\iff u=v+k\pi$ , ta có $2x=x+k\pi$ .
Theo công thức $\tan u=\tan v\iff u=v+k\pi$, ta có $2x=x+k\pi$.
3
Suy ra $x=k\pi$ .
Suy ra $x=k\pi$.
4
Điều kiện là $\cos(2x)\ne0$ và $\cos x\ne0$ . Với $x=k\pi$ : $\cos x=\cos(k\pi)=\pm1\ne0$ (TMĐK phần này); $\cos(2x)=\cos(2k\pi)=1\ne0$ (TMĐK phần này). Vậy mọi nghiệm $x=k\pi$ đều thỏa mãn.
Điều kiện là $\cos(2x)\ne0$ và $\cos x\ne0$. Với $x=k\pi$: $\cos x=\cos(k\pi)=\pm1\ne0$ (TMĐK phần này); $\cos(2x)=\cos(2k\pi)=1\ne0$ (TMĐK phần này). Vậy mọi nghiệm $x=k\pi$ đều thỏa mãn.
5
Đây là một lưu ý quan trọng: nếu đề bài là $\tan(2x)=\tan x$ thì $\cot$ tương ứng $\cot(2x)=\cot x$ cũng cho cùng công thức $2x=x+k\pi$ , nhưng điều kiện xác định lại khác ( $\sin(2x)\ne0$ , $\sin x\ne0$ ) — luôn kiểm tra đúng điều kiện của đúng hàm số đang xét, không dùng lẫn điều kiện của tan cho bài cot hay ngược lại.
Đây là một lưu ý quan trọng: nếu đề bài là $\tan(2x)=\tan x$ thì $\cot$ tương ứng $\cot(2x)=\cot x$ cũng cho cùng công thức $2x=x+k\pi$, nhưng điều kiện xác định lại khác ($\sin(2x)\ne0$, $\sin x\ne0$) — luôn kiểm tra đúng điều kiện của đúng hàm số đang xét, không dùng lẫn điều kiện của tan cho bài cot hay ngược lại.
6
Vậy phương trình có nghiệm $x=k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x=k\pi$, $k\in\mathbb{Z}$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến là quên kiểm tra điều kiện xác định sau khi giải $\tan u=\tan v$ hoặc $\cot u=\cot v$ — dù trong nhiều bài tập cơ bản điều kiện tự động thỏa mãn như hai ví dụ trên, đây vẫn là một bước bắt buộc phải trình bày. Sai lầm khác là nhầm công thức nghiệm một họ $x=\alpha+k\pi$ (tan, cot) với công thức hai họ $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $\pi-\alpha+k2\pi$ (sin) — mang nhầm chu kỳ $2\pi$ vào phương trình tan sẽ bỏ sót một nửa số nghiệm đúng và thêm một nửa nghiệm sai.

Một cách khác để nhớ vì sao tan, cot chỉ cho một họ nghiệm: hãy hình dung đường thẳng $y=a$ nằm ngang cắt đồ thị $y=\tan x$ . Vì trên mỗi nhánh cong (giữa hai tiệm cận liên tiếp) hàm tan đi từ $-\infty$ đến $+\infty$ một cách đơn điệu, đường thẳng $y=a$ chỉ cắt mỗi nhánh đúng một lần — khác hẳn với sin, cos, nơi một đường ngang có thể cắt cùng một 'gợn sóng' của đồ thị tới hai lần.

Một cách khác để nhớ vì sao tan, cot chỉ cho một họ nghiệm: hãy hình dung đường thẳng $y=a$ nằm ngang cắt đồ thị $y=\tan x$. Vì trên mỗi nhánh cong (giữa hai tiệm cận liên tiếp) hàm tan đi từ $-\infty$ đến $+\infty$ một cách đơn điệu, đường thẳng $y=a$ chỉ cắt mỗi nhánh đúng một lần — khác hẳn với sin, cos, nơi một đường ngang có thể cắt cùng một 'gợn sóng' của đồ thị tới hai lần.

Ví dụ

Giải phương trình

\cot\dfrac{x}{2}=-1

và tìm nghiệm thuộc khoảng

(0;4\pi)

Giải phương trình $\cot\dfrac{x}{2}=-1$ và tìm nghiệm thuộc khoảng $(0;4\pi)$

1
Giải phương trình $\cot\dfrac{x}{2}=-1$ rồi tìm các nghiệm thuộc khoảng $(0;4\pi)$ .
Giải phương trình $\cot\dfrac{x}{2}=-1$ rồi tìm các nghiệm thuộc khoảng $(0;4\pi)$.
2
Ta có $\cot\dfrac{3\pi}{4}=-1$ (vì $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , tỉ số bằng $-1$ ), nên chọn $\beta=\dfrac{3\pi}{4}$ .
Ta có $\cot\dfrac{3\pi}{4}=-1$ (vì $\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$, tỉ số bằng $-1$), nên chọn $\beta=\dfrac{3\pi}{4}$.
3
$\dfrac{x}{2}=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$ , suy ra $x=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi$ .
$\dfrac{x}{2}=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$, suy ra $x=\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi$.
4
$k=0$ cho $x=\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71$ , thuộc $(0;4\pi)$ (vì $4\pi\approx12{,}57$ ). $k=1$ cho $x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi=\dfrac{7\pi}{2}\approx11{,}0$ , cũng thuộc $(0;4\pi)$ . $k=-1$ cho giá trị âm, loại; $k=2$ cho $x=\dfrac{3\pi}{2}+4\pi=\dfrac{11\pi}{2}\approx17{,}3>4\pi$ , loại.
$k=0$ cho $x=\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}71$, thuộc $(0;4\pi)$ (vì $4\pi\approx12{,}57$). $k=1$ cho $x=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi=\dfrac{7\pi}{2}\approx11{,}0$, cũng thuộc $(0;4\pi)$. $k=-1$ cho giá trị âm, loại; $k=2$ cho $x=\dfrac{3\pi}{2}+4\pi=\dfrac{11\pi}{2}\approx17{,}3>4\pi$, loại.
5
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm thuộc $(0;4\pi)$ : $x=\dfrac{3\pi}{2}$ và $x=\dfrac{7\pi}{2}$ — ít hơn số nghiệm mà em có thể ước tính vội nếu quên rằng công thức $\cot x=a$ chỉ cho MỘT họ nghiệm với chu kỳ $2\pi$ sau khi chia cho 2 (không phải chu kỳ $\pi$ như hàm $\cot x$ gốc).
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm thuộc $(0;4\pi)$: $x=\dfrac{3\pi}{2}$ và $x=\dfrac{7\pi}{2}$ — ít hơn số nghiệm mà em có thể ước tính vội nếu quên rằng công thức $\cot x=a$ chỉ cho MỘT họ nghiệm với chu kỳ $2\pi$ sau khi chia cho 2 (không phải chu kỳ $\pi$ như hàm $\cot x$ gốc).

Ví dụ trên nhắc một điểm dễ nhầm: sau khi đặt ẩn phụ có hệ số phân số như $\dfrac{x}{2}$ , chu kỳ hiệu dụng của họ nghiệm theo $x$ bị NHÂN lên (ở đây từ $\pi$ thành $2\pi$ ), chứ không giữ nguyên chu kỳ gốc của hàm cot. Luôn tính lại chu kỳ hiệu dụng sau khi đổi biến, thay vì giả định nó không đổi — quy tắc này áp dụng như nhau cho cả bốn phương trình cơ bản, không riêng gì tan và cot. Cách chắc chắn nhất để tránh sai sót là thử trực tiếp vài giá trị $k$ liên tiếp và so sánh với khoảng đề cho, thay vì suy luận trừu tượng về chu kỳ.

Ví dụ trên nhắc một điểm dễ nhầm: sau khi đặt ẩn phụ có hệ số phân số như $\dfrac{x}{2}$, chu kỳ hiệu dụng của họ nghiệm theo $x$ bị NHÂN lên (ở đây từ $\pi$ thành $2\pi$), chứ không giữ nguyên chu kỳ gốc của hàm cot. Luôn tính lại chu kỳ hiệu dụng sau khi đổi biến, thay vì giả định nó không đổi — quy tắc này áp dụng như nhau cho cả bốn phương trình cơ bản, không riêng gì tan và cot. Cách chắc chắn nhất để tránh sai sót là thử trực tiếp vài giá trị $k$ liên tiếp và so sánh với khoảng đề cho, thay vì suy luận trừu tượng về chu kỳ.

Ghi nhớ

$\tan x=a$ và $\cot x=a$ luôn có nghiệm với mọi $a$ (kèm điều kiện xác định). Với $\tan\alpha=a$ : $x=\alpha+k\pi$ ; với $\cot\beta=a$ : $x=\beta+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

$\tan x=a$ và $\cot x=a$ luôn có nghiệm với mọi $a$ (kèm điều kiện xác định). Với $\tan\alpha=a$: $x=\alpha+k\pi$; với $\cot\beta=a$: $x=\beta+k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

Hai chương ôn tập cuối cùng sẽ ghép cả bốn dạng phương trình cơ bản và những kỹ thuật vừa học vào các đề tổng hợp kiểu đề kiểm tra thật, cùng với việc nhìn lại tính chất của các hàm số lượng giác.