Bài học

Ôn tập phương trình lượng giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận dạng đúng một phương trình lượng giác chưa ở dạng cơ bản, chọn đúng công thức biến đổi (góc liên kết, nhân đôi, hoặc đặt ẩn phụ) để đưa nó về một trong bốn phương trình cơ bản, và giải trọn vẹn một bài toán tổng hợp kiểu đề kiểm tra cuối chương.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này ôn lại toàn bộ bốn chương phương trình (same-grade bridge): công thức nghiệm của $\sin x=a$ , $\cos x=a$ , $\tan x=a$ , $\cot x=a$ , cùng ba kỹ thuật đặt ẩn phụ, biến đổi biên độ, và chia cho $\cos^2x$ của chương trước. Bài cũng dùng lại các công thức nhân đôi $\cos2x=1-2\sin^2x$ và $\cos2x=2\cos^2x-1$ đã học ở Khóa 1 — hai cách viết khác nhau của cùng một công thức, mỗi cách tiện dụng cho một tình huống khác nhau tùy phương trình đang gặp chứa $\sin x$ hay $\cos x$ .

Bài này ôn lại toàn bộ bốn chương phương trình (same-grade bridge): công thức nghiệm của $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$, $\cot x=a$, cùng ba kỹ thuật đặt ẩn phụ, biến đổi biên độ, và chia cho $\cos^2x$ của chương trước. Bài cũng dùng lại các công thức nhân đôi $\cos2x=1-2\sin^2x$ và $\cos2x=2\cos^2x-1$ đã học ở Khóa 1 — hai cách viết khác nhau của cùng một công thức, mỗi cách tiện dụng cho một tình huống khác nhau tùy phương trình đang gặp chứa $\sin x$ hay $\cos x$.

Khởi động

Một đề kiểm tra giữa kỳ thường không cho sẵn phương trình ở đúng dạng cơ bản, mà bắt em phải tự nhận ra cần biến đổi thế nào trước. Hãy thử với phương trình $\cos2x=\sin x$ — nó không khớp bất kỳ dạng nào trong bốn dạng em đã học, cho tới khi em nhớ lại một công thức ở Khóa 1.

Kiến thức trọng tâm

Khi một phương trình không ở dạng cơ bản, quy trình xử lý luôn theo năm bước cố định dưới đây — khác với các bài trước ở chỗ bước biến đổi không còn tự động, mà đòi hỏi em nhận ra công thức nào cần dùng.

Ví dụ 1 dưới đây cần đúng cả năm bước: phương trình cos2x=sinx không khớp bất kỳ dạng cơ bản nào cho tới khi biến đổi bằng công thức nhân đôi.

Điểm mấu chốt của một đề tổng hợp là bước 'nhận dạng': nếu phương trình lẫn cả $\sin x$ và $\cos2x$ như ở phần khởi động, ta cần một công thức nối chúng lại — chính là công thức nhân đôi. Nếu phương trình lẫn $\sin x$ bậc hai và bậc nhất cùng lúc, ta cần đặt ẩn phụ. Nếu phương trình có cả $a\sin x$ và $b\cos x$ cộng lại, ta cần biến đổi biên độ. Không có một công thức vạn năng — kỹ năng thật sự là nhận ra đúng công cụ cho đúng tình huống.

Ví dụ

Giải phương trình

\cos2x=\sin x

Giải phương trình $\cos2x=\sin x$

1
Giải phương trình $\cos2x=\sin x$ .
Giải phương trình $\cos2x=\sin x$.
2
Phương trình chứa cả $\cos2x$ và $\sin x$ , chưa ở dạng cơ bản nào.
Phương trình chứa cả $\cos2x$ và $\sin x$, chưa ở dạng cơ bản nào.
3
Dùng công thức nhân đôi $\cos2x=1-2\sin^2x$ (Khóa 1), thay vào: $1-2\sin^2x=\sin x$ , tức $2\sin^2x+\sin x-1=0$ .
Dùng công thức nhân đôi $\cos2x=1-2\sin^2x$ (Khóa 1), thay vào: $1-2\sin^2x=\sin x$, tức $2\sin^2x+\sin x-1=0$.
4
Đặt $t=\sin x$ , điều kiện $-1\le t\le1$ . Phương trình trở thành $2t^2+t-1=0$ .
Đặt $t=\sin x$, điều kiện $-1\le t\le1$. Phương trình trở thành $2t^2+t-1=0$.
5
$\Delta=1+8=9$ . $t=\dfrac{-1\pm3}{4}$ , suy ra $t=\dfrac12$ hoặc $t=-1$ . Cả hai đều thỏa $-1\le t\le1$ (TMĐK).
$\Delta=1+8=9$. $t=\dfrac{-1\pm3}{4}$, suy ra $t=\dfrac12$ hoặc $t=-1$. Cả hai đều thỏa $-1\le t\le1$ (TMĐK).
6
Với $t=\dfrac12$ : $\sin x=\dfrac12\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ . Với $t=-1$ : $\sin x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ (tương đương $\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi$ ).
Với $t=\dfrac12$: $\sin x=\dfrac12\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$. Với $t=-1$: $\sin x=-1\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ (tương đương $\dfrac{3\pi}{2}+k2\pi$).
7
Thay $x=\dfrac{\pi}{6}$ : $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ , $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ — bằng nhau (TMĐK). Thay $x=-\dfrac{\pi}{2}$ : $\cos(-\pi)=-1$ , $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ — bằng nhau (TMĐK).
Thay $x=\dfrac{\pi}{6}$: $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$, $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ — bằng nhau (TMĐK). Thay $x=-\dfrac{\pi}{2}$: $\cos(-\pi)=-1$, $\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$ — bằng nhau (TMĐK).
8
Vậy $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ , $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ , hoặc $x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Vậy $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$, $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$, hoặc $x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

Hình dưới minh họa ba nghiệm của ví dụ trên bằng đúng kỹ thuật đọc giao điểm đã quen thuộc từ Chương 6.

Sau khi biến đổi cos2x=sinx về phương trình bậc hai theo t=sinx, ba nghiệm x=π/6, 5π/6, 3π/2 lại chính là giao điểm của hai đường thẳng nằm ngang với đồ thị sin — đúng kỹ thuật đã học ở Chương 6.

Ví dụ

Giải

\tan x=\sqrt3

và tìm các nghiệm thuộc khoảng

(0;3\pi)

Giải $\tan x=\sqrt3$ và tìm các nghiệm thuộc khoảng $(0;3\pi)$

1
Giải phương trình $\tan x=\sqrt3$ và tìm các nghiệm thuộc khoảng $(0;3\pi)$ .
Giải phương trình $\tan x=\sqrt3$ và tìm các nghiệm thuộc khoảng $(0;3\pi)$.
2
Ta có $\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$ , nên nghiệm tổng quát là $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ .
Ta có $\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3$, nên nghiệm tổng quát là $x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$.
3
$k=0$ : $x=\dfrac{\pi}{3}$ (thuộc). $k=1$ : $x=\dfrac{4\pi}{3}$ (thuộc). $k=2$ : $x=\dfrac{7\pi}{3}$ (thuộc, vì $\dfrac{7\pi}{3}<3\pi=\dfrac{9\pi}{3}$ ). $k=3$ : $x=\dfrac{10\pi}{3}>3\pi$ , loại. $k=-1$ : $x=-\dfrac{2\pi}{3}<0$ , loại.
$k=0$: $x=\dfrac{\pi}{3}$ (thuộc). $k=1$: $x=\dfrac{4\pi}{3}$ (thuộc). $k=2$: $x=\dfrac{7\pi}{3}$ (thuộc, vì $\dfrac{7\pi}{3}<3\pi=\dfrac{9\pi}{3}$). $k=3$: $x=\dfrac{10\pi}{3}>3\pi$, loại. $k=-1$: $x=-\dfrac{2\pi}{3}<0$, loại.
4
Vậy có đúng 3 nghiệm thuộc $(0;3\pi)$ : $\dfrac{\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3};\dfrac{7\pi}{3}$ .
Vậy có đúng 3 nghiệm thuộc $(0;3\pi)$: $\dfrac{\pi}{3};\dfrac{4\pi}{3};\dfrac{7\pi}{3}$.

Ví dụ

Giải phương trình

\sin x-\sqrt3\cos x=\sqrt2

và tìm nghiệm trên

[0;2\pi]

Giải phương trình $\sin x-\sqrt3\cos x=\sqrt2$ và tìm nghiệm trên $[0;2\pi]$

1
Giải phương trình $\sin x-\sqrt3\cos x=\sqrt2$ và tìm các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$ .
Giải phương trình $\sin x-\sqrt3\cos x=\sqrt2$ và tìm các nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$.
2
Ta có $a=1$ , $b=-\sqrt3$ , $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$ .
Ta có $a=1$, $b=-\sqrt3$, $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1+3}=2$.
3
$\cos\varphi=\dfrac12$ , $\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ , nên chọn $\varphi=-\dfrac{\pi}{3}$ .
$\cos\varphi=\dfrac12$, $\sin\varphi=-\dfrac{\sqrt3}{2}$, nên chọn $\varphi=-\dfrac{\pi}{3}$.
4
$\sin x-\sqrt3\cos x=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ , nên phương trình trở thành $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt2$ , tức $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ .
$\sin x-\sqrt3\cos x=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$, nên phương trình trở thành $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt2$, tức $\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}$.
5
$x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ hoặc $x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$ .
$x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ hoặc $x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$.
6
Trường hợp 1: $x=\dfrac{7\pi}{12}+k2\pi$ ; với $k=0$ , $x=\dfrac{7\pi}{12}$ , thuộc $[0;2\pi]$ . Trường hợp 2: $x=\dfrac{13\pi}{12}+k2\pi$ ; với $k=0$ , $x=\dfrac{13\pi}{12}$ , cũng thuộc $[0;2\pi]$ (các giá trị $k$ khác đều đưa nghiệm ra ngoài đoạn).
Trường hợp 1: $x=\dfrac{7\pi}{12}+k2\pi$; với $k=0$, $x=\dfrac{7\pi}{12}$, thuộc $[0;2\pi]$. Trường hợp 2: $x=\dfrac{13\pi}{12}+k2\pi$; với $k=0$, $x=\dfrac{13\pi}{12}$, cũng thuộc $[0;2\pi]$ (các giá trị $k$ khác đều đưa nghiệm ra ngoài đoạn).
7
Với $x=\dfrac{7\pi}{12}$ ( $=105^\circ$ ): $\sin105^\circ-\sqrt3\cos105^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}-\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}=\dfrac{\sqrt2+3\sqrt2}{4}=\sqrt2$ (TMĐK).
Với $x=\dfrac{7\pi}{12}$ ($=105^\circ$): $\sin105^\circ-\sqrt3\cos105^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}-\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt2-\sqrt6}{4}=\dfrac{\sqrt2+3\sqrt2}{4}=\sqrt2$ (TMĐK).
8
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm thuộc $[0;2\pi]$ : $x=\dfrac{7\pi}{12}$ và $x=\dfrac{13\pi}{12}$ .
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm thuộc $[0;2\pi]$: $x=\dfrac{7\pi}{12}$ và $x=\dfrac{13\pi}{12}$.

Ví dụ

Tìm số nghiệm của phương trình

2\cos^2x-1=0

trên đoạn

[-\pi;\pi]

Tìm số nghiệm của phương trình $2\cos^2x-1=0$ trên đoạn $[-\pi;\pi]$

1
Tìm số nghiệm của phương trình $2\cos^2x-1=0$ thuộc đoạn $[-\pi;\pi]$ .
Tìm số nghiệm của phương trình $2\cos^2x-1=0$ thuộc đoạn $[-\pi;\pi]$.
2
Vế trái chính là công thức nhân đôi $\cos2x=2\cos^2x-1$ (Khóa 1), nên phương trình tương đương $\cos2x=0$ .
Vế trái chính là công thức nhân đôi $\cos2x=2\cos^2x-1$ (Khóa 1), nên phương trình tương đương $\cos2x=0$.
3
$2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ , suy ra $x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}$ .
$2x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$, suy ra $x=\dfrac{\pi}{4}+k\dfrac{\pi}{2}$.
4
$k=-2$ : $x=-\dfrac{3\pi}{4}$ (thuộc). $k=-1$ : $x=-\dfrac{\pi}{4}$ (thuộc). $k=0$ : $x=\dfrac{\pi}{4}$ (thuộc). $k=1$ : $x=\dfrac{3\pi}{4}$ (thuộc). $k=-3$ và $k=2$ đều cho giá trị nằm ngoài đoạn.
$k=-2$: $x=-\dfrac{3\pi}{4}$ (thuộc). $k=-1$: $x=-\dfrac{\pi}{4}$ (thuộc). $k=0$: $x=\dfrac{\pi}{4}$ (thuộc). $k=1$: $x=\dfrac{3\pi}{4}$ (thuộc). $k=-3$ và $k=2$ đều cho giá trị nằm ngoài đoạn.
5
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc $[-\pi;\pi]$ : $-\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}$ — một bài toán trông có vẻ 'bậc hai đối với cos' nhưng thực chất chỉ cần nhận ra đúng công thức nhân đôi để quy về phương trình cơ bản $\cos2x=0$ ngay lập tức, không cần đặt ẩn phụ.
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc $[-\pi;\pi]$: $-\dfrac{3\pi}{4};-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}$ — một bài toán trông có vẻ 'bậc hai đối với cos' nhưng thực chất chỉ cần nhận ra đúng công thức nhân đôi để quy về phương trình cơ bản $\cos2x=0$ ngay lập tức, không cần đặt ẩn phụ.

Bốn ví dụ của bài ôn tập này đại diện cho bốn kiểu bài tổng hợp hay gặp nhất trong đề kiểm tra cuối chương: biến đổi bằng công thức nhân đôi rồi đặt ẩn phụ (Ví dụ 1); đếm nghiệm của phương trình cơ bản trên một khoảng không phải $[0;2\pi]$ (Ví dụ 2); biến đổi biên độ rồi đối chiếu đoạn (Ví dụ 3); và nhận ra ngay một công thức quen thuộc để tránh cả bước đặt ẩn phụ (Ví dụ 4). Một đề kiểm tra thực tế thường trộn cả bốn kiểu này trong các câu khác nhau — luyện thành thạo cả bốn trước khi bước sang khóa tiếp theo.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong đề tổng hợp là cố áp dụng ngay công thức nghiệm cơ bản cho một phương trình chưa ở dạng cơ bản — như thử giải trực tiếp $\cos2x=\sin x$ mà không biến đổi trước, dẫn đến bế tắc. Sai lầm khác là quên kiểm tra biên khi liệt kê nghiệm trên một khoảng mở như $(0;3\pi)$ — khoảng mở không nhận hai đầu mút, khác với đoạn đóng đã quen ở các bài trước.

Ghi nhớ

Giải một phương trình lượng giác tổng hợp theo năm bước: nhận dạng → biến đổi về dạng cơ bản (công thức góc liên kết/nhân đôi hoặc đặt ẩn phụ) → giải tìm $\alpha$ → viết họ nghiệm tổng quát → đối chiếu miền nghiệm nếu đề yêu cầu.

Đề thi học kỳ thực tế thường chấm điểm từng bước trình bày, không chỉ đáp số cuối — vì vậy cả bốn ví dụ của hai bài ôn tập đều viết tường minh bước 'Kiểm tra', đúng chuẩn Hướng dẫn giải đã áp dụng xuyên suốt khóa học này: mọi phép biến đổi đều được thay số lại để xác nhận, không dừng ở bước tính ra đáp số rồi bỏ qua.

Nhìn lại toàn bộ khóa học: chương đầu xây dựng bốn hàm số lượng giác như những đối tượng có tập xác định, tính chẵn lẻ, chu kỳ và đồ thị riêng; bốn chương giữa dạy bốn công thức nghiệm cơ bản tương ứng; chương áp dụng dạy ba kỹ thuật quy về dạng cơ bản khi phương trình phức tạp hơn; và hai bài ôn tập này khép lại bằng cách chứng minh rằng mọi bài toán tổng hợp, dù trông rối rắm đến đâu, cũng chỉ là sự kết hợp có trật tự của những mảnh ghép đã học — không có kỹ thuật nào mới xuất hiện ở đây mà chưa từng được giới thiệu.

Đến đây, khóa học Toán 11 — Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác đã hoàn thành. Khóa tiếp theo rời lượng giác để học về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân — một nhánh kiến thức độc lập, chuẩn bị cho phần giới hạn ở khóa sau đó.