Phương trình mũ cơ bản

Sau bài học này, em giải được phương trình mũ cơ bản bằng cách đưa về cùng cơ số, và giải được phương trình mũ dạng bậc hai bằng phương pháp đặt ẩn phụ $t=a^x$.

Giải phương trình $2^{x-1}=8$ có khó không? Về bản chất, ta chỉ cần viết $8$ dưới dạng lũy thừa cơ số $2$, rồi so sánh hai số mũ. Nhưng nếu phương trình phức tạp hơn, ví dụ chứa cả $4^x$ lẫn $2^x$, ta cần thêm một kỹ thuật: đặt ẩn phụ.

Điều đầu tiên cần khẳng định: phương trình mũ luôn liên quan trực tiếp đến hàm số mũ $y=a^x$ đã học ở Chương 3. Giải một phương trình như $2^{x-1}=8$ về bản chất là tìm hoành độ $x$ của điểm trên đồ thị $y=2^x$ có tung độ bằng $8$ — một cách nhìn hình học song song với cách nhìn đại số dưới đây.

Vì hàm số $y=a^x$ ($a>0$, $a\neq 1$) đơn điệu trên $\mathbb{R}$ (Chương 3), nó nhận mỗi giá trị đúng một lần, nên: $$a^{x} = a^{m} \iff x = m.$$ Muốn dùng quy tắc này, ta cần đưa hai vế của phương trình về cùng một cơ số $a$, thường bằng cách viết các số đã cho dưới dạng lũy thừa của một cơ số nguyên tố chung (ví dụ $4=2^2$, $8=2^3$, $9=3^2$, $27=3^3$), rồi dùng quy tắc lũy thừa $(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}$ đã học ở Chương 1 để gộp số mũ.

Khi phương trình chứa nhiều lũy thừa cùng cơ số nhưng số mũ khác nhau theo một tỉ lệ cố định (ví dụ $4^x$ và $2^x$, vì $4^x=(2^x)^2$), ta đặt $t=a^x$ để đưa phương trình mũ về một phương trình đại số quen thuộc (thường là bậc hai) theo $t$. Vì $a^x>0$ với mọi $x$ (Chương 3), điều kiện bắt buộc của ẩn phụ là $t>0$ — mọi nghiệm $t$ tìm được phải đối chiếu với điều kiện này trước khi suy ngược lại $x$, đúng như cách đối chiếu ĐKXĐ ở bài logarit.

Vì sao lại chọn đặt $t=a^x$ mà không phải một cách đặt ẩn khác? Lý do là phép đặt này biến MỌI lũy thừa cùng cơ số $a$ trong phương trình thành một lũy thừa nguyên của $t$: $a^{2x}=(a^x)^2=t^2$, $a^{3x}=t^3$, và tổng quát $a^{kx}=t^k$ với $k$ nguyên. Nhờ đó, một phương trình mũ phức tạp — vốn chứa ẩn $x$ ở vị trí số mũ, nơi các phép toán đại số thông thường (cộng, trừ, nhân chia hai vế) không áp dụng trực tiếp được — được chuyển hóa thành một phương trình đại số quen thuộc theo $t$, nơi em đã biết cách giải từ lớp dưới. Đây chính là chiến lược chung của mọi phép đặt ẩn phụ trong toán học: đưa một bài toán lạ về một bài toán quen.

Đáng chú ý là phương trình $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ ở ví dụ trên, nếu không đặt ẩn phụ mà cố "đưa về cùng cơ số" theo kiểu hai ví dụ đầu, sẽ không thể giải được — vì phương trình có ba số hạng với hai lũy thừa khác số mũ ($4^x$ và $2^x$) cộng với một hằng số, không thể gộp thành một lũy thừa duy nhất. Đây là dấu hiệu nhận biết: khi phương trình mũ có từ hai lũy thừa của cùng cơ số theo tỉ lệ số mũ cố định (như $4^x=(2^x)^2$) cộng thêm hằng số, đặt ẩn phụ luôn là hướng đi đúng, còn khi phương trình chỉ có một lũy thừa duy nhất ở mỗi vế, đưa về cùng cơ số là đủ và nhanh hơn.

Một câu hỏi tự nhiên: vì sao không giải phương trình mũ bằng cách lấy căn hay chia hai vế như phương trình đại số thông thường? Vì ẩn $x$ nằm ở vị trí số mũ — các phép toán số học quen thuộc (cộng, trừ, nhân, chia hai vế cho cùng một số) chỉ tác động lên giá trị của biểu thức, không "gỡ" được $x$ ra khỏi vị trí số mũ. Công cụ duy nhất làm được điều đó là tính đơn điệu (đưa về cùng cơ số) hoặc phép toán ngược của lũy thừa, tức là logarit — công cụ mà em sẽ thấy xuất hiện trở lại ở Chương 5 khi phương trình không thể đưa về cùng cơ số nguyên.

Phương trình mũ cơ bản $a^x=a^m$ giải được nhờ tính đơn điệu (song ánh) của hàm số mũ: $a^x=a^m \iff x=m$. Khi phương trình có dạng bậc hai theo lũy thừa, đặt $t=a^x$ ($t>0$) đưa về phương trình đại số quen thuộc, giải xong phải đối chiếu $t>0$ trước khi suy ra $x$.

Bài tiếp theo dùng đúng tính đơn điệu này để giải bất phương trình mũ — nhưng lần này chiều bất đẳng thức phụ thuộc cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn $1$.