Bài học

Bất phương trình logarit cơ bản và bài toán tổng hợp mũ–logarit trong thực tế

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em giải được bất phương trình logarit cơ bản với ĐKXĐ đầy đủ, và vận dụng logarit để giải ngược một bài toán tăng trưởng thực tế: biết mốc cần đạt, tìm thời gian cần thiết.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dùng lại nguyên tắc ĐKXĐ (bài trước) và quy tắc giữ/đổi chiều theo cơ số (tương tự bất phương trình mũ, Chương 4) — áp dụng cho hàm số logarit thay vì hàm số mũ.

Câu hỏi mở đầu

Ở Chương 1, em đã tính được: gửi $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$ /năm, lãi kép, thì sau $5$ năm có khoảng $133,82$ triệu đồng. Nhưng nếu câu hỏi ngược lại — "cần bao nhiêu năm để số tiền vượt quá $150$ triệu?" — phép tính thuận (thế $t$ vào công thức) không giúp được nữa, vì $t$ chính là ẩn số nằm ở vị trí số mũ. Đây là lúc bất phương trình logarit phát huy tác dụng.

Ở Chương 1, em đã tính được: gửi $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$/năm, lãi kép, thì sau $5$ năm có khoảng $133,82$ triệu đồng. Nhưng nếu câu hỏi ngược lại — "cần bao nhiêu năm để số tiền vượt quá $150$ triệu?" — phép tính thuận (thế $t$ vào công thức) không giúp được nữa, vì $t$ chính là ẩn số nằm ở vị trí số mũ. Đây là lúc bất phương trình logarit phát huy tác dụng.

Điểm mấu chốt là: câu hỏi thực tế ở đây là bất phương trình — số tiền cần "vượt quá" một mốc, không phải "bằng đúng" một mốc — nên công cụ cần dùng là bất phương trình logarit chứ không chỉ phương trình đơn thuần. Bài học này khép lại một vòng tròn của khóa học: phương trình/hàm số mũ (Chương 1, 3, 4) dùng để tính giá trị khi biết thời gian, còn bất phương trình logarit (bài này) dùng để tìm khoảng thời gian khi biết mốc giá trị cần đạt hoặc vượt qua — hai chiều tính toán ngược nhau của cùng một mô hình tăng trưởng.

Bất phương trình logarit cơ bản: giữ chiều hay đổi chiều

Áp dụng đúng nguyên tắc ĐKXĐ (bài trước) rồi mới xét chiều bất đẳng thức theo cơ số, tương tự bất phương trình mũ: với $a>1$ , hàm số $y=\log_a x$ đồng biến nên $\log_a x > \log_a m \iff x>m$ (giữ chiều); với $0<a<1$ , hàm số nghịch biến nên $\log_a x > \log_a m \iff x<m$ (đổi chiều). Sau khi tìm được nghiệm theo chiều đúng, luôn kết hợp với ĐKXĐ ban đầu ( $x>0$ hoặc điều kiện của biểu thức trong log) để có tập nghiệm cuối cùng — bỏ bước kết hợp này là bỏ sót một nửa bài toán.

Áp dụng đúng nguyên tắc ĐKXĐ (bài trước) rồi mới xét chiều bất đẳng thức theo cơ số, tương tự bất phương trình mũ: với $a>1$, hàm số $y=\log_a x$ đồng biến nên $\log_a x > \log_a m \iff x>m$ (giữ chiều); với $0<a<1$, hàm số nghịch biến nên $\log_a x > \log_a m \iff x<m$ (đổi chiều). Sau khi tìm được nghiệm theo chiều đúng, luôn kết hợp với ĐKXĐ ban đầu ($x>0$ hoặc điều kiện của biểu thức trong log) để có tập nghiệm cuối cùng — bỏ bước kết hợp này là bỏ sót một nửa bài toán.

Có thể hình dung quy tắc giữ/đổi chiều bằng chính đồ thị hàm số logarit (Chương 3): nếu $a>1$ , đồ thị $y=\log_a x$ đi lên khi $x$ tăng, nên giá trị hàm số lớn hơn ứng với $x$ lớn hơn — giữ chiều. Nếu $0<a<1$ , đồ thị đi xuống, nên giá trị hàm số lớn hơn lại ứng với $x$ nhỏ hơn — đổi chiều. Đây là đúng cách suy luận đã dùng ở bài bất phương trình mũ, chỉ thay hàm số mũ bằng hàm số logarit.

Có thể hình dung quy tắc giữ/đổi chiều bằng chính đồ thị hàm số logarit (Chương 3): nếu $a>1$, đồ thị $y=\log_a x$ đi lên khi $x$ tăng, nên giá trị hàm số lớn hơn ứng với $x$ lớn hơn — giữ chiều. Nếu $0<a<1$, đồ thị đi xuống, nên giá trị hàm số lớn hơn lại ứng với $x$ nhỏ hơn — đổi chiều. Đây là đúng cách suy luận đã dùng ở bài bất phương trình mũ, chỉ thay hàm số mũ bằng hàm số logarit.

Ví dụ

Giải bất phương trình logarit cơ bản, cơ số lớn hơn 1

1
Đề bài: giải bất phương trình $\log_2(x-1) < 3$ . ĐKXĐ: $x-1>0 \iff x>1$ .
Đề bài: giải bất phương trình $\log_2(x-1) < 3$. ĐKXĐ: $x-1>0 \iff x>1$.
2
$\log_2(x-1)<3 \iff x-1 < 2^3 = 8$ (cơ số $2>1$ nên giữ chiều).
$\log_2(x-1)<3 \iff x-1 < 2^3 = 8$ (cơ số $2>1$ nên giữ chiều).
3
$x-1<8 \iff x<9$ .
$x-1<8 \iff x<9$.
4
Kết hợp $x>1$ và $x<9$ : $1<x<9$ .
Kết hợp $x>1$ và $x<9$: $1<x<9$.
5
Vậy tập nghiệm là $x\in(1;9)$ .
Vậy tập nghiệm là $x\in(1;9)$.

Ví dụ

Giải bất phương trình logarit cơ bản, cơ số nhỏ hơn 1 (chiều đổi)

1
Đề bài: giải bất phương trình $\log_{1/2}(x) \geq -2$ . ĐKXĐ: $x>0$ .
Đề bài: giải bất phương trình $\log_{1/2}(x) \geq -2$. ĐKXĐ: $x>0$.
2
$\log_{1/2}(x) \geq -2 \iff x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$ (cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên đổi chiều).
$\log_{1/2}(x) \geq -2 \iff x \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$ (cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên đổi chiều).
3
Kết hợp $x>0$ và $x\leq 4$ : $0<x\leq 4$ .
Kết hợp $x>0$ và $x\leq 4$: $0<x\leq 4$.
4
Vậy tập nghiệm là $x\in(0;4]$ .
Vậy tập nghiệm là $x\in(0;4]$.

So sánh hai ví dụ vừa làm: cùng một dạng bài (bất phương trình logarit cơ bản), nhưng cơ số khác nhau ( $2$ và $\frac{1}{2}$ ) dẫn đến hai chiều kết luận trái ngược. Nếu không dừng lại kiểm tra cơ số trước khi kết luận, rất dễ áp dụng máy móc chiều của ví dụ này sang ví dụ kia. Thói quen đúng là luôn viết rõ ra giấy: "cơ số bằng bao nhiêu, lớn hơn hay nhỏ hơn $1$ ", trước khi quyết định giữ hay đổi chiều — dù việc này mất thêm vài giây, nó loại bỏ hoàn toàn loại sai sót phổ biến nhất ở dạng bài này.

So sánh hai ví dụ vừa làm: cùng một dạng bài (bất phương trình logarit cơ bản), nhưng cơ số khác nhau ($2$ và $\frac{1}{2}$) dẫn đến hai chiều kết luận trái ngược. Nếu không dừng lại kiểm tra cơ số trước khi kết luận, rất dễ áp dụng máy móc chiều của ví dụ này sang ví dụ kia. Thói quen đúng là luôn viết rõ ra giấy: "cơ số bằng bao nhiêu, lớn hơn hay nhỏ hơn $1$", trước khi quyết định giữ hay đổi chiều — dù việc này mất thêm vài giây, nó loại bỏ hoàn toàn loại sai sót phổ biến nhất ở dạng bài này.

Ví dụ

Bài toán thực tế: giải ngược lãi kép bằng logarit

1
Gửi $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$ /năm, lãi kép. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu năm (số nguyên) để số tiền vượt quá $150$ triệu đồng?
Gửi $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$/năm, lãi kép. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu năm (số nguyên) để số tiền vượt quá $150$ triệu đồng?
2
Từ mô hình $A(t)=100\cdot(1,06)^t$ (Chương 1), yêu cầu bài toán là $100\cdot(1,06)^t > 150$ , tức là $(1,06)^t > 1,5$ .
Từ mô hình $A(t)=100\cdot(1,06)^t$ (Chương 1), yêu cầu bài toán là $100\cdot(1,06)^t > 150$, tức là $(1,06)^t > 1,5$.
3
Vì hàm số $y=\log x$ (cơ số $10>1$ ) đồng biến, lấy logarit thập phân hai vế giữ nguyên chiều bất đẳng thức: $\log\left[(1,06)^t\right] > \log(1,5) \iff t\cdot\log(1,06) > \log(1,5)$ .
Vì hàm số $y=\log x$ (cơ số $10>1$) đồng biến, lấy logarit thập phân hai vế giữ nguyên chiều bất đẳng thức: $\log\left[(1,06)^t\right] > \log(1,5) \iff t\cdot\log(1,06) > \log(1,5)$.
4
Vì $\log(1,06)\approx 0,02531 > 0$ , chia hai vế cho $\log(1,06)$ giữ nguyên chiều: $t > \dfrac{\log(1,5)}{\log(1,06)} \approx \dfrac{0,17609}{0,02531} \approx 6,96$ .
Vì $\log(1,06)\approx 0,02531 > 0$, chia hai vế cho $\log(1,06)$ giữ nguyên chiều: $t > \dfrac{\log(1,5)}{\log(1,06)} \approx \dfrac{0,17609}{0,02531} \approx 6,96$.
5
Vì $t$ là số năm và bài toán yêu cầu số nguyên, $t\geq 7$ (số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $6,96$ ). Vậy cần ít nhất $7$ năm để số tiền vượt quá $150$ triệu đồng.
Vì $t$ là số năm và bài toán yêu cầu số nguyên, $t\geq 7$ (số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $6,96$). Vậy cần ít nhất $7$ năm để số tiền vượt quá $150$ triệu đồng.

Chuyển bài toán thực tế thành mô hình: đường cong tăng trưởng cắt đường mức 150 triệu tại t≈6,96 năm — làm tròn lên năm nguyên, cần t=7 năm.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên kết hợp nghiệm bất phương trình logarit với ĐKXĐ ban đầu (chỉ giải theo định nghĩa rồi dừng lại), hoặc trong bài toán thực tế, quên làm tròn $t$ theo đúng yêu cầu đề (ở đây là số năm nguyên, phải làm tròn LÊN vì cần vượt mốc, không phải làm tròn gần nhất).

Nhìn lại toàn bộ quá trình giải bài toán lãi kép ngược: bước "lấy logarit hai vế" chính là bước duy nhất mới so với những gì em đã biết — mọi bước còn lại (lập mô hình, thay số, làm tròn theo yêu cầu thực tế) đều là kỹ năng đã luyện từ Chương 1. Đây là minh chứng rõ nhất cho việc logarit không phải một chủ đề tách biệt, mà là công cụ hoàn thiện nốt những câu hỏi mà lũy thừa một mình không trả lời được. Điều tương tự cũng đúng cho bài toán ngược của tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ, hay bất kỳ mô hình lũy thừa nào khác trong khoa học — hễ ẩn số cần tìm chuyển từ vị trí số mũ (bài toán thuận) sang vị trí thời gian hoặc tham số cần xác định (bài toán ngược), logarit luôn là công cụ được gọi đến trước tiên.

Tóm tắt

Bất phương trình logarit cơ bản giải bằng cách xác định chiều bất đẳng thức theo cơ số (giữ chiều nếu $a>1$ , đổi chiều nếu $0<a<1$ ), rồi kết hợp nghiệm với ĐKXĐ. Khi một bài toán tăng trưởng thực tế cần tìm thời gian $t$ từ một mốc giá trị cho trước, lấy logarit hai vế là công cụ đưa $t$ từ số mũ xuống thành hệ số — đúng phép toán ngược của mô hình lũy thừa đã học ở Chương 1.

Bất phương trình logarit cơ bản giải bằng cách xác định chiều bất đẳng thức theo cơ số (giữ chiều nếu $a>1$, đổi chiều nếu $0<a<1$), rồi kết hợp nghiệm với ĐKXĐ. Khi một bài toán tăng trưởng thực tế cần tìm thời gian $t$ từ một mốc giá trị cho trước, lấy logarit hai vế là công cụ đưa $t$ từ số mũ xuống thành hệ số — đúng phép toán ngược của mô hình lũy thừa đã học ở Chương 1.

Chương cuối cùng ôn tập toàn bộ nội dung mũ và logarit qua các bài toán tổng hợp, chuẩn bị nền tảng cho khóa học tiếp theo về đạo hàm.