Bài học

Vận dụng lũy thừa trong bài toán tăng trưởng

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em vận dụng được lũy thừa với số mũ thực để tính giá trị của các đại lượng tăng trưởng theo cấp số nhân theo thời gian — như lãi kép hay tăng trưởng dân số — kể cả khi thời gian là một số không nguyên.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài học dựa trên định nghĩa và các quy tắc lũy thừa với số mũ thực ở bài trước, cùng khái niệm phần trăm và cấp số nhân đã học ở các lớp dưới (same-grade bridge).

Câu hỏi mở đầu

Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng, lãi suất 6% một năm, lãi nhập gốc mỗi năm (lãi kép). Sau đúng 1 năm, số tiền là $100 \cdot 1,06 = 106$ triệu. Vậy sau 5 năm, số tiền là bao nhiêu? Và nếu người đó muốn biết số tiền sau 2,5 năm — một khoảng thời gian không nguyên — công thức có còn dùng được không?

Mô hình lãi kép bằng lũy thừa

Gọi $A_0$ là số tiền gốc, $r$ là lãi suất mỗi năm (viết dưới dạng số thập phân, ví dụ $6\%=0,06$ ), và $t$ là số năm gửi. Mỗi năm, số tiền được nhân thêm hệ số $(1+r)$ , nên sau $t$ năm:

$A(t) = A_0 \cdot (1+r)^t.$

Đây chính là lý do bài học này cần lũy thừa với số mũ thực chứ không chỉ số mũ nguyên: nếu ngân hàng tính lãi theo tỉ lệ thời gian thực tế (ví dụ rút tiền sau 3,5 năm), số mũ $t$ có thể không phải số nguyên, và công thức $a^{\alpha}$ với $\alpha$ thực bất kỳ (bài trước) chính là công cụ để tính $A(t)$ trong trường hợp này.

Gọi $A_0$ là số tiền gốc, $r$ là lãi suất mỗi năm (viết dưới dạng số thập phân, ví dụ $6\%=0,06$), và $t$ là số năm gửi. Mỗi năm, số tiền được nhân thêm hệ số $(1+r)$, nên sau $t$ năm: $$A(t) = A_0 \cdot (1+r)^t.$$ Đây chính là lý do bài học này cần lũy thừa với số mũ thực chứ không chỉ số mũ nguyên: nếu ngân hàng tính lãi theo tỉ lệ thời gian thực tế (ví dụ rút tiền sau 3,5 năm), số mũ $t$ có thể không phải số nguyên, và công thức $a^{\alpha}$ với $\alpha$ thực bất kỳ (bài trước) chính là công cụ để tính $A(t)$ trong trường hợp này.

Mô hình tăng trưởng dân số dùng đúng cấu trúc: nếu dân số ban đầu là $N_0$ và tốc độ tăng trưởng trung bình mỗi năm là $r$ , thì dân số sau $t$ năm ước tính là $N(t) = N_0 \cdot (1+r)^t$ — cùng một công thức, chỉ khác tên đại lượng. Cả hai mô hình đều là ứng dụng trực tiếp của lũy thừa số mũ thực vào đời sống, đúng theo tinh thần đánh giá năng lực của chương trình 2018: áp dụng công thức vào tình huống thực tế, không chỉ tính toán trên số trừu tượng.

Mô hình tăng trưởng dân số dùng đúng cấu trúc: nếu dân số ban đầu là $N_0$ và tốc độ tăng trưởng trung bình mỗi năm là $r$, thì dân số sau $t$ năm ước tính là $N(t) = N_0 \cdot (1+r)^t$ — cùng một công thức, chỉ khác tên đại lượng. Cả hai mô hình đều là ứng dụng trực tiếp của lũy thừa số mũ thực vào đời sống, đúng theo tinh thần đánh giá năng lực của chương trình 2018: áp dụng công thức vào tình huống thực tế, không chỉ tính toán trên số trừu tượng.

Một điểm cần lưu ý: ngân hàng trong thực tế thường công bố lãi suất theo năm nhưng tính lãi theo kỳ hạn ngắn hơn (tháng, quý). Khi đó công thức vẫn giữ nguyên cấu trúc lũy thừa, chỉ thay đổi cách chia lãi suất và số kỳ: nếu lãi suất năm là $r$ và lãi được nhập gốc $n$ lần mỗi năm, số tiền sau $t$ năm là $A(t) = A_0\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}$ — vẫn là một lũy thừa với số mũ $nt$ , có thể không nguyên nếu $t$ không nguyên. Bài học này chỉ xét trường hợp đơn giản nhất, $n=1$ (nhập gốc một lần mỗi năm), để tập trung vào ý chính: lũy thừa số mũ thực là công cụ tính chính xác dù thời gian $t$ có là số nguyên hay không.

Một điểm cần lưu ý: ngân hàng trong thực tế thường công bố lãi suất theo năm nhưng tính lãi theo kỳ hạn ngắn hơn (tháng, quý). Khi đó công thức vẫn giữ nguyên cấu trúc lũy thừa, chỉ thay đổi cách chia lãi suất và số kỳ: nếu lãi suất năm là $r$ và lãi được nhập gốc $n$ lần mỗi năm, số tiền sau $t$ năm là $A(t) = A_0\left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}$ — vẫn là một lũy thừa với số mũ $nt$, có thể không nguyên nếu $t$ không nguyên. Bài học này chỉ xét trường hợp đơn giản nhất, $n=1$ (nhập gốc một lần mỗi năm), để tập trung vào ý chính: lũy thừa số mũ thực là công cụ tính chính xác dù thời gian $t$ có là số nguyên hay không.

Ví dụ

Tính số tiền sau một số năm nguyên (lãi kép cơ bản)

1
Gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$ một năm, lãi kép hàng năm. Tính số tiền cả gốc lẫn lãi sau $5$ năm.
Gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng, lãi suất $6\%$ một năm, lãi kép hàng năm. Tính số tiền cả gốc lẫn lãi sau $5$ năm.
2
$A(t) = A_0(1+r)^t$ với $A_0=100$ , $r=0,06$ , $t=5$ : $A(5) = 100 \cdot (1,06)^5$ .
$A(t) = A_0(1+r)^t$ với $A_0=100$, $r=0,06$, $t=5$: $A(5) = 100 \cdot (1,06)^5$.
3
$(1,06)^5 \approx 1,3382$ (tính bằng máy tính hoặc khai triển từng bước), nên $A(5) \approx 100 \cdot 1,3382 = 133,82$ triệu đồng.
$(1,06)^5 \approx 1,3382$ (tính bằng máy tính hoặc khai triển từng bước), nên $A(5) \approx 100 \cdot 1,3382 = 133,82$ triệu đồng.
4
Vậy sau 5 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi khoảng $133,82$ triệu đồng.
Vậy sau 5 năm, số tiền cả gốc lẫn lãi khoảng $133,82$ triệu đồng.

Với cùng lãi suất 6%/năm, lãi kép (đường cong) vượt lãi đơn (đường thẳng) ngày càng xa khi thời gian tăng — đó là bản chất tăng trưởng theo lũy thừa.

Ví dụ

So sánh lãi đơn và lãi kép sau nhiều năm

1
Với cùng vốn gốc $100$ triệu, lãi suất $6\%$ /năm, so sánh số tiền theo lãi đơn $A_{\text{đơn}}(t)=100(1+0,06t)$ và lãi kép $A_{\text{kép}}(t)=100\cdot 1,06^t$ tại $t=10$ .
Với cùng vốn gốc $100$ triệu, lãi suất $6\%$/năm, so sánh số tiền theo lãi đơn $A_{\text{đơn}}(t)=100(1+0,06t)$ và lãi kép $A_{\text{kép}}(t)=100\cdot 1,06^t$ tại $t=10$.
2
$A_{\text{đơn}}(10) = 100\cdot(1+0,06\cdot 10) = 100\cdot 1,6 = 160$ triệu đồng.
$A_{\text{đơn}}(10) = 100\cdot(1+0,06\cdot 10) = 100\cdot 1,6 = 160$ triệu đồng.
3
$A_{\text{kép}}(10) = 100\cdot(1,06)^{10} \approx 100\cdot 1,7908 = 179,08$ triệu đồng.
$A_{\text{kép}}(10) = 100\cdot(1,06)^{10} \approx 100\cdot 1,7908 = 179,08$ triệu đồng.
4
$179,08 > 160$ , nghĩa là lãi kép sinh lời nhiều hơn lãi đơn khoảng $19,08$ triệu đồng sau 10 năm, dù công thức chỉ khác nhau ở việc lãi có được tính trên lãi cũ hay không.
$179,08 > 160$, nghĩa là lãi kép sinh lời nhiều hơn lãi đơn khoảng $19,08$ triệu đồng sau 10 năm, dù công thức chỉ khác nhau ở việc lãi có được tính trên lãi cũ hay không.
5
Vậy sau 10 năm, số tiền theo lãi kép ( $179,08$ triệu) lớn hơn số tiền theo lãi đơn ( $160$ triệu). Chênh lệch này càng lớn khi $t$ càng lớn, đúng như đồ thị phía trên cho thấy — khoảng cách giữa đường cong và đường thẳng nới rộng dần chứ không cố định.
Vậy sau 10 năm, số tiền theo lãi kép ($179,08$ triệu) lớn hơn số tiền theo lãi đơn ($160$ triệu). Chênh lệch này càng lớn khi $t$ càng lớn, đúng như đồ thị phía trên cho thấy — khoảng cách giữa đường cong và đường thẳng nới rộng dần chứ không cố định.

Đây cũng là lý do trong thực tế, các sản phẩm tiết kiệm ngân hàng ở Việt Nam hầu hết đều tính lãi kép chứ không phải lãi đơn, và người gửi tiền càng để lâu thì phần chênh lệch có lợi từ lãi kép càng đáng kể so với việc chỉ nhận lãi trên vốn gốc ban đầu. Ngược lại, khi vay nợ theo lãi kép, số tiền phải trả cũng tăng theo đúng quy luật lũy thừa này — càng trả chậm, phần lãi phát sinh thêm trên lãi cũ càng lớn, nên hiểu đúng bản chất lãi kép có ý nghĩa thực tế cho cả người gửi tiết kiệm lẫn người đi vay.

Ví dụ

Ước tính dân số với số mũ thực không nguyên

1
Một thị trấn hiện có $20\,000$ người, tốc độ tăng trưởng trung bình $1,5\%$ một năm. Ước tính dân số sau $3,5$ năm nếu duy trì tốc độ này.
Một thị trấn hiện có $20\,000$ người, tốc độ tăng trưởng trung bình $1,5\%$ một năm. Ước tính dân số sau $3,5$ năm nếu duy trì tốc độ này.
2
$N(t) = N_0(1+r)^t$ với $N_0=20\,000$ , $r=0,015$ , $t=3,5$ : $N(3,5) = 20\,000\cdot (1,015)^{3,5}$ . Đây chính là chỗ cần lũy thừa số mũ thực (bài trước): số mũ $3,5$ không phải số nguyên.
$N(t) = N_0(1+r)^t$ với $N_0=20\,000$, $r=0,015$, $t=3,5$: $N(3,5) = 20\,000\cdot (1,015)^{3,5}$. Đây chính là chỗ cần lũy thừa số mũ thực (bài trước): số mũ $3,5$ không phải số nguyên.
3
$(1,015)^{3,5} \approx 1,0535$ , nên $N(3,5) \approx 20\,000\cdot 1,0535 = 21\,069,8$ người.
$(1,015)^{3,5} \approx 1,0535$, nên $N(3,5) \approx 20\,000\cdot 1,0535 = 21\,069,8$ người.
4
Vậy sau $3,5$ năm, dân số thị trấn khoảng $21\,070$ người (làm tròn đến hàng đơn vị).
Vậy sau $3,5$ năm, dân số thị trấn khoảng $21\,070$ người (làm tròn đến hàng đơn vị).

Bẫy thường gặp

Sai lầm thường gặp: viết lãi suất dưới dạng phần trăm nguyên ( $6$ thay vì $0,06$ ) khi thay vào công thức, khiến kết quả sai lệch hàng trăm lần. Một sai lầm khác: nhầm công thức lãi kép $A_0(1+r)^t$ với công thức lãi đơn $A_0(1+rt)$ — hai công thức chỉ trùng nhau tại $t=0$ và $t=1$ , còn với $t>1$ chúng luôn cho hai kết quả khác nhau, như ví dụ so sánh phía trên đã cho thấy. Luôn đổi phần trăm sang số thập phân trước khi tính $(1+r)^t$ .

Sai lầm thường gặp: viết lãi suất dưới dạng phần trăm nguyên ($6$ thay vì $0,06$) khi thay vào công thức, khiến kết quả sai lệch hàng trăm lần. Một sai lầm khác: nhầm công thức lãi kép $A_0(1+r)^t$ với công thức lãi đơn $A_0(1+rt)$ — hai công thức chỉ trùng nhau tại $t=0$ và $t=1$, còn với $t>1$ chúng luôn cho hai kết quả khác nhau, như ví dụ so sánh phía trên đã cho thấy. Luôn đổi phần trăm sang số thập phân trước khi tính $(1+r)^t$.

Tóm tắt

Mô hình tăng trưởng theo lãi kép hoặc dân số $A(t)=A_0(1+r)^t$ là ứng dụng trực tiếp của lũy thừa số mũ thực: hệ số nhân dồn qua từng năm, và thời gian $t$ có thể là bất kỳ số thực dương nào, không nhất thiết nguyên. So với lãi đơn (tăng tuyến tính), lãi kép (tăng theo lũy thừa) luôn vượt trội khi thời gian đủ lớn.

Bài tiếp theo giới thiệu logarit — phép toán ngược của lũy thừa — cho phép em giải ngược bài toán này: biết số tiền cần đạt, tìm số năm cần gửi.