Hàm số mũ y=a^x

Sau bài học này, em nêu được tập xác định, tập giá trị của hàm số mũ $y=a^x$, xác định được hàm số đồng biến hay nghịch biến dựa vào cơ số $a$, và đọc được đồ thị của hàm số mũ.

Một mẫu vi khuẩn ban đầu có $500$ con, cứ mỗi giờ số lượng lại tăng gấp đôi. Số vi khuẩn sau $t$ giờ là bao nhiêu? Biểu thức $N(t)=500\cdot 2^t$ không còn là một lũy thừa với số mũ cố định nữa — nó là một hàm số, biến thiên theo thời gian $t$. Đó chính là hàm số mũ.

Hàm số mũ cơ số $a$ là hàm số $y=a^x$ với $a>0$, $a\neq 1$, xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$ (vì lũy thừa số mũ thực $a^x$ có nghĩa với mọi $x$ thực khi $a>0$ — Chương 1). Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Vì $a^x>0$ với mọi $x$ (lũy thừa của một số dương luôn dương), tập giá trị là $(0;+\infty)$ — hàm số mũ không bao giờ nhận giá trị $0$ hay âm, dù $x$ có thể âm rất lớn.

Đồ thị hàm số mũ luôn đi qua điểm $(0;1)$ (vì $a^0=1$ với mọi $a$) và điểm $(1;a)$ (vì $a^1=a$), nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, và có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$ (trục hoành): khi $x\to -\infty$, giá trị $a^x$ tiến về $0$ nhưng không bao giờ chạm trục hoành.

Vì sao đồ thị không bao giờ chạm trục hoành? Vì $a^x$ chỉ có thể tiến đến $0$ khi $x$ càng ngày càng âm, nhưng với bất kỳ $x$ hữu hạn nào, $a^x$ vẫn là một lũy thừa của một số dương, nên vẫn dương. Đây chính là lý do hàm số mũ không bao giờ dùng để mô hình hóa một đại lượng có thể triệt tiêu hoàn toàn về $0$ trong thời gian hữu hạn — một mẫu vi khuẩn theo mô hình mũ suy giảm không bao giờ "về đúng $0$ con" theo công thức, dù về mặt thực tế số lượng phải nguyên và sẽ chạm $0$ ở một thời điểm nào đó; mô hình toán học chỉ là một xấp xỉ tốt khi số lượng còn đủ lớn.

Áp dụng trực tiếp kết quả so sánh lũy thừa ở Chương 1: nếu $a>1$, hàm số $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ (đồ thị đi lên khi $x$ tăng); nếu $0<a<1$, hàm số $y=a^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (đồ thị đi xuống khi $x$ tăng). Cơ số càng lớn hơn $1$, đồ thị dốc lên càng nhanh về phía $x$ dương; cơ số càng gần $0$ (nhưng vẫn dương, dưới $1$), đồ thị dốc xuống càng nhanh.

Một nhận xét thực tế: mọi mô hình tăng trưởng em gặp ở bài trước (lãi kép, dân số, vi khuẩn) đều là hàm số mũ với cơ số $a=1+r>1$ (vì lãi suất, tốc độ tăng trưởng luôn dương). Trường hợp $0<a<1$ tương ứng với mô hình suy giảm, ví dụ phân rã phóng xạ hoặc khấu hao giá trị tài sản theo thời gian — cùng một công thức $y=a^x$, chỉ khác dấu của tốc độ thay đổi ẩn trong cơ số. Ví dụ, nếu một chiếc xe mất $15\%$ giá trị mỗi năm, giá trị còn lại sau $t$ năm là $V(t)=V_0(1-0,15)^t = V_0(0,85)^t$ — một hàm số mũ với cơ số $0,85$, nằm giữa $0$ và $1$, nên nghịch biến: giá trị xe giảm dần khi $t$ tăng, đúng như trực giác của khấu hao.

Hàm số mũ $y=a^x$ ($a>0$, $a\neq 1$) xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$, luôn dương, đi qua $(0;1)$, và đơn điệu trên $\mathbb{R}$ theo chiều phụ thuộc cơ số: đồng biến nếu $a>1$, nghịch biến nếu $0<a<1$. Đây là mô hình chuẩn cho mọi bài toán tăng trưởng hoặc suy giảm theo tỉ lệ cố định.

Bài tiếp theo giới thiệu hàm số logarit — hàm số ngược của hàm số mũ — và mối quan hệ hình học đặc biệt giữa đồ thị của hai hàm số này. Nắm chắc tính đơn điệu của hàm số mũ ở bài này là điều kiện bắt buộc để hiểu đúng bài đó, vì hàm số ngược chỉ tồn tại theo đúng nghĩa khi hàm số gốc đơn điệu trên toàn miền xác định — đây chính là vai trò của tính chất "đồng biến hoặc nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$" mà em vừa học.