Bài học

Bất phương trình mũ cơ bản

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em giải được bất phương trình mũ cơ bản, xác định đúng khi nào giữ chiều và khi nào đổi chiều bất đẳng thức dựa vào cơ số, và giải được bất phương trình mũ dạng bậc hai bằng đặt ẩn phụ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dùng lại tính đơn điệu của hàm số mũ (Chương 3) và kỹ thuật đưa về cùng cơ số / đặt ẩn phụ (bài trước) — chỉ khác ở chỗ dấu "=" nay là dấu bất đẳng thức.

Câu hỏi mở đầu

Với phương trình $a^x=a^m$ , ta có ngay $x=m$ vì hàm số mũ đơn điệu. Nhưng với bất phương trình $a^x>a^m$ , kết luận có còn là " $x>m$ " hay không? Câu trả lời phụ thuộc vào việc hàm số $y=a^x$ đồng biến hay nghịch biến — tức là phụ thuộc cơ số $a$ .

Với phương trình $a^x=a^m$, ta có ngay $x=m$ vì hàm số mũ đơn điệu. Nhưng với bất phương trình $a^x>a^m$, kết luận có còn là "$x>m$" hay không? Câu trả lời phụ thuộc vào việc hàm số $y=a^x$ đồng biến hay nghịch biến — tức là phụ thuộc cơ số $a$.

Về bản chất, mọi bất phương trình $f(x)>f(m)$ với $f$ đơn điệu đều tuân theo cùng một logic: nếu $f$ đồng biến, thứ tự của $f(x)$ và $f(m)$ trùng khớp với thứ tự của $x$ và $m$ ; nếu $f$ nghịch biến, hai thứ tự ngược nhau. Bất phương trình mũ chỉ là một trường hợp cụ thể của quy luật tổng quát này, với $f(x)=a^x$ .

Về bản chất, mọi bất phương trình $f(x)>f(m)$ với $f$ đơn điệu đều tuân theo cùng một logic: nếu $f$ đồng biến, thứ tự của $f(x)$ và $f(m)$ trùng khớp với thứ tự của $x$ và $m$; nếu $f$ nghịch biến, hai thứ tự ngược nhau. Bất phương trình mũ chỉ là một trường hợp cụ thể của quy luật tổng quát này, với $f(x)=a^x$.

Quy tắc giữ chiều và đổi chiều

Vì $y=a^x$ đồng biến khi $a>1$ và nghịch biến khi $0<a<1$ (Chương 3), bất phương trình mũ cơ bản $a^x>a^m$ có hai trường hợp:

— Nếu $a>1$ : hàm số đồng biến nên bất đẳng thức GIỮ chiều: $a^x>a^m \iff x>m$ .

— Nếu $0<a<1$ : hàm số nghịch biến nên bất đẳng thức ĐỔI chiều: $a^x>a^m \iff x<m$ .

Quy tắc này áp dụng tương tự cho các dấu $<, \geq, \leq$ . Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất so với phương trình mũ ở bài trước — luôn phải xác định cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn $1$ trước khi kết luận chiều bất đẳng thức.

Vì $y=a^x$ đồng biến khi $a>1$ và nghịch biến khi $0<a<1$ (Chương 3), bất phương trình mũ cơ bản $a^x>a^m$ có hai trường hợp: — Nếu $a>1$: hàm số đồng biến nên bất đẳng thức GIỮ chiều: $a^x>a^m \iff x>m$. — Nếu $0<a<1$: hàm số nghịch biến nên bất đẳng thức ĐỔI chiều: $a^x>a^m \iff x<m$. Quy tắc này áp dụng tương tự cho các dấu $<, \geq, \leq$. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất so với phương trình mũ ở bài trước — luôn phải xác định cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn $1$ trước khi kết luận chiều bất đẳng thức.

Một cách nhớ trực quan: hình dung đồ thị $y=a^x$ đã học ở Chương 3. Nếu $a>1$ , đồ thị đi lên từ trái sang phải, nên "giá trị lớn hơn" ( $a^x$ lớn hơn $a^m$ ) ứng với "nằm bên phải hơn" trên trục hoành, tức $x>m$ — chiều bất đẳng thức được giữ nguyên khi chuyển từ so sánh giá trị hàm số sang so sánh biến số. Nếu $0<a<1$ , đồ thị đi xuống, nên giá trị lớn hơn lại ứng với vị trí bên trái hơn, tức $x<m$ — chiều bị đảo. Nhớ hình ảnh đồ thị đi lên hay đi xuống là cách chắc chắn nhất để không nhầm chiều, thay vì học thuộc lòng quy tắc mà không hiểu vì sao.

Một cách nhớ trực quan: hình dung đồ thị $y=a^x$ đã học ở Chương 3. Nếu $a>1$, đồ thị đi lên từ trái sang phải, nên "giá trị lớn hơn" ($a^x$ lớn hơn $a^m$) ứng với "nằm bên phải hơn" trên trục hoành, tức $x>m$ — chiều bất đẳng thức được giữ nguyên khi chuyển từ so sánh giá trị hàm số sang so sánh biến số. Nếu $0<a<1$, đồ thị đi xuống, nên giá trị lớn hơn lại ứng với vị trí bên trái hơn, tức $x<m$ — chiều bị đảo. Nhớ hình ảnh đồ thị đi lên hay đi xuống là cách chắc chắn nhất để không nhầm chiều, thay vì học thuộc lòng quy tắc mà không hiểu vì sao.

Ví dụ

Giải bất phương trình mũ với cơ số nhỏ hơn 1 (chiều đổi)

1
Giải bất phương trình $(1/2)^x > 4$ .
Giải bất phương trình $(1/2)^x > 4$.
2
Vì $4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$ , bất phương trình trở thành $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$ .
Vì $4 = 2^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$, bất phương trình trở thành $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$.
3
Cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên hàm số nghịch biến — bất đẳng thức đổi chiều: $x < -2$ .
Cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên hàm số nghịch biến — bất đẳng thức đổi chiều: $x < -2$.
4
Vậy tập nghiệm là $x\in(-\infty;-2)$ .
Vậy tập nghiệm là $x\in(-\infty;-2)$.

Tập nghiệm x∈(-∞;-2) nằm hoàn toàn bên trái mốc -2 trên trục số — mốc -2 không thuộc tập nghiệm vì bất đẳng thức là nghiêm ngặt.

Ví dụ

Giải bất phương trình mũ với cơ số lớn hơn 1 (chiều giữ nguyên)

1
Giải bất phương trình $3^x \leq 27$ .
Giải bất phương trình $3^x \leq 27$.
2
Vì $27=3^3$ , bất phương trình trở thành $3^x \leq 3^3$ .
Vì $27=3^3$, bất phương trình trở thành $3^x \leq 3^3$.
3
Cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến — bất đẳng thức giữ nguyên chiều: $x\leq 3$ .
Cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến — bất đẳng thức giữ nguyên chiều: $x\leq 3$.
4
Vậy tập nghiệm là $x\in(-\infty;3]$ .
Vậy tập nghiệm là $x\in(-\infty;3]$.

Ví dụ

Giải bất phương trình mũ dạng bậc hai bằng đặt ẩn phụ (dạng đề kiểm tra)

1
Giải bất phương trình $2^{2x} - 3\cdot 2^x + 2 < 0$ .
Giải bất phương trình $2^{2x} - 3\cdot 2^x + 2 < 0$.
2
Vì $2^{2x} = \left(2^x\right)^2$ , đặt $t=2^x$ với điều kiện $t>0$ . Bất phương trình trở thành $t^2 - 3t + 2 < 0$ .
Vì $2^{2x} = \left(2^x\right)^2$, đặt $t=2^x$ với điều kiện $t>0$. Bất phương trình trở thành $t^2 - 3t + 2 < 0$.
3
$t^2-3t+2=0$ có hai nghiệm $t=1$ và $t=2$ ; vì hệ số bậc hai dương, $t^2-3t+2<0 \iff 1<t<2$ .
$t^2-3t+2=0$ có hai nghiệm $t=1$ và $t=2$; vì hệ số bậc hai dương, $t^2-3t+2<0 \iff 1<t<2$.
4
Khoảng $1<t<2$ đã nằm trong miền $t>0$ , nên toàn bộ nghiệm này hợp lệ.
Khoảng $1<t<2$ đã nằm trong miền $t>0$, nên toàn bộ nghiệm này hợp lệ.
5
$1<2^x<2 \iff 2^0 < 2^x < 2^1$ . Vì cơ số $2>1$ , bất đẳng thức giữ chiều: $0<x<1$ .
$1<2^x<2 \iff 2^0 < 2^x < 2^1$. Vì cơ số $2>1$, bất đẳng thức giữ chiều: $0<x<1$.
6
Vậy tập nghiệm là $x\in(0;1)$ .
Vậy tập nghiệm là $x\in(0;1)$.

So sánh cách giải bất phương trình dạng bậc hai này với phương trình cùng dạng ở bài trước: cấu trúc hoàn toàn giống nhau ở bốn bước đầu (đặt ẩn phụ, giải theo $t$ , đối chiếu $t>0$ ), chỉ khác ở bước cuối — thay vì " $t=$ một số cụ thể $\Rightarrow x=$ một số cụ thể", ta có " $t$ nằm trong một khoảng $\Rightarrow x$ nằm trong một khoảng tương ứng", và bước chuyển từ khoảng của $t$ sang khoảng của $x$ vẫn phải áp dụng đúng quy tắc giữ/đổi chiều theo cơ số vừa học ở đầu bài.

So sánh cách giải bất phương trình dạng bậc hai này với phương trình cùng dạng ở bài trước: cấu trúc hoàn toàn giống nhau ở bốn bước đầu (đặt ẩn phụ, giải theo $t$, đối chiếu $t>0$), chỉ khác ở bước cuối — thay vì "$t=$ một số cụ thể $\Rightarrow x=$ một số cụ thể", ta có "$t$ nằm trong một khoảng $\Rightarrow x$ nằm trong một khoảng tương ứng", và bước chuyển từ khoảng của $t$ sang khoảng của $x$ vẫn phải áp dụng đúng quy tắc giữ/đổi chiều theo cơ số vừa học ở đầu bài.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: giữ nguyên chiều bất đẳng thức khi cơ số nhỏ hơn $1$ , hoặc đổi chiều khi cơ số lớn hơn $1$ . Trước khi kết luận, luôn tự hỏi: hàm số $y=a^x$ ở đây đồng biến hay nghịch biến? Câu trả lời quyết định chiều của bất đẳng thức cuối cùng. Một sai lầm khác trong bài toán đặt ẩn phụ: quên kết hợp điều kiện $t>0$ với khoảng nghiệm tìm được của bất phương trình bậc hai theo $t$ , dẫn đến nhận thừa một phần nghiệm không hợp lệ.

Sai lầm thường gặp: giữ nguyên chiều bất đẳng thức khi cơ số nhỏ hơn $1$, hoặc đổi chiều khi cơ số lớn hơn $1$. Trước khi kết luận, luôn tự hỏi: hàm số $y=a^x$ ở đây đồng biến hay nghịch biến? Câu trả lời quyết định chiều của bất đẳng thức cuối cùng. Một sai lầm khác trong bài toán đặt ẩn phụ: quên kết hợp điều kiện $t>0$ với khoảng nghiệm tìm được của bất phương trình bậc hai theo $t$, dẫn đến nhận thừa một phần nghiệm không hợp lệ.

Một tình huống thực tế dùng đúng bất phương trình mũ: một mẫu vi khuẩn giảm dần theo mô hình $N(t) = N_0\cdot(0,8)^t$ (mỗi giờ còn lại $80\%$ số lượng cũ, do tác động của một loại thuốc). Hỏi sau bao lâu số lượng còn dưới $10\%$ ban đầu? Ta cần giải $(0,8)^t < 0,1$ — đúng dạng bất phương trình mũ cơ bản với cơ số $0<0,8<1$ , nên chiều đổi khi đưa về so sánh số mũ; phần tính toán cụ thể (cần dùng logarit vì $0,1$ không viết gọn được thành lũy thừa nguyên của $0,8$ ) sẽ được hoàn thiện ở Chương 5, nhưng việc nhận ra đây là một bất phương trình mũ, và cơ số nhỏ hơn $1$ nên chiều so sánh sẽ đổi, là kỹ năng em đã có ngay từ bài này.

Một tình huống thực tế dùng đúng bất phương trình mũ: một mẫu vi khuẩn giảm dần theo mô hình $N(t) = N_0\cdot(0,8)^t$ (mỗi giờ còn lại $80\%$ số lượng cũ, do tác động của một loại thuốc). Hỏi sau bao lâu số lượng còn dưới $10\%$ ban đầu? Ta cần giải $(0,8)^t < 0,1$ — đúng dạng bất phương trình mũ cơ bản với cơ số $0<0,8<1$, nên chiều đổi khi đưa về so sánh số mũ; phần tính toán cụ thể (cần dùng logarit vì $0,1$ không viết gọn được thành lũy thừa nguyên của $0,8$) sẽ được hoàn thiện ở Chương 5, nhưng việc nhận ra đây là một bất phương trình mũ, và cơ số nhỏ hơn $1$ nên chiều so sánh sẽ đổi, là kỹ năng em đã có ngay từ bài này.

Tóm tắt

Bất phương trình mũ cơ bản $a^x \gtrless a^m$ giải bằng cách đưa về cùng cơ số rồi áp dụng đúng chiều biến thiên của $y=a^x$ : giữ chiều nếu $a>1$ , đổi chiều nếu $0<a<1$ . Dạng bậc hai vẫn giải bằng đặt ẩn phụ $t=a^x>0$ như phương trình, chỉ khác ở bước cuối cần chuyển bất phương trình theo $t$ về bất phương trình theo $x$ đúng chiều. Kỹ năng xác định chiều bất đẳng thức theo cơ số ở bài này sẽ được dùng lại nguyên vẹn, không cần học lại, khi em học bất phương trình logarit ở Chương 5.

Bất phương trình mũ cơ bản $a^x \gtrless a^m$ giải bằng cách đưa về cùng cơ số rồi áp dụng đúng chiều biến thiên của $y=a^x$: giữ chiều nếu $a>1$, đổi chiều nếu $0<a<1$. Dạng bậc hai vẫn giải bằng đặt ẩn phụ $t=a^x>0$ như phương trình, chỉ khác ở bước cuối cần chuyển bất phương trình theo $t$ về bất phương trình theo $x$ đúng chiều. Kỹ năng xác định chiều bất đẳng thức theo cơ số ở bài này sẽ được dùng lại nguyên vẹn, không cần học lại, khi em học bất phương trình logarit ở Chương 5.

Hai chương tiếp theo lặp lại đúng cấu trúc này cho phương trình và bất phương trình logarit — nơi ĐKXĐ đóng vai trò quan trọng hơn cả chiều bất đẳng thức. Việc luyện thành thạo quy tắc giữ/đổi chiều ở bài mũ này sẽ giúp em áp dụng ngay không cần học lại, vì bất phương trình logarit dùng đúng cùng một nguyên tắc đơn điệu, chỉ thay hàm số mũ bằng hàm số logarit.