Bài học

Đổi cơ số và ứng dụng logarit trong khoa học — đời sống

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em vận dụng được logarit — đặc biệt là logarit thập phân — để tính toán trong các thang đo logarit quen thuộc của khoa học và đời sống: độ pH, độ lớn động đất theo thang Richter, và mức cường độ âm theo decibel.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dùng lại định nghĩa logarit và công thức đổi cơ số ở bài trước; các công thức khoa học dưới đây chỉ là logarit thập phân được đặt tên riêng cho từng ngành.

Câu hỏi mở đầu

Vì sao các nhà khoa học không đo độ axit trực tiếp bằng nồng độ ion $H^+$ (một số rất nhỏ, ví dụ $0,0000001$ mol/L), mà lại quy về một thang đo gọn hơn gọi là độ pH? Câu trả lời nằm ở chính vai trò của logarit: nó nén một dải giá trị trải dài qua nhiều bậc lũy thừa của $10$ thành một dải số nhỏ, dễ so sánh.

Độ pH — thang đo độ axit

Độ pH của một dung dịch được định nghĩa bằng logarit thập phân của nồng độ ion $H^+$ (đơn vị mol/L), với dấu trừ để pH luôn là số dương với các dung dịch axit hoặc trung tính thường gặp:

$\text{pH} = -\log\left[H^+\right].$

Nồng độ $H^+$ càng lớn (dung dịch càng axit) thì pH càng nhỏ, vì hàm logarit đồng biến còn có dấu trừ phía trước làm đảo chiều biến thiên.

Độ pH của một dung dịch được định nghĩa bằng logarit thập phân của nồng độ ion $H^+$ (đơn vị mol/L), với dấu trừ để pH luôn là số dương với các dung dịch axit hoặc trung tính thường gặp: $$\text{pH} = -\log\left[H^+\right].$$ Nồng độ $H^+$ càng lớn (dung dịch càng axit) thì pH càng nhỏ, vì hàm logarit đồng biến còn có dấu trừ phía trước làm đảo chiều biến thiên.

Độ lớn động đất — thang Richter

Độ lớn $M$ của một trận động đất theo thang Richter được tính từ tỉ số biên độ sóng địa chấn $A$ so với một biên độ chuẩn $A_0$ :

$M = \log\frac{A}{A_0}.$

Vì đây là thang logarit, mỗi khi $M$ tăng thêm $1$ đơn vị, biên độ sóng thực tế tăng gấp $10$ lần — đây là lý do một trận động đất độ lớn $7$ tàn phá hơn hẳn một trận độ lớn $6$ , dù chênh lệch trên thang đo chỉ là $1$ đơn vị.

Độ lớn $M$ của một trận động đất theo thang Richter được tính từ tỉ số biên độ sóng địa chấn $A$ so với một biên độ chuẩn $A_0$: $$M = \log\frac{A}{A_0}.$$ Vì đây là thang logarit, mỗi khi $M$ tăng thêm $1$ đơn vị, biên độ sóng thực tế tăng gấp $10$ lần — đây là lý do một trận động đất độ lớn $7$ tàn phá hơn hẳn một trận độ lớn $6$, dù chênh lệch trên thang đo chỉ là $1$ đơn vị.

Mức cường độ âm — decibel

Mức cường độ âm $L$ (đơn vị decibel, dB) của một âm thanh có cường độ $I$ so với cường độ chuẩn $I_0$ (ngưỡng nghe được của tai người) được tính bằng:

$L = 10\log\frac{I}{I_0}.$

Hệ số $10$ phía trước xuất hiện vì đơn vị decibel được định nghĩa bằng $\frac{1}{10}$ đơn vị Bel — một chi tiết lịch sử của ngành âm học, không làm thay đổi bản chất logarit của công thức.

Mức cường độ âm $L$ (đơn vị decibel, dB) của một âm thanh có cường độ $I$ so với cường độ chuẩn $I_0$ (ngưỡng nghe được của tai người) được tính bằng: $$L = 10\log\frac{I}{I_0}.$$ Hệ số $10$ phía trước xuất hiện vì đơn vị decibel được định nghĩa bằng $\frac{1}{10}$ đơn vị Bel — một chi tiết lịch sử của ngành âm học, không làm thay đổi bản chất logarit của công thức.

Cả ba công thức trên đều có chung một cấu trúc: một logarit thập phân của một tỉ số giữa đại lượng cần đo và một mốc chuẩn cố định. Điểm chung này không phải ngẫu nhiên — tai người, mắt người và nhiều giác quan khác cảm nhận cường độ kích thích theo tỉ lệ phần trăm thay đổi chứ không theo hiệu số tuyệt đối (nghe một âm to gấp đôi cảm giác "to hơn một mức" chứ không phải "to hơn một hằng số cố định"), nên các nhà khoa học chọn thang logarit để số đo phản ánh đúng cách con người cảm nhận. Đây là lý do logarit xuất hiện lặp lại trong nhiều ngành khoa học khác nhau, không chỉ riêng hóa học hay địa chấn học.

Độ pH là logarit thập phân (có dấu trừ) của nồng độ ion H+ — dung dịch axit mạnh (nước chanh) có pH thấp, dung dịch kiềm (xà phòng) có pH cao.

Ví dụ

Tính pH từ nồng độ ion H+

1
Một dung dịch có nồng độ ion $H^+$ bằng $1\times 10^{-3}$ mol/L. Tính độ pH.
Một dung dịch có nồng độ ion $H^+$ bằng $1\times 10^{-3}$ mol/L. Tính độ pH.
2
$\text{pH} = -\log\left[H^+\right] = -\log\left(10^{-3}\right)$ .
$\text{pH} = -\log\left[H^+\right] = -\log\left(10^{-3}\right)$.
3
Theo định nghĩa logarit, $\log\left(10^{-3}\right) = -3$ , nên $\text{pH} = -(-3) = 3$ .
Theo định nghĩa logarit, $\log\left(10^{-3}\right) = -3$, nên $\text{pH} = -(-3) = 3$.
4
Vậy dung dịch có pH $= 3$ — đây là một dung dịch có tính axit.
Vậy dung dịch có pH $= 3$ — đây là một dung dịch có tính axit.

Ví dụ

Tính độ lớn động đất theo thang Richter

1
Một trận động đất có biên độ sóng gấp $1\,000$ lần biên độ chuẩn $A_0$ . Tính độ lớn $M$ theo thang Richter.
Một trận động đất có biên độ sóng gấp $1\,000$ lần biên độ chuẩn $A_0$. Tính độ lớn $M$ theo thang Richter.
2
$M = \log\dfrac{A}{A_0} = \log(1\,000)$ (vì $A = 1\,000\,A_0$ ).
$M = \log\dfrac{A}{A_0} = \log(1\,000)$ (vì $A = 1\,000\,A_0$).
3
$1\,000 = 10^3$ , nên $\log(1\,000) = \log\left(10^3\right) = 3$ .
$1\,000 = 10^3$, nên $\log(1\,000) = \log\left(10^3\right) = 3$.
4
Vậy trận động đất này có độ lớn $M = 3$ theo thang Richter.
Vậy trận động đất này có độ lớn $M = 3$ theo thang Richter.

Ví dụ

Giải ngược: tìm nồng độ H+ khi biết pH (dạng đề kiểm tra)

1
Một dung dịch có độ pH $= 5,5$ . Tính nồng độ ion $H^+$ (theo mol/L, làm tròn đến 2 chữ số có nghĩa).
Một dung dịch có độ pH $= 5,5$. Tính nồng độ ion $H^+$ (theo mol/L, làm tròn đến 2 chữ số có nghĩa).
2
Từ $\text{pH} = -\log\left[H^+\right]$ , suy ra $\log\left[H^+\right] = -\text{pH} = -5,5$ , tức là $\left[H^+\right] = 10^{-5,5}$ .
Từ $\text{pH} = -\log\left[H^+\right]$, suy ra $\log\left[H^+\right] = -\text{pH} = -5,5$, tức là $\left[H^+\right] = 10^{-5,5}$.
3
$10^{-5,5} = 10^{-6}\cdot 10^{0,5} \approx 10^{-6}\cdot 3,1623 = 3,1623\times 10^{-6}$ .
$10^{-5,5} = 10^{-6}\cdot 10^{0,5} \approx 10^{-6}\cdot 3,1623 = 3,1623\times 10^{-6}$.
4
Vậy $\left[H^+\right] \approx 3,16\times 10^{-6}$ mol/L.
Vậy $\left[H^+\right] \approx 3,16\times 10^{-6}$ mol/L.

Ví dụ

So sánh cường độ âm qua chênh lệch decibel

1
Mức cường độ âm tăng từ $L_1=60$ dB lên $L_2=80$ dB. Cường độ âm $I$ tăng bao nhiêu lần?
Mức cường độ âm tăng từ $L_1=60$ dB lên $L_2=80$ dB. Cường độ âm $I$ tăng bao nhiêu lần?
2
$L_2 - L_1 = 10\log\dfrac{I_2}{I_0} - 10\log\dfrac{I_1}{I_0} = 10\log\dfrac{I_2}{I_1}$ (áp dụng quy tắc thương của logarit). Vậy $20 = 10\log\dfrac{I_2}{I_1}$ .
$L_2 - L_1 = 10\log\dfrac{I_2}{I_0} - 10\log\dfrac{I_1}{I_0} = 10\log\dfrac{I_2}{I_1}$ (áp dụng quy tắc thương của logarit). Vậy $20 = 10\log\dfrac{I_2}{I_1}$.
3
$\log\dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{20}{10}=2$ , suy ra $\dfrac{I_2}{I_1} = 10^2 = 100$ .
$\log\dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{20}{10}=2$, suy ra $\dfrac{I_2}{I_1} = 10^2 = 100$.
4
Vậy cường độ âm tăng gấp $100$ lần khi mức decibel tăng thêm $20$ dB.
Vậy cường độ âm tăng gấp $100$ lần khi mức decibel tăng thêm $20$ dB.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên rằng thang pH, Richter và decibel đều là thang logarit nên chênh lệch cộng trên thang đo tương ứng với tỉ lệ nhân trên đại lượng thực (nồng độ, biên độ, cường độ) — không được hiểu chênh lệch $2$ đơn vị Richter là "gấp đôi" mà phải là gấp $10^2=100$ lần. Một sai lầm khác: quên dấu trừ trong công thức pH, dẫn đến kết luận ngược — dung dịch axit mạnh (nồng độ $H^+$ lớn) phải có pH nhỏ, không phải pH lớn.

Nhìn lại cả ba công thức, em có thể tự đặt câu hỏi ngược: nếu độ lớn Richter tăng $0,5$ đơn vị thì biên độ sóng tăng bao nhiêu lần? Áp dụng đúng cách làm ở ví dụ vừa rồi: $0,5 = \log(A_2/A_1) \Rightarrow A_2/A_1 = 10^{0,5} \approx 3,16$ lần — mỗi nửa đơn vị Richter đã tương ứng hơn ba lần biên độ thực tế. Luyện thói quen tự đặt câu hỏi tương tự với số liệu khác là cách tốt để nắm chắc bản chất thang logarit, thay vì chỉ nhớ máy móc ba công thức.

Ba thang đo trong bài này không phải danh sách đầy đủ — logarit còn xuất hiện trong thang đo độ sáng sao (cấp sao biểu kiến trong thiên văn học) và thang đo tốc độ truyền dữ liệu trong viễn thông. Điểm chung xuyên suốt vẫn là một quy tắc: bất cứ khi nào một đại lượng trải dài qua nhiều bậc lũy thừa của $10$ , logarit là công cụ tự nhiên để đưa nó về một thang đo dễ đọc, dễ so sánh.

Ba thang đo trong bài này không phải danh sách đầy đủ — logarit còn xuất hiện trong thang đo độ sáng sao (cấp sao biểu kiến trong thiên văn học) và thang đo tốc độ truyền dữ liệu trong viễn thông. Điểm chung xuyên suốt vẫn là một quy tắc: bất cứ khi nào một đại lượng trải dài qua nhiều bậc lũy thừa của $10$, logarit là công cụ tự nhiên để đưa nó về một thang đo dễ đọc, dễ so sánh.

Tóm tắt

pH, độ Richter và decibel đều là các thang đo logarit thập phân: mỗi công thức chỉ khác nhau ở hệ số nhân và dấu, nhưng bản chất đều biến một dải giá trị trải qua nhiều bậc lũy thừa của $10$ thành một dải số gọn, dễ so sánh. Muốn giải ngược (tìm đại lượng gốc từ số đo trên thang logarit), ta dùng lại định nghĩa $\log_a b = \alpha \iff a^{\alpha}=b$ .

Chương tiếp theo dùng logarit cùng lũy thừa để xây dựng và khảo sát hai hàm số quan trọng: hàm số mũ và hàm số logarit.