Bài học

Ôn tập hàm số lượng giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em hệ thống lại tập xác định, tính chẵn lẻ, chu kỳ của cả bốn hàm số lượng giác, và vận dụng cùng lúc nhiều tính chất để phân tích những hàm số ghép hoặc hàm số chưa gặp trực tiếp, đúng mức đề kiểm tra tổng hợp.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này ôn lại toàn bộ nội dung của hai bài đầu chương (same-grade bridge): tập xác định và tập giá trị của sin, cos; tập xác định, chu kỳ $\pi$ và tiệm cận của tan, cot. Không có kiến thức mới — chỉ có cách kết hợp và vận dụng sâu hơn.

Khởi động

Một đề kiểm tra tổng hợp hiếm khi hỏi thẳng 'chu kỳ của $y=\sin x$ là bao nhiêu'. Thay vào đó, đề thường cho một hàm số lạ, ví dụ $y=|\sin x|$ , và yêu cầu em tự suy ra chu kỳ của nó bằng chính quy trình đã học. $|\sin x|$ có chu kỳ giống hệt $\sin x$ , hay ngắn hơn?

Một đề kiểm tra tổng hợp hiếm khi hỏi thẳng 'chu kỳ của $y=\sin x$ là bao nhiêu'. Thay vào đó, đề thường cho một hàm số lạ, ví dụ $y=|\sin x|$, và yêu cầu em tự suy ra chu kỳ của nó bằng chính quy trình đã học. $|\sin x|$ có chu kỳ giống hệt $\sin x$, hay ngắn hơn?

Kiến thức trọng tâm

Khi gặp một hàm số lượng giác chưa quen, quy trình khảo sát luôn gồm năm bước cố định, áp dụng được cho mọi hàm — kể cả hàm ghép từ nhiều hàm cơ bản.

Áp dụng đúng năm bước này cho bất kỳ hàm lượng giác nào — kể cả những hàm chưa gặp trực tiếp như y=|sin x| ở Ví dụ 2.

Hệ thống lại bốn hàm cơ bản: $y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$ , tập giá trị $[-1;1]$ , chu kỳ $2\pi$ ; $\sin$ là hàm lẻ, $\cos$ là hàm chẵn. $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có tập xác định bị thu hẹp (loại $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ với tan, loại $k\pi$ với cot), không bị chặn trên $\mathbb{R}$ , chu kỳ chỉ $\pi$ , và cả hai đều là hàm lẻ.

Hệ thống lại bốn hàm cơ bản: $y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$, tập giá trị $[-1;1]$, chu kỳ $2\pi$; $\sin$ là hàm lẻ, $\cos$ là hàm chẵn. $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có tập xác định bị thu hẹp (loại $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ với tan, loại $k\pi$ với cot), không bị chặn trên $\mathbb{R}$, chu kỳ chỉ $\pi$, và cả hai đều là hàm lẻ.

Với một hàm ghép, ta áp dụng từng tính chất một cách độc lập rồi kết hợp lại. Chẳng hạn với $y=|\sin x|$ : hàm này xác định trên $\mathbb{R}$ (vì $\sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$ và lấy trị tuyệt đối không thu hẹp tập xác định); nó là hàm chẵn vì $|\sin(-x)|=|-\sin x|=|\sin x|$ ; và chu kỳ của nó ngắn hơn $2\pi$ , vì phần đồ thị âm của $\sin x$ (trên $[\pi;2\pi]$ ) bị lật lên trên trùng khít với phần dương — khiến hình dạng lặp lại sau đúng $\pi$ , không phải $2\pi$ .

Với một hàm ghép, ta áp dụng từng tính chất một cách độc lập rồi kết hợp lại. Chẳng hạn với $y=|\sin x|$: hàm này xác định trên $\mathbb{R}$ (vì $\sin x$ xác định trên $\mathbb{R}$ và lấy trị tuyệt đối không thu hẹp tập xác định); nó là hàm chẵn vì $|\sin(-x)|=|-\sin x|=|\sin x|$; và chu kỳ của nó ngắn hơn $2\pi$, vì phần đồ thị âm của $\sin x$ (trên $[\pi;2\pi]$) bị lật lên trên trùng khít với phần dương — khiến hình dạng lặp lại sau đúng $\pi$, không phải $2\pi$.

Với các bài hỏi tập xác định của một biểu thức ghép nhiều hàm — ví dụ tổng của $\dfrac{1}{\sin x}$ và $\tan x$ — ta tìm điều kiện xác định của từng số hạng rồi lấy giao (kết hợp) các điều kiện đó lại: biểu thức xác định khi mọi số hạng cùng xác định.

Ví dụ

Xác định hàm số từ mô tả đồ thị

1
Một hàm số lượng giác có tập xác định là $\mathbb{R}$ , giá trị lớn nhất bằng 1, tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ , và là hàm số chẵn. Đó là hàm số nào trong bốn hàm cơ bản?
Một hàm số lượng giác có tập xác định là $\mathbb{R}$, giá trị lớn nhất bằng 1, tuần hoàn chu kỳ $2\pi$, và là hàm số chẵn. Đó là hàm số nào trong bốn hàm cơ bản?
2
Tập xác định $\mathbb{R}$ loại ngay $\tan x$ , $\cot x$ (có điểm bị loại). Còn lại $\sin x$ và $\cos x$ , cả hai đều thỏa GTLN 1 và chu kỳ $2\pi$ .
Tập xác định $\mathbb{R}$ loại ngay $\tan x$, $\cot x$ (có điểm bị loại). Còn lại $\sin x$ và $\cos x$, cả hai đều thỏa GTLN 1 và chu kỳ $2\pi$.
3
Trong hai hàm còn lại, chỉ $\cos x$ là hàm chẵn; $\sin x$ là hàm lẻ.
Trong hai hàm còn lại, chỉ $\cos x$ là hàm chẵn; $\sin x$ là hàm lẻ.
4
Vậy hàm số được mô tả chính là $y=\cos x$ .
Vậy hàm số được mô tả chính là $y=\cos x$.

Ví dụ

Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của

y=|\sin x|

Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của $y=|\sin x|$

1
Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số $y=|\sin x|$ .
Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số $y=|\sin x|$.
2
Ta có $f(-x)=|\sin(-x)|=|-\sin x|=|\sin x|=f(x)$ với mọi $x$ , nên $f$ là hàm chẵn.
Ta có $f(-x)=|\sin(-x)|=|-\sin x|=|\sin x|=f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ là hàm chẵn.
3
Vì $\sin(x+\pi)=-\sin x$ , ta có $|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|$ với mọi $x$ , nên $\pi$ là một chu kỳ. Đây thực sự là chu kỳ nhỏ nhất, vì trên $[0;\pi]$ hình dạng đồ thị đã khác với trên $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ — không có chu kỳ nào ngắn hơn $\pi$ còn đúng với mọi $x$ .
Vì $\sin(x+\pi)=-\sin x$, ta có $|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|$ với mọi $x$, nên $\pi$ là một chu kỳ. Đây thực sự là chu kỳ nhỏ nhất, vì trên $[0;\pi]$ hình dạng đồ thị đã khác với trên $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ — không có chu kỳ nào ngắn hơn $\pi$ còn đúng với mọi $x$.
4
Vậy $y=|\sin x|$ là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ — bằng nửa chu kỳ của $y=\sin x$ .
Vậy $y=|\sin x|$ là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ — bằng nửa chu kỳ của $y=\sin x$.

Ví dụ

Tìm tập xác định của

y=\dfrac{1}{\sin x}+\tan x

Tìm tập xác định của $y=\dfrac{1}{\sin x}+\tan x$

1
Tìm tập xác định của hàm số $y=\dfrac{1}{\sin x}+\tan x$ .
Tìm tập xác định của hàm số $y=\dfrac{1}{\sin x}+\tan x$.
2
Số hạng $\dfrac{1}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne0$ , tức $x\ne k\pi$ . Số hạng $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne0$ , tức $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ .
Số hạng $\dfrac{1}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne0$, tức $x\ne k\pi$. Số hạng $\tan x$ xác định khi $\cos x\ne0$, tức $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
3
Hàm số xác định khi cả hai điều kiện cùng thỏa mãn, tức $x\ne k\pi$ và $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ . Gộp lại, tập các điểm bị loại là $x=k\dfrac{\pi}{2}$ , $k\in\mathbb{Z}$ (vì $k\pi$ và $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ cùng nhau lấp đầy các bội của $\dfrac{\pi}{2}$ ).
Hàm số xác định khi cả hai điều kiện cùng thỏa mãn, tức $x\ne k\pi$ và $x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi$. Gộp lại, tập các điểm bị loại là $x=k\dfrac{\pi}{2}$, $k\in\mathbb{Z}$ (vì $k\pi$ và $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ cùng nhau lấp đầy các bội của $\dfrac{\pi}{2}$).
4
Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\right\}$ .
Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus\left\{k\dfrac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\right\}$.

Ví dụ

Xét tính chẵn lẻ và chu kỳ của

y=\tan x+\cot x

Xét tính chẵn lẻ và chu kỳ của $y=\tan x+\cot x$

1
Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số $y=\tan x+\cot x$ .
Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số $y=\tan x+\cot x$.
2
Hàm số xác định khi cả $\tan x$ và $\cot x$ cùng xác định, tức $x\ne k\dfrac{\pi}{2}$ — giống hệt Ví dụ 3, vì đây cũng là tổng của một số hạng cần $\sin x\ne0$ và một số hạng cần $\cos x\ne0$ .
Hàm số xác định khi cả $\tan x$ và $\cot x$ cùng xác định, tức $x\ne k\dfrac{\pi}{2}$ — giống hệt Ví dụ 3, vì đây cũng là tổng của một số hạng cần $\sin x\ne0$ và một số hạng cần $\cos x\ne0$.
3
Đặt $f(x)=\tan x+\cot x$ . Ta có $f(-x)=\tan(-x)+\cot(-x)=-\tan x-\cot x=-f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $f$ là hàm lẻ (tổng của hai hàm lẻ vẫn là hàm lẻ).
Đặt $f(x)=\tan x+\cot x$. Ta có $f(-x)=\tan(-x)+\cot(-x)=-\tan x-\cot x=-f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên $f$ là hàm lẻ (tổng của hai hàm lẻ vẫn là hàm lẻ).
4
Cả $\tan x$ và $\cot x$ đều có chu kỳ $\pi$ , nên $f(x+\pi)=\tan(x+\pi)+\cot(x+\pi)=\tan x+\cot x=f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định — $\pi$ là một chu kỳ của $f$ (đây thực sự là chu kỳ nhỏ nhất, vì cả hai số hạng riêng lẻ đã có chu kỳ nhỏ nhất là $\pi$ ).
Cả $\tan x$ và $\cot x$ đều có chu kỳ $\pi$, nên $f(x+\pi)=\tan(x+\pi)+\cot(x+\pi)=\tan x+\cot x=f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định — $\pi$ là một chu kỳ của $f$ (đây thực sự là chu kỳ nhỏ nhất, vì cả hai số hạng riêng lẻ đã có chu kỳ nhỏ nhất là $\pi$).
5
Vậy $y=\tan x+\cot x$ là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ , xác định trên $\mathbb{R}\setminus\left\{k\dfrac{\pi}{2}\right\}$ — một minh chứng rằng tổng của hai hàm cùng tính chẵn lẻ và cùng chu kỳ vẫn giữ nguyên cả hai tính chất đó.
Vậy $y=\tan x+\cot x$ là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus\left\{k\dfrac{\pi}{2}\right\}$ — một minh chứng rằng tổng của hai hàm cùng tính chẵn lẻ và cùng chu kỳ vẫn giữ nguyên cả hai tính chất đó.

Quy tắc rút ra từ Ví dụ 4 có ích khi ôn tập nhanh một hàm ghép: nếu hai số hạng cùng là hàm lẻ (hoặc cùng là hàm chẵn), tổng của chúng giữ nguyên tính chẵn lẻ đó; và chu kỳ của tổng luôn là một bội chung của chu kỳ từng số hạng — dù chưa chắc là chu kỳ nhỏ nhất, việc thử trực tiếp bội chung nhỏ nhất trước tiên thường cho ngay câu trả lời đúng. Ngược lại, nếu một số hạng là hàm chẵn còn số hạng kia là hàm lẻ, tổng của chúng thường không còn chẵn cũng không còn lẻ — trừ trường hợp một trong hai số hạng luôn bằng 0, một tình huống hiếm gặp trong thực hành. Cách chắc chắn nhất khi không chắc kết luận là kiểm tra trực tiếp bằng định nghĩa, như đã làm ở Ví dụ 4, thay vì suy đoán theo cảm tính. Thói quen kiểm tra thay vì đoán này áp dụng cho mọi kết luận toán học, không riêng gì tính chẵn lẻ hay chu kỳ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến khi ôn tập là nghĩ mọi hàm 'trông giống sin, cos' đều có chu kỳ $2\pi$ — như $y=|\sin x|$ ở Ví dụ 2, chu kỳ có thể ngắn hơn do phép biến đổi (giá trị tuyệt đối) làm hai nửa đồ thị trùng khít nhau. Sai lầm khác là quên kết hợp điều kiện xác định khi hàm số là tổng hoặc thương của nhiều số hạng lượng giác — phải lấy giao của tất cả điều kiện, không chỉ điều kiện của số hạng đầu.

Ghi nhớ

Quy trình khảo sát một hàm lượng giác: tìm tập xác định → xét chẵn lẻ → xác định chu kỳ → xét chiều biến thiên → vẽ đồ thị trên một chu kỳ rồi lặp lại. Áp dụng được cho cả hàm ghép chưa từng gặp trực tiếp.

Bài tiếp theo ôn lại bốn dạng phương trình lượng giác cơ bản cùng ba kỹ thuật biến đổi đã học, khép lại khóa học bằng một đề tổng hợp kiểu đề kiểm tra thật, đúng mức đề thi học kỳ lớp 11.