Bài học

Hàm số y = sin x và y = cos x

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ và chu kỳ của hai hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ , đồng thời đọc được hình dạng đồ thị của mỗi hàm trên một chu kỳ để chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn cho trước.

Sau bài này, em xác định đúng tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ và chu kỳ của hai hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$, đồng thời đọc được hình dạng đồ thị của mỗi hàm trên một chu kỳ để chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một đoạn cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở Khóa 1 của chương trình, em đã định nghĩa $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ là tung độ và hoành độ của điểm $M$ trên đường tròn lượng giác ứng với góc lượng giác $\alpha$ (same-grade bridge), cùng các công thức góc liên kết cho $-\alpha$ , $\pi-\alpha$ , $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ . Bài này không lặp lại các công thức đó, mà hỏi một câu khác: khi $\alpha$ (từ đây gọi là $x$ ) chạy khắp tập số thực, $\sin x$ và $\cos x$ biến thiên theo quy luật nào, và quy luật ấy trông ra sao trên một mặt phẳng tọa độ?

Ở Khóa 1 của chương trình, em đã định nghĩa $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ là tung độ và hoành độ của điểm $M$ trên đường tròn lượng giác ứng với góc lượng giác $\alpha$ (same-grade bridge), cùng các công thức góc liên kết cho $-\alpha$, $\pi-\alpha$, $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$. Bài này không lặp lại các công thức đó, mà hỏi một câu khác: khi $\alpha$ (từ đây gọi là $x$) chạy khắp tập số thực, $\sin x$ và $\cos x$ biến thiên theo quy luật nào, và quy luật ấy trông ra sao trên một mặt phẳng tọa độ?

Khởi động

Một chiếc đu quay có bán kính 10 m quay đều quanh trục nằm ngang. Nếu ghi lại độ cao của một cabin theo thời gian, đường biểu diễn thu được lặp đi lặp lại y hệt sau mỗi vòng quay — không phải ngẫu nhiên, mà đúng hình dạng của hàm số $y=\sin x$ . Vì sao một chuyển động tròn đều lại sinh ra một đường cong lặp lại đều đặn như vậy?

Một chiếc đu quay có bán kính 10 m quay đều quanh trục nằm ngang. Nếu ghi lại độ cao của một cabin theo thời gian, đường biểu diễn thu được lặp đi lặp lại y hệt sau mỗi vòng quay — không phải ngẫu nhiên, mà đúng hình dạng của hàm số $y=\sin x$. Vì sao một chuyển động tròn đều lại sinh ra một đường cong lặp lại đều đặn như vậy?

Kiến thức trọng tâm

Với mỗi số thực $x$ (đo bằng radian), gọi $M$ là điểm trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác $(OA,OM)$ bằng $x$ , với $A(1;0)$ . Ta định nghĩa $\sin x$ là tung độ của $M$ , và $\cos x$ là hoành độ của $M$ . Vì $x$ có thể là bất kỳ số thực nào — kể cả số âm hay lớn hơn $2\pi$ — nên tập xác định của cả hai hàm số là toàn bộ $\mathbb{R}$ , không loại trừ giá trị nào. Đây là điểm khác biệt lớn với hai hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ ở bài sau, nơi tập xác định bị thu hẹp.

Với mỗi số thực $x$ (đo bằng radian), gọi $M$ là điểm trên đường tròn lượng giác sao cho góc lượng giác $(OA,OM)$ bằng $x$, với $A(1;0)$. Ta định nghĩa $\sin x$ là tung độ của $M$, và $\cos x$ là hoành độ của $M$. Vì $x$ có thể là bất kỳ số thực nào — kể cả số âm hay lớn hơn $2\pi$ — nên tập xác định của cả hai hàm số là toàn bộ $\mathbb{R}$, không loại trừ giá trị nào. Đây là điểm khác biệt lớn với hai hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ ở bài sau, nơi tập xác định bị thu hẹp.

Vì $M$ luôn nằm trên đường tròn bán kính 1, hoành độ và tung độ của nó không thể vượt quá 1 về giá trị tuyệt đối. Do đó $-1\le\sin x\le1$ và $-1\le\cos x\le1$ với mọi $x$ , tức là tập giá trị của cả hai hàm là đoạn $[-1;1]$ . Giá trị $\sin x=1$ chỉ đạt được khi $M$ ở đúng điểm cao nhất của đường tròn, tức $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ ; tương tự $\cos x=1$ chỉ khi $x=k2\pi$ .

Vì $M$ luôn nằm trên đường tròn bán kính 1, hoành độ và tung độ của nó không thể vượt quá 1 về giá trị tuyệt đối. Do đó $-1\le\sin x\le1$ và $-1\le\cos x\le1$ với mọi $x$, tức là tập giá trị của cả hai hàm là đoạn $[-1;1]$. Giá trị $\sin x=1$ chỉ đạt được khi $M$ ở đúng điểm cao nhất của đường tròn, tức $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$; tương tự $\cos x=1$ chỉ khi $x=k2\pi$.

Xét tính chẵn lẻ. Hai điểm ứng với góc $x$ và $-x$ đối xứng nhau qua trục hoành, nên chúng có cùng hoành độ nhưng tung độ đối nhau. Suy ra $\cos(-x)=\cos x$ với mọi $x$ — hàm số $y=\cos x$ là hàm chẵn — còn $\sin(-x)=-\sin x$ , nên $y=\sin x$ là hàm lẻ. Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng; đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng — em sẽ thấy rõ điều này trên hình vẽ bên dưới.

Xét tính chẵn lẻ. Hai điểm ứng với góc $x$ và $-x$ đối xứng nhau qua trục hoành, nên chúng có cùng hoành độ nhưng tung độ đối nhau. Suy ra $\cos(-x)=\cos x$ với mọi $x$ — hàm số $y=\cos x$ là hàm chẵn — còn $\sin(-x)=-\sin x$, nên $y=\sin x$ là hàm lẻ. Đồ thị hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng; đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng — em sẽ thấy rõ điều này trên hình vẽ bên dưới.

Khi góc tăng thêm đúng $2\pi$ , điểm $M$ quay đúng một vòng và trở lại chính xác vị trí cũ, nên $\sin(x+2\pi)=\sin x$ và $\cos(x+2\pi)=\cos x$ với mọi $x$ . Ta nói $2\pi$ là một chu kỳ của cả hai hàm số, và có thể kiểm chứng đây là chu kỳ dương nhỏ nhất — không có số dương nào bé hơn mà công thức trên còn đúng với mọi $x$ . Nhờ tính tuần hoàn này, để vẽ đồ thị trên toàn trục số, ta chỉ cần vẽ đúng một chu kỳ rồi lặp lại hình dạng đó sang trái và sang phải.

Khi góc tăng thêm đúng $2\pi$, điểm $M$ quay đúng một vòng và trở lại chính xác vị trí cũ, nên $\sin(x+2\pi)=\sin x$ và $\cos(x+2\pi)=\cos x$ với mọi $x$. Ta nói $2\pi$ là một chu kỳ của cả hai hàm số, và có thể kiểm chứng đây là chu kỳ dương nhỏ nhất — không có số dương nào bé hơn mà công thức trên còn đúng với mọi $x$. Nhờ tính tuần hoàn này, để vẽ đồ thị trên toàn trục số, ta chỉ cần vẽ đúng một chu kỳ rồi lặp lại hình dạng đó sang trái và sang phải.

Trên đoạn $[0;2\pi]$ , hàm $y=\sin x$ tăng từ 0 lên 1 khi $x$ chạy từ 0 đến $\dfrac{\pi}{2}$ , rồi giảm từ 1 xuống $-1$ khi $x$ chạy đến $\dfrac{3\pi}{2}$ , rồi tăng trở lại từ $-1$ lên 0 khi $x$ chạy đến $2\pi$ . Hàm $y=\cos x$ có dáng điệu tương tự nhưng lệch pha: giảm từ 1 xuống $-1$ trên $[0;\pi]$ , rồi tăng từ $-1$ lên 1 trên $[\pi;2\pi]$ — thực chất đồ thị $y=\cos x$ chính là đồ thị $y=\sin x$ tịnh tiến sang trái một đoạn $\dfrac{\pi}{2}$ , vì $\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Trên đoạn $[0;2\pi]$, hàm $y=\sin x$ tăng từ 0 lên 1 khi $x$ chạy từ 0 đến $\dfrac{\pi}{2}$, rồi giảm từ 1 xuống $-1$ khi $x$ chạy đến $\dfrac{3\pi}{2}$, rồi tăng trở lại từ $-1$ lên 0 khi $x$ chạy đến $2\pi$. Hàm $y=\cos x$ có dáng điệu tương tự nhưng lệch pha: giảm từ 1 xuống $-1$ trên $[0;\pi]$, rồi tăng từ $-1$ lên 1 trên $[\pi;2\pi]$ — thực chất đồ thị $y=\cos x$ chính là đồ thị $y=\sin x$ tịnh tiến sang trái một đoạn $\dfrac{\pi}{2}$, vì $\cos x=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$.

Ứng dụng của hai hàm số này vượt xa việc vẽ đồ thị. Bất kỳ đại lượng nào biến thiên có quy luật lặp lại — mực nước thủy triều, cường độ dòng điện xoay chiều, nhiệt độ trung bình theo tháng trong năm — đều có thể mô hình hóa gần đúng bằng một hàm dạng $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$ , với $A,\omega,\varphi,B$ là các hằng số phù hợp với hiện tượng cụ thể. Nắm chắc hình dạng cơ bản của $y=\sin x$ và $y=\cos x$ trong bài này là nền tảng để đọc hiểu những mô hình đó sau này.

Ứng dụng của hai hàm số này vượt xa việc vẽ đồ thị. Bất kỳ đại lượng nào biến thiên có quy luật lặp lại — mực nước thủy triều, cường độ dòng điện xoay chiều, nhiệt độ trung bình theo tháng trong năm — đều có thể mô hình hóa gần đúng bằng một hàm dạng $y=A\sin(\omega x+\varphi)+B$, với $A,\omega,\varphi,B$ là các hằng số phù hợp với hiện tượng cụ thể. Nắm chắc hình dạng cơ bản của $y=\sin x$ và $y=\cos x$ trong bài này là nền tảng để đọc hiểu những mô hình đó sau này.

Hình dưới minh họa đồ thị hai hàm số trên đoạn $[-2\pi;2\pi]$ , cùng các điểm đặc biệt và một đoạn nét đứt đánh dấu độ dài một chu kỳ trên $y=\sin x$ .

Hình dưới minh họa đồ thị hai hàm số trên đoạn $[-2\pi;2\pi]$, cùng các điểm đặc biệt và một đoạn nét đứt đánh dấu độ dài một chu kỳ trên $y=\sin x$.

Đường nét đứt nằm ngang phía dưới đánh dấu đúng một chu kỳ 2π của y=sin x, từ điểm cực tiểu tại x=-π/2 đến điểm cùng giá trị một chu kỳ sau, tại x=3π/2.

Ví dụ

Tính giá trị của

y=\sin(2x)

tại

x=\dfrac{\pi}{4}

Tính giá trị của $y=\sin(2x)$ tại $x=\dfrac{\pi}{4}$

1
Tính giá trị của hàm số $y=\sin(2x)$ tại $x=\dfrac{\pi}{4}$ .
Tính giá trị của hàm số $y=\sin(2x)$ tại $x=\dfrac{\pi}{4}$.
2
Ta có $2x=2\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$ .
Ta có $2x=2\cdot\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$.
3
Suy ra $y=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ .
Suy ra $y=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$.
4
Vậy tại $x=\dfrac{\pi}{4}$ , hàm số $y=\sin(2x)$ nhận giá trị 1 — đúng giá trị lớn nhất mà hàm sin có thể đạt.
Vậy tại $x=\dfrac{\pi}{4}$, hàm số $y=\sin(2x)$ nhận giá trị 1 — đúng giá trị lớn nhất mà hàm sin có thể đạt.

Ví dụ

Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của

y=\sin\dfrac{x}{2}

và

y=3\cos x

Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của $y=\sin\dfrac{x}{2}$ và $y=3\cos x$

1
Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hai hàm số $y=\sin\dfrac{x}{2}$ và $y=3\cos x$ .
Xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hai hàm số $y=\sin\dfrac{x}{2}$ và $y=3\cos x$.
2
Đặt $f(x)=\sin\dfrac{x}{2}$ , xác định trên $\mathbb{R}$ . Ta có $f(-x)=\sin\left(\dfrac{-x}{2}\right)=-\sin\dfrac{x}{2}=-f(x)$ với mọi $x$ , nên $f$ là hàm lẻ.
Đặt $f(x)=\sin\dfrac{x}{2}$, xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $f(-x)=\sin\left(\dfrac{-x}{2}\right)=-\sin\dfrac{x}{2}=-f(x)$ với mọi $x$, nên $f$ là hàm lẻ.
3
Với hàm $y=\sin(kx)$ , $k>0$ , chu kỳ bằng $\dfrac{2\pi}{k}$ . Ở đây $k=\dfrac{1}{2}$ , nên chu kỳ của $y=\sin\dfrac{x}{2}$ là $\dfrac{2\pi}{1/2}=4\pi$ .
Với hàm $y=\sin(kx)$, $k>0$, chu kỳ bằng $\dfrac{2\pi}{k}$. Ở đây $k=\dfrac{1}{2}$, nên chu kỳ của $y=\sin\dfrac{x}{2}$ là $\dfrac{2\pi}{1/2}=4\pi$.
4
Đặt $g(x)=3\cos x$ . Ta có $g(-x)=3\cos(-x)=3\cos x=g(x)$ với mọi $x$ , nên $g$ là hàm chẵn. Nhân $\cos x$ với hằng số 3 không làm thay đổi chu kỳ, nên chu kỳ của $g$ vẫn là $2\pi$ .
Đặt $g(x)=3\cos x$. Ta có $g(-x)=3\cos(-x)=3\cos x=g(x)$ với mọi $x$, nên $g$ là hàm chẵn. Nhân $\cos x$ với hằng số 3 không làm thay đổi chu kỳ, nên chu kỳ của $g$ vẫn là $2\pi$.
5
Vậy $y=\sin\dfrac{x}{2}$ là hàm lẻ, chu kỳ $4\pi$ ; còn $y=3\cos x$ là hàm chẵn, chu kỳ $2\pi$ .
Vậy $y=\sin\dfrac{x}{2}$ là hàm lẻ, chu kỳ $4\pi$; còn $y=3\cos x$ là hàm chẵn, chu kỳ $2\pi$.

Ví dụ

Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và GTLN, GTNN của

y=\cos x

trên

[0;2\pi]

Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và GTLN, GTNN của $y=\cos x$ trên $[0;2\pi]$

1
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của $y=\cos x$ trên đoạn $[0;2\pi]$ , từ đó tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của $y=\cos x$ trên đoạn $[0;2\pi]$, từ đó tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.
2
Theo phần lý thuyết, trên $[0;\pi]$ hàm số giảm từ 1 xuống $-1$ ; trên $[\pi;2\pi]$ hàm số tăng từ $-1$ lên 1.
Theo phần lý thuyết, trên $[0;\pi]$ hàm số giảm từ 1 xuống $-1$; trên $[\pi;2\pi]$ hàm số tăng từ $-1$ lên 1.
3
Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$ và $x=2\pi$ (hai đầu đoạn), và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=\pi$ .
Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$ và $x=2\pi$ (hai đầu đoạn), và đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=\pi$.
4
Vậy $y=\cos x$ nghịch biến trên $[0;\pi]$ , đồng biến trên $[\pi;2\pi]$ , với $\max y=1$ tại $x\in\{0;2\pi\}$ và $\min y=-1$ tại $x=\pi$ .
Vậy $y=\cos x$ nghịch biến trên $[0;\pi]$, đồng biến trên $[\pi;2\pi]$, với $\max y=1$ tại $x\in\{0;2\pi\}$ và $\min y=-1$ tại $x=\pi$.

Ví dụ

So sánh

\sin\dfrac{5\pi}{7}

và

\sin\dfrac{6\pi}{7}

không cần tính cụ thểSo sánh $\sin\dfrac{5\pi}{7}$ và $\sin\dfrac{6\pi}{7}$ không cần tính cụ thể

1
So sánh hai giá trị $\sin\dfrac{5\pi}{7}$ và $\sin\dfrac{6\pi}{7}$ mà không cần tính giá trị cụ thể của từng số.
So sánh hai giá trị $\sin\dfrac{5\pi}{7}$ và $\sin\dfrac{6\pi}{7}$ mà không cần tính giá trị cụ thể của từng số.
2
Ta có $\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}571$ , $\dfrac{5\pi}{7}\approx2{,}244$ , $\dfrac{6\pi}{7}\approx2{,}693$ và $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}712$ , nên cả hai góc đều thuộc đoạn $\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ , nơi hàm $\sin x$ nghịch biến.
Ta có $\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}571$, $\dfrac{5\pi}{7}\approx2{,}244$, $\dfrac{6\pi}{7}\approx2{,}693$ và $\dfrac{3\pi}{2}\approx4{,}712$, nên cả hai góc đều thuộc đoạn $\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$, nơi hàm $\sin x$ nghịch biến.
3
Vì $y=\sin x$ nghịch biến trên đoạn này và $\dfrac{5\pi}{7}<\dfrac{6\pi}{7}$ , suy ra $\sin\dfrac{5\pi}{7}>\sin\dfrac{6\pi}{7}$ .
Vì $y=\sin x$ nghịch biến trên đoạn này và $\dfrac{5\pi}{7}<\dfrac{6\pi}{7}$, suy ra $\sin\dfrac{5\pi}{7}>\sin\dfrac{6\pi}{7}$.
4
Vậy $\sin\dfrac{5\pi}{7}>\sin\dfrac{6\pi}{7}$ . Đây là kỹ thuật so sánh rất hay gặp trong đề kiểm tra: dựa vào chiều biến thiên đã học thay vì bấm máy tính hay tra bảng giá trị đặc biệt.
Vậy $\sin\dfrac{5\pi}{7}>\sin\dfrac{6\pi}{7}$. Đây là kỹ thuật so sánh rất hay gặp trong đề kiểm tra: dựa vào chiều biến thiên đã học thay vì bấm máy tính hay tra bảng giá trị đặc biệt.

Kỹ thuật so sánh không cần tính cụ thể ở ví dụ trên áp dụng được cho mọi cặp góc cùng nằm trong một khoảng đồng biến hoặc nghịch biến đã biết — kể cả khi hai góc không phải giá trị đặc biệt và máy tính bỏ túi không được phép sử dụng. Cách làm luôn gồm hai bước: xác định cả hai góc cùng thuộc khoảng đơn điệu nào của một chu kỳ, rồi so sánh theo đúng chiều biến thiên (đồng biến giữ nguyên thứ tự, nghịch biến đảo ngược thứ tự).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm phổ biến là nghĩ $y=\sin x$ có tập xác định bị giới hạn giống $y=\tan x$ ở bài sau — thực ra $\sin x$ và $\cos x$ xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$ , không có điều kiện loại trừ nào. Sai lầm khác là nhầm chu kỳ của $y=\sin(kx)$ vẫn là $2\pi$ dù $k\ne1$ — chu kỳ đúng phải chia cho $|k|$ , tức $\dfrac{2\pi}{|k|}$ .

Một sai lầm phổ biến là nghĩ $y=\sin x$ có tập xác định bị giới hạn giống $y=\tan x$ ở bài sau — thực ra $\sin x$ và $\cos x$ xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$, không có điều kiện loại trừ nào. Sai lầm khác là nhầm chu kỳ của $y=\sin(kx)$ vẫn là $2\pi$ dù $k\ne1$ — chu kỳ đúng phải chia cho $|k|$, tức $\dfrac{2\pi}{|k|}$.

Ghi nhớ

$y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$ , có tập giá trị $[-1;1]$ , tuần hoàn chu kỳ $2\pi$ . $y=\sin x$ là hàm lẻ, $y=\cos x$ là hàm chẵn, và đồ thị của chúng lệch pha nhau đúng $\dfrac{\pi}{2}$ .

$y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$, có tập giá trị $[-1;1]$, tuần hoàn chu kỳ $2\pi$. $y=\sin x$ là hàm lẻ, $y=\cos x$ là hàm chẵn, và đồ thị của chúng lệch pha nhau đúng $\dfrac{\pi}{2}$.

Bài tiếp theo xét hai hàm số còn lại — $y=\tan x$ và $y=\cot x$ — vốn không xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$ mà có những điểm bị loại khỏi tập xác định, sinh ra các đường tiệm cận đứng trên đồ thị.