Bài học

Định nghĩa lũy thừa với số mũ thực và các phép tính

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em phát biểu được định nghĩa lũy thừa với số mũ thực $a^{\alpha}$ ( $a>0$ , $\alpha \in \mathbb{R}$ ), áp dụng đúng các quy tắc tính lũy thừa, và so sánh được hai lũy thừa cùng cơ số dựa vào tính đơn điệu theo số mũ.

Sau bài học này, em phát biểu được định nghĩa lũy thừa với số mũ thực $a^{\alpha}$ ($a>0$, $\alpha \in \mathbb{R}$), áp dụng đúng các quy tắc tính lũy thừa, và so sánh được hai lũy thừa cùng cơ số dựa vào tính đơn điệu theo số mũ.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dựa trên lũy thừa với số mũ nguyên và số mũ hữu tỉ đã học ở lớp dưới: $a^n$ với $n$ nguyên dương, quy ước $a^0=1$ ( $a\neq 0$ ), $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ( $a\neq 0$ ), và căn bậc $n$ : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ với $a>0$ . Đây là kiến thức đã học được ôn lại (same-grade bridge) trước khi mở rộng sang số mũ thực bất kỳ.

Bài học dựa trên lũy thừa với số mũ nguyên và số mũ hữu tỉ đã học ở lớp dưới: $a^n$ với $n$ nguyên dương, quy ước $a^0=1$ ($a\neq 0$), $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ($a\neq 0$), và căn bậc $n$: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ với $a>0$. Đây là kiến thức đã học được ôn lại (same-grade bridge) trước khi mở rộng sang số mũ thực bất kỳ.

Câu hỏi mở đầu

Biểu thức $2^{\sqrt{2}}$ có nghĩa hay không? Số mũ $\sqrt{2}$ không phải số nguyên, cũng không phải phân số — nó là một số vô tỉ. Muốn hiểu $2^{\sqrt{2}}$ , ta cần một định nghĩa lũy thừa rộng hơn, áp dụng được cho mọi số mũ thực chứ không chỉ số mũ nguyên hay hữu tỉ.

Biểu thức $2^{\sqrt{2}}$ có nghĩa hay không? Số mũ $\sqrt{2}$ không phải số nguyên, cũng không phải phân số — nó là một số vô tỉ. Muốn hiểu $2^{\sqrt{2}}$, ta cần một định nghĩa lũy thừa rộng hơn, áp dụng được cho mọi số mũ thực chứ không chỉ số mũ nguyên hay hữu tỉ.

Từ số mũ hữu tỉ đến số mũ thực

Với số mũ hữu tỉ, lũy thừa $a^{\frac{m}{n}}$ ( $a>0$ , $m,n$ nguyên, $n>0$ ) được định nghĩa bằng căn bậc $n$ . Khi số mũ $\alpha$ là một số vô tỉ như $\sqrt{2}$ hay $\pi$ , ta không thể viết nó dưới dạng phân số, nên không áp dụng trực tiếp công thức căn được. Chương trình dùng một ý tưởng đơn giản: mọi số vô tỉ đều xấp xỉ được bằng một dãy số hữu tỉ ngày càng chính xác. Chẳng hạn $\sqrt{2} = 1,41421356\ldots$ , nên ta có dãy hữu tỉ $1;\ 1,4;\ 1,41;\ 1,414;\ 1,4142; \ldots$ tiến dần đến $\sqrt{2}$ . Khi đó $2^{\sqrt{2}}$ được định nghĩa là giá trị mà dãy $2^{1}, 2^{1,4}, 2^{1,41}, 2^{1,414}, \ldots$ tiến dần tới. Sách giáo khoa không yêu cầu chứng minh chặt chẽ sự tồn tại của giới hạn này — em chỉ cần nắm bản chất: số mũ thực làm cho đồ thị hàm lũy thừa liền mạch, không còn lỗ hổng tại các điểm vô tỉ.

Với số mũ hữu tỉ, lũy thừa $a^{\frac{m}{n}}$ ($a>0$, $m,n$ nguyên, $n>0$) được định nghĩa bằng căn bậc $n$. Khi số mũ $\alpha$ là một số vô tỉ như $\sqrt{2}$ hay $\pi$, ta không thể viết nó dưới dạng phân số, nên không áp dụng trực tiếp công thức căn được. Chương trình dùng một ý tưởng đơn giản: mọi số vô tỉ đều xấp xỉ được bằng một dãy số hữu tỉ ngày càng chính xác. Chẳng hạn $\sqrt{2} = 1,41421356\ldots$, nên ta có dãy hữu tỉ $1;\ 1,4;\ 1,41;\ 1,414;\ 1,4142; \ldots$ tiến dần đến $\sqrt{2}$. Khi đó $2^{\sqrt{2}}$ được định nghĩa là giá trị mà dãy $2^{1}, 2^{1,4}, 2^{1,41}, 2^{1,414}, \ldots$ tiến dần tới. Sách giáo khoa không yêu cầu chứng minh chặt chẽ sự tồn tại của giới hạn này — em chỉ cần nắm bản chất: số mũ thực làm cho đồ thị hàm lũy thừa liền mạch, không còn lỗ hổng tại các điểm vô tỉ.

Khi số mũ hữu tỉ tiến dần đến √2, giá trị 2^(số mũ) cũng tiến dần đến 2^√2 — đó là cách định nghĩa lũy thừa với số mũ vô tỉ.

Với định nghĩa này, lũy thừa $a^{\alpha}$ có nghĩa với mọi $a>0$ và mọi $\alpha \in \mathbb{R}$ , không phân biệt $\alpha$ nguyên, hữu tỉ hay vô tỉ. Điều kiện $a>0$ là bắt buộc: nếu $a\leq 0$ thì một số giá trị số mũ (như $\alpha=\frac{1}{2}$ , ứng với căn bậc hai) không xác định, nên khi số mũ là số thực bất kỳ, chương trình chỉ xét cơ số dương.

Với định nghĩa này, lũy thừa $a^{\alpha}$ có nghĩa với mọi $a>0$ và mọi $\alpha \in \mathbb{R}$, không phân biệt $\alpha$ nguyên, hữu tỉ hay vô tỉ. Điều kiện $a>0$ là bắt buộc: nếu $a\leq 0$ thì một số giá trị số mũ (như $\alpha=\frac{1}{2}$, ứng với căn bậc hai) không xác định, nên khi số mũ là số thực bất kỳ, chương trình chỉ xét cơ số dương.

Vì sao chương trình lại cần một định nghĩa "liền mạch" như vậy, thay vì chỉ dùng lũy thừa số mũ nguyên hoặc hữu tỉ là đủ? Lý do nằm ở chỗ em sẽ học ngay ở Chương 3: hàm số $y=a^x$ chỉ thực sự là một hàm số theo đúng nghĩa (nhận mọi giá trị $x$ thực) khi lũy thừa $a^x$ có nghĩa với mọi $x$ . Nếu chỉ định nghĩa được $a^x$ tại các điểm $x$ hữu tỉ, đồ thị của hàm số sẽ có vô số "lỗ hổng" tại các điểm vô tỉ như $\sqrt{2}$ , $\pi$ , $e$ — và một hàm số có lỗ hổng dày đặc như vậy không thể vẽ thành một đường cong liên tục, không đủ để mô hình hóa các quá trình tăng trưởng liên tục trong thực tế (dân số, vi khuẩn, lãi suất) mà bài học sau sẽ khai thác.

Vì sao chương trình lại cần một định nghĩa "liền mạch" như vậy, thay vì chỉ dùng lũy thừa số mũ nguyên hoặc hữu tỉ là đủ? Lý do nằm ở chỗ em sẽ học ngay ở Chương 3: hàm số $y=a^x$ chỉ thực sự là một hàm số theo đúng nghĩa (nhận mọi giá trị $x$ thực) khi lũy thừa $a^x$ có nghĩa với mọi $x$. Nếu chỉ định nghĩa được $a^x$ tại các điểm $x$ hữu tỉ, đồ thị của hàm số sẽ có vô số "lỗ hổng" tại các điểm vô tỉ như $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ — và một hàm số có lỗ hổng dày đặc như vậy không thể vẽ thành một đường cong liên tục, không đủ để mô hình hóa các quá trình tăng trưởng liên tục trong thực tế (dân số, vi khuẩn, lãi suất) mà bài học sau sẽ khai thác.

Các quy tắc tính lũy thừa với số mũ thực

Với $a>0$ , $b>0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ bất kỳ, các quy tắc sau vẫn đúng y như với số mũ nguyên hay hữu tỉ:

$a^{\alpha} \cdot a^{\beta} = a^{\alpha+\beta}, \qquad \frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha-\beta}, \qquad \left(a^{\alpha}\right)^{\beta} = a^{\alpha\beta},$

$(ab)^{\alpha} = a^{\alpha} b^{\alpha}, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha} = \frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}.$

Ngoài ra $a^0=1$ với mọi $a>0$ , và $a^{-\alpha} = \frac{1}{a^{\alpha}}$ . Những quy tắc này là công cụ chính để rút gọn và tính toán lũy thừa — em cần thuộc và vận dụng thành thạo, vì logarit ở bài sau chính là phép toán ngược của lũy thừa và dựa trên đúng các quy tắc này.

Với $a>0$, $b>0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ bất kỳ, các quy tắc sau vẫn đúng y như với số mũ nguyên hay hữu tỉ: $$a^{\alpha} \cdot a^{\beta} = a^{\alpha+\beta}, \qquad \frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} = a^{\alpha-\beta}, \qquad \left(a^{\alpha}\right)^{\beta} = a^{\alpha\beta},$$ $$(ab)^{\alpha} = a^{\alpha} b^{\alpha}, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha} = \frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}}.$$ Ngoài ra $a^0=1$ với mọi $a>0$, và $a^{-\alpha} = \frac{1}{a^{\alpha}}$. Những quy tắc này là công cụ chính để rút gọn và tính toán lũy thừa — em cần thuộc và vận dụng thành thạo, vì logarit ở bài sau chính là phép toán ngược của lũy thừa và dựa trên đúng các quy tắc này.

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

Tính đơn điệu của lũy thừa theo số mũ phụ thuộc vào cơ số $a$ :

— Nếu $a>1$ : $\alpha > \beta \Rightarrow a^{\alpha} > a^{\beta}$ (lũy thừa đồng biến theo số mũ).

— Nếu $0<a<1$ : $\alpha > \beta \Rightarrow a^{\alpha} < a^{\beta}$ (lũy thừa nghịch biến theo số mũ, chiều so sánh đảo ngược).

Quy tắc này cho phép so sánh hai lũy thừa cùng cơ số mà không cần bấm máy tính — chỉ cần so sánh hai số mũ và xác định cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1. Đây cũng chính là nền tảng của tính đơn điệu hàm số mũ mà em sẽ học kỹ ở Chương 3.

Tính đơn điệu của lũy thừa theo số mũ phụ thuộc vào cơ số $a$: — Nếu $a>1$: $\alpha > \beta \Rightarrow a^{\alpha} > a^{\beta}$ (lũy thừa đồng biến theo số mũ). — Nếu $0<a<1$: $\alpha > \beta \Rightarrow a^{\alpha} < a^{\beta}$ (lũy thừa nghịch biến theo số mũ, chiều so sánh đảo ngược). Quy tắc này cho phép so sánh hai lũy thừa cùng cơ số mà không cần bấm máy tính — chỉ cần so sánh hai số mũ và xác định cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1. Đây cũng chính là nền tảng của tính đơn điệu hàm số mũ mà em sẽ học kỹ ở Chương 3.

Ví dụ

Tính giá trị lũy thừa với số mũ hữu tỉ

1
Ta cần tính $8^{\frac{2}{3}}$ . Nhận thấy $8=2^3$ , nên có thể đưa về cùng cơ số $2$ .
Ta cần tính $8^{\frac{2}{3}}$. Nhận thấy $8=2^3$, nên có thể đưa về cùng cơ số $2$.
2
Ta có $8^{\frac{2}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}$ . Áp dụng quy tắc $\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha\beta}$ : $\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{3\cdot\frac{2}{3}} = 2^2$ .
Ta có $8^{\frac{2}{3}} = \left(2^3\right)^{\frac{2}{3}}$. Áp dụng quy tắc $\left(a^{\alpha}\right)^{\beta}=a^{\alpha\beta}$: $\left(2^3\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{3\cdot\frac{2}{3}} = 2^2$.
3
$2^2=4$ . Vậy $8^{\frac{2}{3}}=4$ .
$2^2=4$. Vậy $8^{\frac{2}{3}}=4$.

Ví dụ

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số, số mũ là phân số

1
Tính $2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$ .
Tính $2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$.
2
Ta có $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$ , nên $2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = 2^{1}$ .
Ta có $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$, nên $2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = 2^{1}$.
3
Vậy $2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2$ .
Vậy $2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2$.

Ví dụ

Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa số mũ hữu tỉ (dạng đề kiểm tra)

1
Đề bài: rút gọn $A = \dfrac{a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{2}}}$ . Vì số mũ là phân số, biểu thức chỉ có nghĩa khi cơ số dương, nên ta nêu điều kiện $a>0$ ngay từ đầu.
Đề bài: rút gọn $A = \dfrac{a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{5}{6}}}{a^{\frac{1}{2}}}$. Vì số mũ là phân số, biểu thức chỉ có nghĩa khi cơ số dương, nên ta nêu điều kiện $a>0$ ngay từ đầu.
2
Áp dụng $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$ : tử số bằng $a^{\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}$ . Quy đồng mẫu số 6: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ , nên $\frac{2}{6}+\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$ . Tử số bằng $a^{\frac{7}{6}}$ .
Áp dụng $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$: tử số bằng $a^{\frac{1}{3}+\frac{5}{6}}$. Quy đồng mẫu số 6: $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, nên $\frac{2}{6}+\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$. Tử số bằng $a^{\frac{7}{6}}$.
3
Áp dụng $\dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}$ : $A = a^{\frac{7}{6}-\frac{1}{2}}$ . Quy đồng: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ , nên $\frac{7}{6}-\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ .
Áp dụng $\dfrac{a^{\alpha}}{a^{\beta}}=a^{\alpha-\beta}$: $A = a^{\frac{7}{6}-\frac{1}{2}}$. Quy đồng: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$, nên $\frac{7}{6}-\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
4
Vậy $A = a^{\frac{2}{3}}$ (với $a>0$ ).
Vậy $A = a^{\frac{2}{3}}$ (với $a>0$).

Ví dụ

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số nhờ tính đơn điệu

1
So sánh $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{1,5}$ mà không dùng máy tính.
So sánh $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{1,5}$ mà không dùng máy tính.
2
Cơ số $3>1$ nên lũy thừa đồng biến theo số mũ: số mũ lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn. Ta chỉ cần so sánh hai số mũ $\sqrt{2}$ và $1,5$ .
Cơ số $3>1$ nên lũy thừa đồng biến theo số mũ: số mũ lớn hơn thì lũy thừa lớn hơn. Ta chỉ cần so sánh hai số mũ $\sqrt{2}$ và $1,5$.
3
$\sqrt{2} \approx 1,41421$ và $1,5 = 1,5$ . Vì $1,41421 < 1,5$ nên $\sqrt{2} < 1,5$ .
$\sqrt{2} \approx 1,41421$ và $1,5 = 1,5$. Vì $1,41421 < 1,5$ nên $\sqrt{2} < 1,5$.
4
Do cơ số $3>1$ và $\sqrt{2}<1,5$ , suy ra $3^{\sqrt{2}} < 3^{1,5}$ .
Do cơ số $3>1$ và $\sqrt{2}<1,5$, suy ra $3^{\sqrt{2}} < 3^{1,5}$.

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: quên nêu điều kiện $a>0$ khi cơ số chứa lũy thừa số mũ phân số, hoặc cộng/trừ số mũ mà quên quy đồng mẫu số trước (ví dụ cộng thẳng tử số của $\frac{1}{3}$ và $\frac{5}{6}$ mà không quy đồng). Một sai lầm khác cũng thường gặp: nhầm quy tắc $(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}$ (nhân hai số mũ) với $a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$ (cộng hai số mũ) — hai quy tắc dùng cho hai tình huống khác nhau (lũy thừa của một lũy thừa, và tích của hai lũy thừa cùng cơ số) nên không được áp dụng lẫn lộn. Khi gặp lũy thừa số mũ phân số, luôn quy đồng mẫu số các số mũ trước khi cộng, trừ chúng.

Tóm tắt

Lũy thừa với số mũ thực $a^{\alpha}$ ( $a>0$ ) mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên, hữu tỉ sang mọi số thực, và vẫn tuân theo đúng các quy tắc cộng, trừ, nhân số mũ quen thuộc. Tính đơn điệu phụ thuộc cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1 sẽ được dùng lại nhiều lần khi học hàm số mũ và giải phương trình, bất phương trình mũ ở các bài sau.

Lũy thừa với số mũ thực $a^{\alpha}$ ($a>0$) mở rộng khái niệm lũy thừa từ số mũ nguyên, hữu tỉ sang mọi số thực, và vẫn tuân theo đúng các quy tắc cộng, trừ, nhân số mũ quen thuộc. Tính đơn điệu phụ thuộc cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1 sẽ được dùng lại nhiều lần khi học hàm số mũ và giải phương trình, bất phương trình mũ ở các bài sau.

Bài tiếp theo dùng ngay lũy thừa số mũ thực để mô tả các bài toán tăng trưởng có thời gian không nguyên, như lãi kép hay tăng trưởng dân số.