Bài học

Giải phương trình sin x = a

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng điều kiện có nghiệm của phương trình $\sin x=a$ , viết đúng công thức nghiệm tổng quát, và đếm được số nghiệm của phương trình trên một đoạn cho trước.

Sau bài này, em nêu đúng điều kiện có nghiệm của phương trình $\sin x=a$, viết đúng công thức nghiệm tổng quát, và đếm được số nghiệm của phương trình trên một đoạn cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở hai bài trước, em đã biết $-1\le\sin x\le1$ với mọi $x$ (same-grade bridge), cùng các giá trị sin tại góc đặc biệt từ Khóa 1 ( $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ , $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ …). Bài này dùng cả hai để giải phương trình dạng $\sin x=a$ — phương trình lượng giác cơ bản đầu tiên.

Ở hai bài trước, em đã biết $-1\le\sin x\le1$ với mọi $x$ (same-grade bridge), cùng các giá trị sin tại góc đặc biệt từ Khóa 1 ($\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$…). Bài này dùng cả hai để giải phương trình dạng $\sin x=a$ — phương trình lượng giác cơ bản đầu tiên.

Khởi động

Một chiếc đèn hiệu trên biển nhấp nháy theo quy luật độ sáng tỉ lệ với $\sin x$ , với $x$ tính bằng radian theo thời gian. Trong một chu kỳ, có bao nhiêu thời điểm độ sáng bằng đúng một nửa mức tối đa? Có phải chỉ một thời điểm duy nhất?

Một chiếc đèn hiệu trên biển nhấp nháy theo quy luật độ sáng tỉ lệ với $\sin x$, với $x$ tính bằng radian theo thời gian. Trong một chu kỳ, có bao nhiêu thời điểm độ sáng bằng đúng một nửa mức tối đa? Có phải chỉ một thời điểm duy nhất?

Kiến thức trọng tâm

Vì tập giá trị của hàm sin là $[-1;1]$ , phương trình $\sin x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$ . Nếu $|a|>1$ , phương trình vô nghiệm — không tồn tại góc nào có sin vượt quá 1 về giá trị tuyệt đối, dù $x$ có lớn hay âm đến đâu.

Vì tập giá trị của hàm sin là $[-1;1]$, phương trình $\sin x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$. Nếu $|a|>1$, phương trình vô nghiệm — không tồn tại góc nào có sin vượt quá 1 về giá trị tuyệt đối, dù $x$ có lớn hay âm đến đâu.

Giả sử $|a|\le1$ và gọi $\alpha$ là một số thực sao cho $\sin\alpha=a$ (khi $a$ là giá trị đặc biệt, $\alpha$ thường được chọn trong $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ ; tổng quát người ta viết $\alpha=\arcsin a$ ). Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng nằm ngang $y=a$ cắt đường tròn tại đúng hai điểm (trừ khi $a=\pm1$ , khi đó chỉ có một điểm) — một điểm ứng với góc $\alpha$ , điểm còn lại đối xứng với điểm thứ nhất qua trục tung, ứng với góc $\pi-\alpha$ . Vì hàm sin tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ , nghiệm tổng quát của phương trình là $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$ , với $k\in\mathbb{Z}$ .

Giả sử $|a|\le1$ và gọi $\alpha$ là một số thực sao cho $\sin\alpha=a$ (khi $a$ là giá trị đặc biệt, $\alpha$ thường được chọn trong $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$; tổng quát người ta viết $\alpha=\arcsin a$). Trên đường tròn lượng giác, đường thẳng nằm ngang $y=a$ cắt đường tròn tại đúng hai điểm (trừ khi $a=\pm1$, khi đó chỉ có một điểm) — một điểm ứng với góc $\alpha$, điểm còn lại đối xứng với điểm thứ nhất qua trục tung, ứng với góc $\pi-\alpha$. Vì hàm sin tuần hoàn chu kỳ $2\pi$, nghiệm tổng quát của phương trình là $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$, với $k\in\mathbb{Z}$.

Hai họ nghiệm này không trùng nhau, trừ trường hợp đặc biệt $a=1$ hoặc $a=-1$ , khi hai điểm cắt trùng làm một và chỉ còn một họ nghiệm. Khi $a=1$ : $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ ; khi $a=-1$ : $x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ . Cách nhớ công thức: một nghiệm 'thẳng' $\alpha$ , một nghiệm 'đối xứng qua $\dfrac{\pi}{2}$ ' là $\pi-\alpha$ — cả hai cộng thêm $k2\pi$ vì chu kỳ của sin là $2\pi$ , không phải $\pi$ như tan, cot ở bài trước.

Hai họ nghiệm này không trùng nhau, trừ trường hợp đặc biệt $a=1$ hoặc $a=-1$, khi hai điểm cắt trùng làm một và chỉ còn một họ nghiệm. Khi $a=1$: $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$; khi $a=-1$: $x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$. Cách nhớ công thức: một nghiệm 'thẳng' $\alpha$, một nghiệm 'đối xứng qua $\dfrac{\pi}{2}$' là $\pi-\alpha$ — cả hai cộng thêm $k2\pi$ vì chu kỳ của sin là $2\pi$, không phải $\pi$ như tan, cot ở bài trước.

Hình dưới minh họa đồ thị $y=\sin x$ trên đoạn $[0;2\pi]$ cùng đường nét đứt $y=0{,}5$ và hai điểm cắt — chính là hai nghiệm của phương trình $\sin x=0{,}5$ trên đoạn này.

Đường thẳng y=0,5 cắt đồ thị sin đúng hai lần trong một chu kỳ — hai giao điểm này chính là hai họ nghiệm của phương trình sin x = 1/2.

Ví dụ

Giải phương trình

\sin x=\dfrac12

Giải phương trình $\sin x=\dfrac12$

1
Giải phương trình $\sin x=\dfrac12$ .
Giải phương trình $\sin x=\dfrac12$.
2
Ta có $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$ , nên chọn $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ .
Ta có $\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12$, nên chọn $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$.
3
Theo công thức nghiệm của $\sin x=a$ : $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ , với $k\in\mathbb{Z}$ .
Theo công thức nghiệm của $\sin x=a$: $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$, với $k\in\mathbb{Z}$.
4
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ và $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: $x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ và $x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

Ví dụ

Giải phương trình

\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac12

và đếm số nghiệm trên

[0;2\pi]

Giải phương trình $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac12$ và đếm số nghiệm trên $[0;2\pi]$

1
Giải phương trình $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac12$ rồi đếm số nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$ .
Giải phương trình $\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac12$ rồi đếm số nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi]$.
2
Đặt $\theta=2x-\dfrac{\pi}{3}$ . Phương trình trở thành $\sin\theta=-\dfrac12$ .
Đặt $\theta=2x-\dfrac{\pi}{3}$. Phương trình trở thành $\sin\theta=-\dfrac12$.
3
Vì $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12$ , chọn $\alpha=-\dfrac{\pi}{6}$ . Suy ra $\theta=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $\theta=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+k2\pi=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$ .
Vì $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12$, chọn $\alpha=-\dfrac{\pi}{6}$. Suy ra $\theta=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $\theta=\pi-\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+k2\pi=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$.
4
Từ $\theta=2x-\dfrac{\pi}{3}$ suy ra $x=\dfrac{\theta+\pi/3}{2}$ . Với $\theta=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ : $x=\dfrac{\pi/6}{2}+k\pi=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ . Với $\theta=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$ : $x=\dfrac{9\pi/6}{2}+k\pi=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$ . Chú ý: chia cả họ nghiệm cho 2, không chỉ chia phần $k2\pi$ — đây đúng là lỗi hay gặp khi đặt ẩn phụ có hệ số.
Từ $\theta=2x-\dfrac{\pi}{3}$ suy ra $x=\dfrac{\theta+\pi/3}{2}$. Với $\theta=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$: $x=\dfrac{\pi/6}{2}+k\pi=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$. Với $\theta=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$: $x=\dfrac{9\pi/6}{2}+k\pi=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$. Chú ý: chia cả họ nghiệm cho 2, không chỉ chia phần $k2\pi$ — đây đúng là lỗi hay gặp khi đặt ẩn phụ có hệ số.
5
Với $x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ : $k=0$ cho $x=\dfrac{\pi}{12}$ ; $k=1$ cho $x=\dfrac{13\pi}{12}$ , cả hai thuộc $[0;2\pi]$ ; $k=2$ cho $x=\dfrac{25\pi}{12}>2\pi$ , loại. Với $x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$ : $k=0$ cho $x=\dfrac{3\pi}{4}$ ; $k=1$ cho $x=\dfrac{7\pi}{4}$ , cả hai thuộc $[0;2\pi]$ .
Với $x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$: $k=0$ cho $x=\dfrac{\pi}{12}$; $k=1$ cho $x=\dfrac{13\pi}{12}$, cả hai thuộc $[0;2\pi]$; $k=2$ cho $x=\dfrac{25\pi}{12}>2\pi$, loại. Với $x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$: $k=0$ cho $x=\dfrac{3\pi}{4}$; $k=1$ cho $x=\dfrac{7\pi}{4}$, cả hai thuộc $[0;2\pi]$.
6
Thay $x=\dfrac{\pi}{12}$ : $2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}$ , $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12$ (TMĐK).
Thay $x=\dfrac{\pi}{12}$: $2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}$, $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac12$ (TMĐK).
7
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi]$ : $\dfrac{\pi}{12};\dfrac{13\pi}{12};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}$ .
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm trên $[0;2\pi]$: $\dfrac{\pi}{12};\dfrac{13\pi}{12};\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}$.

Hai ví dụ trên cho thấy hai kiểu bài khác nhau của cùng một công thức nghiệm: Ví dụ 1 chỉ cần tra ngay giá trị đặc biệt; Ví dụ 2 đòi hỏi đặt ẩn phụ trước, cẩn thận chia toàn bộ họ nghiệm (kể cả góc $\alpha$ , không chỉ phần $k2\pi$ ) cho hệ số của $x$ , rồi mới đối chiếu với đoạn cho trước. Đây chính xác là kiểu bài 'đếm số nghiệm trên một đoạn' hay gặp trong đề kiểm tra: đề không hỏi 'nghiệm tổng quát là gì' mà hỏi 'có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn trong khoảng này' — bắt buộc phải đi hết cả hai bước, giải tổng quát rồi lọc theo đoạn.

Hai ví dụ trên cho thấy hai kiểu bài khác nhau của cùng một công thức nghiệm: Ví dụ 1 chỉ cần tra ngay giá trị đặc biệt; Ví dụ 2 đòi hỏi đặt ẩn phụ trước, cẩn thận chia toàn bộ họ nghiệm (kể cả góc $\alpha$, không chỉ phần $k2\pi$) cho hệ số của $x$, rồi mới đối chiếu với đoạn cho trước. Đây chính xác là kiểu bài 'đếm số nghiệm trên một đoạn' hay gặp trong đề kiểm tra: đề không hỏi 'nghiệm tổng quát là gì' mà hỏi 'có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn trong khoảng này' — bắt buộc phải đi hết cả hai bước, giải tổng quát rồi lọc theo đoạn.

Ví dụ

Một ứng dụng thực tế: tìm thời điểm độ cao ca-bin đu quay bằng một nửa bán kính

1
Độ cao của một ca-bin đu quay so với tâm trục quay (tính bằng đơn vị bán kính) cho bởi $h(t)=\sin\left(\dfrac{\pi}{15}t\right)$ , với $t$ tính bằng giây kể từ lúc ca-bin ở ngang tâm và đang đi lên. Tìm các thời điểm trong $30$ giây đầu mà ca-bin ở độ cao bằng đúng nửa bán kính.
Độ cao của một ca-bin đu quay so với tâm trục quay (tính bằng đơn vị bán kính) cho bởi $h(t)=\sin\left(\dfrac{\pi}{15}t\right)$, với $t$ tính bằng giây kể từ lúc ca-bin ở ngang tâm và đang đi lên. Tìm các thời điểm trong $30$ giây đầu mà ca-bin ở độ cao bằng đúng nửa bán kính.
2
Ta cần giải $\sin\left(\dfrac{\pi}{15}t\right)=\dfrac12$ với $t\in[0;30]$ .
Ta cần giải $\sin\left(\dfrac{\pi}{15}t\right)=\dfrac12$ với $t\in[0;30]$.
3
Đặt $\theta=\dfrac{\pi}{15}t$ . Từ $\sin\theta=\dfrac12$ suy ra $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $\theta=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ .
Đặt $\theta=\dfrac{\pi}{15}t$. Từ $\sin\theta=\dfrac12$ suy ra $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $\theta=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$.
4
Từ $\theta=\dfrac{\pi}{15}t$ suy ra $t=15\theta/\pi$ . Với $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ : $t=\dfrac{15}{6}+30k=2{,}5+30k$ . Với $\theta=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ : $t=\dfrac{15\cdot5}{6}+30k=12{,}5+30k$ .
Từ $\theta=\dfrac{\pi}{15}t$ suy ra $t=15\theta/\pi$. Với $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$: $t=\dfrac{15}{6}+30k=2{,}5+30k$. Với $\theta=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$: $t=\dfrac{15\cdot5}{6}+30k=12{,}5+30k$.
5
Với $k=0$ : $t=2{,}5$ giây và $t=12{,}5$ giây, cả hai thuộc $[0;30]$ . Với $k=1$ thì cả hai giá trị đều vượt quá 30 giây, loại.
Với $k=0$: $t=2{,}5$ giây và $t=12{,}5$ giây, cả hai thuộc $[0;30]$. Với $k=1$ thì cả hai giá trị đều vượt quá 30 giây, loại.
6
Vậy trong $30$ giây đầu, ca-bin ở đúng nửa bán kính tại hai thời điểm: $t=2{,}5$ giây (đang đi lên) và $t=12{,}5$ giây (đang đi xuống, ứng với nghiệm $\pi-\alpha$ trong công thức đã học) — đúng khớp với đồ thị hình sin: ca-bin đi qua một độ cao đúng hai lần trong mỗi vòng quay.
Vậy trong $30$ giây đầu, ca-bin ở đúng nửa bán kính tại hai thời điểm: $t=2{,}5$ giây (đang đi lên) và $t=12{,}5$ giây (đang đi xuống, ứng với nghiệm $\pi-\alpha$ trong công thức đã học) — đúng khớp với đồ thị hình sin: ca-bin đi qua một độ cao đúng hai lần trong mỗi vòng quay.

Ví dụ

Giải phương trình

\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1

— trường hợp

a=1

Giải phương trình $\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$ — trường hợp $a=1$

1
Giải phương trình $\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$ .
Giải phương trình $\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1$.
2
Vì $a=1$ là trường hợp đặc biệt đã nêu ở phần lý thuyết, phương trình chỉ có MỘT họ nghiệm thay vì hai — hai điểm cắt trên đường tròn lượng giác trùng làm một tại đúng điểm cao nhất.
Vì $a=1$ là trường hợp đặc biệt đã nêu ở phần lý thuyết, phương trình chỉ có MỘT họ nghiệm thay vì hai — hai điểm cắt trên đường tròn lượng giác trùng làm một tại đúng điểm cao nhất.
3
Đặt $\theta=3x-\dfrac{\pi}{6}$ . Từ $\sin\theta=1$ suy ra $\theta=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ .
Đặt $\theta=3x-\dfrac{\pi}{6}$. Từ $\sin\theta=1$ suy ra $\theta=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$.
4
$3x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ , suy ra $x=\dfrac{2\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$ .
$3x=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$, suy ra $x=\dfrac{2\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$.
5
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{2\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$ , $k\in\mathbb{Z}$ — chỉ một họ, đúng như dự đoán từ trường hợp $a=1$ .
Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{2\pi}{9}+k\dfrac{2\pi}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$ — chỉ một họ, đúng như dự đoán từ trường hợp $a=1$.

Việc nhận ra trước một phương trình rơi vào trường hợp đặc biệt ( $a=\pm1$ ) giúp em tránh viết thừa một họ nghiệm không tồn tại, hoặc tệ hơn, viết hai họ nghiệm trùng nhau mà tưởng là hai họ khác nhau. Luôn kiểm tra giá trị của $a$ trước khi áp dụng công thức tổng quát.

Việc nhận ra trước một phương trình rơi vào trường hợp đặc biệt ($a=\pm1$) giúp em tránh viết thừa một họ nghiệm không tồn tại, hoặc tệ hơn, viết hai họ nghiệm trùng nhau mà tưởng là hai họ khác nhau. Luôn kiểm tra giá trị của $a$ trước khi áp dụng công thức tổng quát.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ viết một họ nghiệm $x=\alpha+k2\pi$ mà quên họ thứ hai $x=\pi-\alpha+k2\pi$ . Sai lầm khác, thấy rõ ở Ví dụ 2, là khi đặt ẩn phụ $\theta=2x+\ldots$ , học sinh quay lại $x$ nhưng chỉ chia phần $k2\pi$ cho 2 mà quên chia luôn cả góc $\alpha$ , dẫn đến sai toàn bộ họ nghiệm. Một sai lầm nhỏ nhưng thường gặp khác là quên đổi $k2\pi$ về đúng đơn vị khi đếm nghiệm trên một đoạn — luôn thử trực tiếp từng giá trị $k=\ldots,-1,0,1,2,\ldots$ thay vì đoán.

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ viết một họ nghiệm $x=\alpha+k2\pi$ mà quên họ thứ hai $x=\pi-\alpha+k2\pi$. Sai lầm khác, thấy rõ ở Ví dụ 2, là khi đặt ẩn phụ $\theta=2x+\ldots$, học sinh quay lại $x$ nhưng chỉ chia phần $k2\pi$ cho 2 mà quên chia luôn cả góc $\alpha$, dẫn đến sai toàn bộ họ nghiệm. Một sai lầm nhỏ nhưng thường gặp khác là quên đổi $k2\pi$ về đúng đơn vị khi đếm nghiệm trên một đoạn — luôn thử trực tiếp từng giá trị $k=\ldots,-1,0,1,2,\ldots$ thay vì đoán.

Kỹ năng đếm nghiệm trên một đoạn, luyện ở Ví dụ 2, sẽ còn quay lại nhiều lần ở các chương sau: mọi phương trình đưa được về $\sin x=a$ hay $\cos x=a$ — kể cả sau khi đặt ẩn phụ hay biến đổi biên độ — đều dùng đúng thao tác 'thử từng giá trị $k$ rồi loại nghiệm ngoài khoảng' như đã làm ở đây. Thành thạo kỹ năng này ngay từ bây giờ giúp các bài toán tổng hợp phía sau chỉ còn là lặp lại, không phải học thêm kỹ thuật mới.

Ghi nhớ

$\sin x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$ . Với $\sin\alpha=a$ , nghiệm tổng quát là $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

$\sin x=a$ có nghiệm khi và chỉ khi $|a|\le1$. Với $\sin\alpha=a$, nghiệm tổng quát là $x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$).

Bài tiếp theo giải phương trình $\cos x=a$ theo cách hoàn toàn tương tự, chỉ khác công thức nghiệm — cùng một tư duy, chỉ đổi công thức cuối cùng.