Bài học

Hàm số y = tan x và y = cot x

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng tập xác định của $y=\tan x$ và $y=\cot x$ , nhận biết chu kỳ $\pi$ và tính lẻ của cả hai hàm, đồng thời tìm được tập xác định của các hàm số dạng $\tan(u(x))$ , $\cot(u(x))$ và tính đúng giá trị lượng giác dạng cot tại các góc đặc biệt.

Sau bài này, em xác định đúng tập xác định của $y=\tan x$ và $y=\cot x$, nhận biết chu kỳ $\pi$ và tính lẻ của cả hai hàm, đồng thời tìm được tập xác định của các hàm số dạng $\tan(u(x))$, $\cot(u(x))$ và tính đúng giá trị lượng giác dạng cot tại các góc đặc biệt.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã nêu $y=\sin x$ , $y=\cos x$ xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$ (same-grade bridge). Bài này ghép hai hàm đó lại theo tỉ số $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ và $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ đã học ở Khóa 1 — và một tỉ số chỉ có nghĩa khi mẫu khác không, nên tập xác định của tan, cot chắc chắn hẹp hơn tập xác định của sin, cos.

Bài trước đã nêu $y=\sin x$, $y=\cos x$ xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$ (same-grade bridge). Bài này ghép hai hàm đó lại theo tỉ số $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ và $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ đã học ở Khóa 1 — và một tỉ số chỉ có nghĩa khi mẫu khác không, nên tập xác định của tan, cot chắc chắn hẹp hơn tập xác định của sin, cos.

Khởi động

Một chiếc thang đang dựng nghiêng, đầu trên tựa vào tường. Nếu góc nghiêng của thang so với mặt đất tiến dần đến $90^\circ$ — tức thang gần như dựng thẳng đứng — thì tỉ số $\tan$ của góc đó thay đổi thế nào? Nó có tiến tới một giá trị hữu hạn hay không?

Kiến thức trọng tâm

Vì $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ , biểu thức này chỉ xác định khi $\cos x\ne0$ . Trên đường tròn lượng giác, $\cos x=0$ đúng tại các điểm cao nhất và thấp nhất của đường tròn, tức $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ). Vậy tập xác định của $y=\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$ . Càng gần các điểm bị loại này, $\cos x$ càng gần 0 nên $\tan x$ càng lớn về giá trị tuyệt đối — đây chính là điều xảy ra với chiếc thang ở phần khởi động: khi góc nghiêng tiến tới $90^\circ$ , tang của góc đó tăng không giới hạn.

Vì $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$, biểu thức này chỉ xác định khi $\cos x\ne0$. Trên đường tròn lượng giác, $\cos x=0$ đúng tại các điểm cao nhất và thấp nhất của đường tròn, tức $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$). Vậy tập xác định của $y=\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$. Càng gần các điểm bị loại này, $\cos x$ càng gần 0 nên $\tan x$ càng lớn về giá trị tuyệt đối — đây chính là điều xảy ra với chiếc thang ở phần khởi động: khi góc nghiêng tiến tới $90^\circ$, tang của góc đó tăng không giới hạn.

Tương tự, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ chỉ xác định khi $\sin x\ne0$ , tức $x\ne k\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ). Tập xác định của $y=\cot x$ là $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}$ . Chú ý điều kiện của tan (loại $\cos x=0$ ) và của cot (loại $\sin x=0$ ) là hai điều kiện khác nhau — nhầm lẫn giữa chúng là một lỗi rất thường gặp.

Tương tự, $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ chỉ xác định khi $\sin x\ne0$, tức $x\ne k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$). Tập xác định của $y=\cot x$ là $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}$. Chú ý điều kiện của tan (loại $\cos x=0$) và của cot (loại $\sin x=0$) là hai điều kiện khác nhau — nhầm lẫn giữa chúng là một lỗi rất thường gặp.

Ngành trắc địa dùng chính hai tỉ số này để tính khoảng cách không thể đo trực tiếp: đứng cách chân một tòa nhà một khoảng đã biết, ngắm lên đỉnh tòa nhà và đo góc nâng $x$ , ta có chiều cao tòa nhà bằng khoảng cách đó nhân với $\tan x$ . Khi góc nâng gần $90^\circ$ (đứng rất gần chân tòa nhà), $\tan x$ trở nên cực lớn và phép đo kém chính xác — đây là lý do người đo đạc luôn lùi ra xa để có một góc nâng vừa phải, tránh vùng gần tiệm cận của hàm tan.

Ngành trắc địa dùng chính hai tỉ số này để tính khoảng cách không thể đo trực tiếp: đứng cách chân một tòa nhà một khoảng đã biết, ngắm lên đỉnh tòa nhà và đo góc nâng $x$, ta có chiều cao tòa nhà bằng khoảng cách đó nhân với $\tan x$. Khi góc nâng gần $90^\circ$ (đứng rất gần chân tòa nhà), $\tan x$ trở nên cực lớn và phép đo kém chính xác — đây là lý do người đo đạc luôn lùi ra xa để có một góc nâng vừa phải, tránh vùng gần tiệm cận của hàm tan.

Cả hai hàm đều là hàm lẻ, vì $\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$ , và lập luận tương tự cho cot. Về chu kỳ: tuy $\sin x,\cos x$ có chu kỳ $2\pi$ , tỉ số của chúng lặp lại sớm hơn — $\tan(x+\pi)=\dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x$ , vì cả tử và mẫu cùng đổi dấu khi cộng thêm $\pi$ , dấu trừ triệt tiêu lẫn nhau. Vậy $\pi$ — chỉ bằng nửa chu kỳ của sin, cos — là chu kỳ của cả $\tan x$ và $\cot x$ .

Cả hai hàm đều là hàm lẻ, vì $\tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x$, và lập luận tương tự cho cot. Về chu kỳ: tuy $\sin x,\cos x$ có chu kỳ $2\pi$, tỉ số của chúng lặp lại sớm hơn — $\tan(x+\pi)=\dfrac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\dfrac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x$, vì cả tử và mẫu cùng đổi dấu khi cộng thêm $\pi$, dấu trừ triệt tiêu lẫn nhau. Vậy $\pi$ — chỉ bằng nửa chu kỳ của sin, cos — là chu kỳ của cả $\tan x$ và $\cot x$.

Trên mỗi khoảng giữa hai điểm bị loại liên tiếp, đồ thị $y=\tan x$ đi từ $-\infty$ lên $+\infty$ theo một nhánh cong tăng dần — không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất. Hai đường thẳng đứng đi qua các điểm bị loại, tuy không thuộc đồ thị, đóng vai trò định hướng cho nhánh cong tiến sát nhưng không bao giờ chạm tới; chúng được gọi là đường tiệm cận đứng. Đồ thị $y=\cot x$ có hình dạng tương tự nhưng giảm dần trên mỗi khoảng, với tiệm cận đứng tại các bội của $\pi$ .

Khi cả $\tan x$ và $\cot x$ cùng xác định — tức $x$ không phải bội của $\dfrac{\pi}{2}$ — hai đại lượng này là nghịch đảo của nhau: $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$ . Đây là công cụ hữu ích: nếu đã biết $\tan x$ , ta suy ra $\cot x$ ngay lập tức mà không cần tính lại từ $\sin x,\cos x$ . Một quan sát khác cũng đáng nhớ: điểm bị loại khỏi tập xác định của $\tan x$ (tại $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ) chính là nơi $\cot x=0$ ; ngược lại, điểm bị loại của $\cot x$ (tại $k\pi$ ) chính là nơi $\tan x=0$ — hai hàm số này 'bảo vệ lẫn nhau', nơi một hàm không xác định thì hàm kia luôn xác định và bằng 0.

Khi cả $\tan x$ và $\cot x$ cùng xác định — tức $x$ không phải bội của $\dfrac{\pi}{2}$ — hai đại lượng này là nghịch đảo của nhau: $\cot x=\dfrac{1}{\tan x}$. Đây là công cụ hữu ích: nếu đã biết $\tan x$, ta suy ra $\cot x$ ngay lập tức mà không cần tính lại từ $\sin x,\cos x$. Một quan sát khác cũng đáng nhớ: điểm bị loại khỏi tập xác định của $\tan x$ (tại $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$) chính là nơi $\cot x=0$; ngược lại, điểm bị loại của $\cot x$ (tại $k\pi$) chính là nơi $\tan x=0$ — hai hàm số này 'bảo vệ lẫn nhau', nơi một hàm không xác định thì hàm kia luôn xác định và bằng 0.

Vì $y=\tan x$ là hàm lẻ và tuần hoàn chu kỳ $\pi$ , nhánh cong trên $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ hoàn toàn quyết định hình dạng của mọi nhánh khác — nhánh trên $\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)$ chỉ là nhánh đầu tịnh tiến sang phải một đoạn $\pi$ . Trong thực tế, $\tan x$ thường xuất hiện khi đo độ dốc: nếu một đoạn đường tạo góc $x$ với phương ngang, tỉ số độ cao trên độ dài theo phương ngang đúng bằng $\tan x$ . Vì tập giá trị của $\tan x$ trải khắp $\mathbb{R}$ , một con dốc có thể dốc bao nhiêu tùy ý miễn góc nghiêng của nó chưa đạt $90^\circ$ — lý do các biển báo độ dốc đường đèo ghi tỉ lệ phần trăm chính là $\tan$ của góc nghiêng nhân với 100.

Vì $y=\tan x$ là hàm lẻ và tuần hoàn chu kỳ $\pi$, nhánh cong trên $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ hoàn toàn quyết định hình dạng của mọi nhánh khác — nhánh trên $\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)$ chỉ là nhánh đầu tịnh tiến sang phải một đoạn $\pi$. Trong thực tế, $\tan x$ thường xuất hiện khi đo độ dốc: nếu một đoạn đường tạo góc $x$ với phương ngang, tỉ số độ cao trên độ dài theo phương ngang đúng bằng $\tan x$. Vì tập giá trị của $\tan x$ trải khắp $\mathbb{R}$, một con dốc có thể dốc bao nhiêu tùy ý miễn góc nghiêng của nó chưa đạt $90^\circ$ — lý do các biển báo độ dốc đường đèo ghi tỉ lệ phần trăm chính là $\tan$ của góc nghiêng nhân với 100.

Hình dưới minh họa hai nhánh liên tiếp của đồ thị $y=\tan x$ cùng ba đường tiệm cận đứng — quan sát cách nhánh cong tiến rất nhanh về $\pm\infty$ khi $x$ tiến gần tiệm cận, đúng như hiện tượng chiếc thang ở phần khởi động.

Ba đoạn nét đứt thẳng đứng là các đường tiệm cận, nơi cos x = 0 và hàm không xác định. Điểm tại x=π/4 và x=π/4+π có cùng tung độ 1, minh họa chu kỳ π.

Ví dụ

Tìm tập xác định của

y=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)

Tìm tập xác định của $y=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$

1
Tìm tập xác định của hàm số $y=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$ .
Tìm tập xác định của hàm số $y=\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
2
Hàm số xác định khi $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\ne0$ , tức $2x-\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ .
Hàm số xác định khi $\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)\ne0$, tức $2x-\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
3
Suy ra $2x\ne\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$ , tức $x\ne\dfrac{3\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}$ .
Suy ra $2x\ne\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$, tức $x\ne\dfrac{3\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}$.
4
Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\right\}$ .
Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\right\}$.

Ví dụ

Tính

\cot\dfrac{5\pi}{6}

Tính $\cot\dfrac{5\pi}{6}$

1
Tính giá trị $\cot\dfrac{5\pi}{6}$ .
Tính giá trị $\cot\dfrac{5\pi}{6}$.
2
Ta có $\cot\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\cos(5\pi/6)}{\sin(5\pi/6)}$ .
Ta có $\cot\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{\cos(5\pi/6)}{\sin(5\pi/6)}$.
3
Từ Khóa 1: $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$ .
Từ Khóa 1: $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$.
4
$\cot\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$ .
$\cot\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$.
5
Vậy $\cot\dfrac{5\pi}{6}=-\sqrt3$ .
Vậy $\cot\dfrac{5\pi}{6}=-\sqrt3$.

Ví dụ

Tìm tập xác định của

y=\cot\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)

Tìm tập xác định của $y=\cot\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)$

1
Tìm tập xác định của hàm số $y=\cot\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)$ .
Tìm tập xác định của hàm số $y=\cot\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)$.
2
Hàm số xác định khi $\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)\ne0$ , tức $\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\ne k\pi$ .
Hàm số xác định khi $\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)\ne0$, tức $\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\ne k\pi$.
3
Suy ra $\dfrac{x}{2}\ne k\pi-\dfrac{\pi}{3}$ , tức $x\ne2k\pi-\dfrac{2\pi}{3}$ .
Suy ra $\dfrac{x}{2}\ne k\pi-\dfrac{\pi}{3}$, tức $x\ne2k\pi-\dfrac{2\pi}{3}$.
4
Với $k=0$ : $x=-\dfrac{2\pi}{3}$ , thay vào $\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=0$ , và $\sin0=0$ — đúng là điểm bị loại, khớp với điều kiện vừa tìm.
Với $k=0$: $x=-\dfrac{2\pi}{3}$, thay vào $\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=0$, và $\sin0=0$ — đúng là điểm bị loại, khớp với điều kiện vừa tìm.
5
Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{2k\pi-\dfrac{2\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\right\}$ .
Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{2k\pi-\dfrac{2\pi}{3},k\in\mathbb{Z}\right\}$.

Ví dụ

So sánh

\tan\dfrac{\pi}{5}

và

\tan\dfrac{2\pi}{5}

không cần tính cụ thểSo sánh $\tan\dfrac{\pi}{5}$ và $\tan\dfrac{2\pi}{5}$ không cần tính cụ thể

1
So sánh hai giá trị $\tan\dfrac{\pi}{5}$ và $\tan\dfrac{2\pi}{5}$ .
So sánh hai giá trị $\tan\dfrac{\pi}{5}$ và $\tan\dfrac{2\pi}{5}$.
2
Ta có $\dfrac{\pi}{5}\approx0{,}628$ và $\dfrac{2\pi}{5}\approx1{,}257$ , cả hai đều thuộc khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$ , nơi hàm $\tan x$ đồng biến (tăng dần từ $-\infty$ đến $+\infty$ ).
Ta có $\dfrac{\pi}{5}\approx0{,}628$ và $\dfrac{2\pi}{5}\approx1{,}257$, cả hai đều thuộc khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)$, nơi hàm $\tan x$ đồng biến (tăng dần từ $-\infty$ đến $+\infty$).
3
Vì $\tan x$ đồng biến trên khoảng này và $\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{2\pi}{5}$ , suy ra $\tan\dfrac{\pi}{5}<\tan\dfrac{2\pi}{5}$ .
Vì $\tan x$ đồng biến trên khoảng này và $\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{2\pi}{5}$, suy ra $\tan\dfrac{\pi}{5}<\tan\dfrac{2\pi}{5}$.
4
Vậy $\tan\dfrac{\pi}{5}<\tan\dfrac{2\pi}{5}$ — so sánh được nhờ tính đơn điệu của tan trên một nhánh, không cần bảng số hay máy tính.
Vậy $\tan\dfrac{\pi}{5}<\tan\dfrac{2\pi}{5}$ — so sánh được nhờ tính đơn điệu của tan trên một nhánh, không cần bảng số hay máy tính.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là nhầm điều kiện xác định của tan (loại $\cos x=0$ ) với điều kiện của cot (loại $\sin x=0$ ) — hai điều kiện ngược nhau. Sai lầm khác là khi đối số có hệ số như $\dfrac{x}{2}$ , học sinh quên chia cả họ nghiệm cho hệ số đó, dẫn đến bỏ sót một nửa số điểm bị loại.

Sai lầm thường gặp nhất là nhầm điều kiện xác định của tan (loại $\cos x=0$) với điều kiện của cot (loại $\sin x=0$) — hai điều kiện ngược nhau. Sai lầm khác là khi đối số có hệ số như $\dfrac{x}{2}$, học sinh quên chia cả họ nghiệm cho hệ số đó, dẫn đến bỏ sót một nửa số điểm bị loại.

Cuối cùng, đừng quên $\tan x$ và $\cot x$ vẫn liên hệ với $\sin x,\cos x$ qua chính định nghĩa tỉ số — mọi tính chất lạ của tan, cot (miền giá trị không bị chặn, chu kỳ ngắn hơn một nửa) đều xuất phát từ việc chia hai đại lượng bị chặn cho nhau, chứ không phải một quy luật độc lập cần học thuộc riêng.

Ghi nhớ

$y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne0$ ; $y=\cot x$ xác định khi $\sin x\ne0$ . Cả hai đều là hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ $\pi$ , và đồ thị có các đường tiệm cận đứng tại những điểm bị loại khỏi tập xác định.

$y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne0$; $y=\cot x$ xác định khi $\sin x\ne0$. Cả hai đều là hàm lẻ, tuần hoàn chu kỳ $\pi$, và đồ thị có các đường tiệm cận đứng tại những điểm bị loại khỏi tập xác định.

Bài tiếp theo dùng đúng bốn hàm số này để giải phương trình lượng giác cơ bản đầu tiên: $\sin x=a$ .

Bài tiếp theo dùng đúng bốn hàm số này để giải phương trình lượng giác cơ bản đầu tiên: $\sin x=a$.