Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em tính được giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ bất kỳ, và giải được phương trình đơn giản dạng $|x| = a$ với $a \ge 0$.
Kiến thức nền cần nhớ
Bài trước đã dùng "khoảng cách đến gốc 0" để giải thích vì sao số âm có giá trị tuyệt đối lớn thì lại nhỏ hơn. Em cũng đã biết khái niệm giá trị tuyệt đối của số nguyên từ lớp 6: $|3| = 3$, $|-3| = 3$. Bài này mở rộng đúng ý tưởng đó sang mọi số hữu tỉ, kể cả phân số và số thập phân, và dùng nó để giải một dạng phương trình đơn giản đầu tiên trong chương trình Toán 7.
Khởi động
Một chiếc máy đo độ cao báo lệch $2,5$ m so với mặt đất — có thể là cao hơn 2,5 m hoặc thấp hơn 2,5 m (dưới hầm). Làm sao viết một biểu thức toán học chỉ mô tả "độ lệch" mà không quan tâm lệch theo hướng nào?
Kiến thức trọng tâm
Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ $x$, kí hiệu $|x|$, là khoảng cách từ điểm biểu diễn $x$ đến gốc 0 trên trục số. Vì khoảng cách không bao giờ âm, nên $|x| \ge 0$ với mọi $x$.
Công thức tính: $|x| = x$ nếu $x \ge 0$, và $|x| = -x$ nếu $x < 0$. Nói cách khác, với số không âm thì giữ nguyên, với số âm thì đổi dấu để được một số dương bằng đúng độ lớn của nó. Chẳng hạn $\left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$ (vì $\frac{3}{4} \ge 0$, giữ nguyên), còn $\left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$ (đổi dấu số âm).
Một tính chất hay dùng: $|x| = |-x|$ — hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối, vì chúng cách đều gốc 0, chỉ khác hướng. Từ đây suy ra: nếu $|x| = a$ với $a \ge 0$ cho trước, thì có đúng hai số hữu tỉ thỏa mãn là $x = a$ và $x = -a$ — trừ khi $a = 0$ thì chỉ có một nghiệm $x=0$.
Giá trị tuyệt đối cũng cho em một cách khác để so sánh hai số hữu tỉ âm: số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn — đúng như bài trước đã quan sát trên trục số, giờ diễn đạt lại bằng công thức.
Giá trị tuyệt đối còn đo được khoảng cách giữa HAI điểm bất kỳ trên trục số, chứ không chỉ dừng ở khoảng cách đến gốc 0. Khoảng cách giữa $x$ và $y$ chính là $|x-y|$ (hoặc $|y-x|$, hai cách viết cho cùng một kết quả vì $|x-y|=|y-x|$). Đây là lý do máy đo độ lệch ở phần khởi động chỉ cần báo một số không âm duy nhất — độ lệch giữa vị trí đo và mặt đất chuẩn chính là giá trị tuyệt đối của hiệu hai vị trí đó.
Một điều dễ nhầm là phân biệt $-|x|$ với $|-x|$: $|-x|$ luôn bằng $|x|$ (đổi dấu bên trong dấu giá trị tuyệt đối không ảnh hưởng gì, vì $-x$ và $x$ cách đều gốc 0). Ngược lại, $-|x|$ là lấy dấu trừ của kết quả sau khi đã tính giá trị tuyệt đối, nên $-|x|$ luôn không dương ($\le 0$) với mọi $x$ — hai biểu thức trông giống nhau về mặt kí hiệu nhưng mang ý nghĩa khác hẳn.
Khi phương trình không cho thẳng $|x|=a$ mà lồng thêm một phép tính, ví dụ $|x| + 2 = 5$, bước đầu tiên luôn là cô lập $|x|$ sang một vế trước khi áp dụng quy tắc hai nghiệm: từ $|x|+2=5$ suy ra $|x|=5-2=3$, rồi mới kết luận $x=3$ hoặc $x=-3$. Đừng vội áp dụng quy tắc "hai nghiệm đối nhau" khi $|x|$ chưa đứng một mình ở một vế — làm vậy trước khi cô lập là nguồn sai phổ biến khi phương trình có thêm số hạng cộng hoặc trừ bên ngoài dấu giá trị tuyệt đối.
$-\frac{3}{4}$ và $\frac{3}{4}$ có cùng giá trị tuyệt đối vì cách đều gốc 0.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Tính giá trị tuyệt đối của ba số hữu tỉ
1
Tính $\left|-\frac{3}{4}\right|$, $|2,5|$, $|0|$.
2
Vì $-\frac{3}{4} < 0$, áp dụng $|x|=-x$: $\left|-\frac{3}{4}\right| = -\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4}$.
3
Vì $2,5 \ge 0$, giữ nguyên: $|2,5| = 2,5$. Vì $0 \ge 0$, giữ nguyên: $|0| = 0$.
Vì $\frac{5}{2} > 0$, có đúng hai số hữu tỉ có giá trị tuyệt đối bằng $\frac{5}{2}$, đó là $\frac{5}{2}$ và $-\frac{5}{2}$.
3
$\left|\frac{5}{2}\right| = \frac{5}{2}$ (đúng) và $\left|-\frac{5}{2}\right| = \frac{5}{2}$ (đúng) — cả hai đều thỏa mãn.
4
Vậy $x = \frac{5}{2}$ hoặc $x = -\frac{5}{2}$.
Ví dụ
Tìm điểm chênh lệch so với điểm chuẩn (dạng thi)
1
Điểm chênh lệch $x$ của một bài kiểm tra so với điểm chuẩn thỏa $|x| = \frac{7}{2}$ (điểm). Tìm các giá trị có thể có của $x$, và cho biết ý nghĩa của từng giá trị.
2
Vì $\frac{7}{2} > 0$, có hai giá trị thỏa mãn: $x = \frac{7}{2}$ hoặc $x = -\frac{7}{2}$.
3
$x = \frac{7}{2}$ nghĩa là điểm số cao hơn điểm chuẩn $\frac{7}{2}$ điểm; $x = -\frac{7}{2}$ nghĩa là điểm số thấp hơn điểm chuẩn $\frac{7}{2}$ điểm.
4
Vậy $x = \frac{7}{2}$ hoặc $x = -\frac{7}{2}$ — độ chênh lệch bằng nhau nhưng theo hai hướng ngược nhau.
Ví dụ
Tính khoảng cách giữa hai điểm trên trục số (dạng thi)
1
Hai chú kiến đứng tại các vị trí $-\frac{3}{4}$ và $\frac{1}{2}$ trên một thanh gỗ được đánh số như trục số (đơn vị mét). Tính khoảng cách giữa hai chú kiến.
2
Khoảng cách giữa hai điểm $x=-\frac{3}{4}$ và $y=\frac{1}{2}$ là $|x-y|$.
3
$x - y = -\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{3}{4}-\frac{2}{4} = -\frac{5}{4}$, nên $|x-y| = \left|-\frac{5}{4}\right| = \frac{5}{4}$.
4
Vậy khoảng cách giữa hai chú kiến là $\frac{5}{4}$ m, tức $1,25$ m.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Nhiều bạn nghĩ $|x| = -x$ luôn có nghĩa "đổi dấu thành âm", nhưng thực ra khi $x$ đã âm thì $-x$ lại là một số dương — đây chính là chỗ hay nhầm nhất. Một lỗi khác là khi giải $|x|=a$, chỉ viết một nghiệm $x=a$ mà quên mất nghiệm thứ hai $x=-a$.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
$|x| \ge 0$ luôn đúng. $|x|=x$ khi $x\ge0$, $|x|=-x$ khi $x<0$. $|x|=|-x|$. Với $a>0$, phương trình $|x|=a$ có đúng hai nghiệm $x=a$ và $x=-a$; với $a=0$ chỉ có nghiệm $x=0$. Khoảng cách giữa hai điểm $x$, $y$ trên trục số là $|x-y|$. Gặp phương trình lồng thêm phép tính, hãy cô lập $|x|$ về một vế trước khi áp dụng quy tắc hai nghiệm.
Chương tiếp theo dùng chính những số hữu tỉ đã biết định nghĩa, biểu diễn, so sánh và đo độ lớn này để học phép cộng và phép trừ.
Sau bài này, em tính được giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ bất kỳ, và giải được phương trình đơn giản dạng ∣x∣=a với a≥0.
Bài trước đã dùng "khoảng cách đến gốc 0" để giải thích vì sao số âm có giá trị tuyệt đối lớn thì lại nhỏ hơn. Em cũng đã biết khái niệm giá trị tuyệt đối của số nguyên từ lớp 6: ∣3∣=3, ∣−3∣=3. Bài này mở rộng đúng ý tưởng đó sang mọi số hữu tỉ, kể cả phân số và số thập phân, và dùng nó để giải một dạng phương trình đơn giản đầu tiên trong chương trình Toán 7.
Một chiếc máy đo độ cao báo lệch 2,5 m so với mặt đất — có thể là cao hơn 2,5 m hoặc thấp hơn 2,5 m (dưới hầm). Làm sao viết một biểu thức toán học chỉ mô tả "độ lệch" mà không quan tâm lệch theo hướng nào?
Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ x, kí hiệu ∣x∣, là khoảng cách từ điểm biểu diễn x đến gốc 0 trên trục số. Vì khoảng cách không bao giờ âm, nên ∣x∣≥0 với mọi x.
Công thức tính: ∣x∣=x nếu x≥0, và ∣x∣=−x nếu x<0. Nói cách khác, với số không âm thì giữ nguyên, với số âm thì đổi dấu để được một số dương bằng đúng độ lớn của nó. Chẳng hạn 43=43 (vì 43≥0, giữ nguyên), còn −43=43 (đổi dấu số âm).
Một tính chất hay dùng: ∣x∣=∣−x∣ — hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối, vì chúng cách đều gốc 0, chỉ khác hướng. Từ đây suy ra: nếu ∣x∣=a với a≥0 cho trước, thì có đúng hai số hữu tỉ thỏa mãn là x=a và x=−a — trừ khi a=0 thì chỉ có một nghiệm x=0.
Giá trị tuyệt đối còn đo được khoảng cách giữa HAI điểm bất kỳ trên trục số, chứ không chỉ dừng ở khoảng cách đến gốc 0. Khoảng cách giữa x và y chính là ∣x−y∣ (hoặc ∣y−x∣, hai cách viết cho cùng một kết quả vì ∣x−y∣=∣y−x∣). Đây là lý do máy đo độ lệch ở phần khởi động chỉ cần báo một số không âm duy nhất — độ lệch giữa vị trí đo và mặt đất chuẩn chính là giá trị tuyệt đối của hiệu hai vị trí đó.
Một điều dễ nhầm là phân biệt −∣x∣ với ∣−x∣: ∣−x∣ luôn bằng ∣x∣ (đổi dấu bên trong dấu giá trị tuyệt đối không ảnh hưởng gì, vì −x và x cách đều gốc 0). Ngược lại, −∣x∣ là lấy dấu trừ của kết quả sau khi đã tính giá trị tuyệt đối, nên −∣x∣ luôn không dương (≤0) với mọi x — hai biểu thức trông giống nhau về mặt kí hiệu nhưng mang ý nghĩa khác hẳn.
Khi phương trình không cho thẳng ∣x∣=a mà lồng thêm một phép tính, ví dụ ∣x∣+2=5, bước đầu tiên luôn là cô lập ∣x∣ sang một vế trước khi áp dụng quy tắc hai nghiệm: từ ∣x∣+2=5 suy ra ∣x∣=5−2=3, rồi mới kết luận x=3 hoặc x=−3. Đừng vội áp dụng quy tắc "hai nghiệm đối nhau" khi ∣x∣ chưa đứng một mình ở một vế — làm vậy trước khi cô lập là nguồn sai phổ biến khi phương trình có thêm số hạng cộng hoặc trừ bên ngoài dấu giá trị tuyệt đối.
−43 và 43 có cùng giá trị tuyệt đối vì cách đều gốc 0.
Tính −43, ∣2,5∣, ∣0∣.
Vì −43<0, áp dụng ∣x∣=−x: −43=−(−43)=43.
Vì 2,5≥0, giữ nguyên: ∣2,5∣=2,5. Vì 0≥0, giữ nguyên: ∣0∣=0.
Vậy −43=43, ∣2,5∣=2,5, ∣0∣=0.
Tìm x biết ∣x∣=25.
Vì 25>0, có đúng hai số hữu tỉ có giá trị tuyệt đối bằng 25, đó là 25 và −25.
25=25 (đúng) và −25=25 (đúng) — cả hai đều thỏa mãn.
Vậy x=25 hoặc x=−25.
Điểm chênh lệch x của một bài kiểm tra so với điểm chuẩn thỏa ∣x∣=27 (điểm). Tìm các giá trị có thể có của x, và cho biết ý nghĩa của từng giá trị.
Vì 27>0, có hai giá trị thỏa mãn: x=27 hoặc x=−27.
x=27 nghĩa là điểm số cao hơn điểm chuẩn 27 điểm; x=−27 nghĩa là điểm số thấp hơn điểm chuẩn 27 điểm.
Vậy x=27 hoặc x=−27 — độ chênh lệch bằng nhau nhưng theo hai hướng ngược nhau.
Hai chú kiến đứng tại các vị trí −43 và 21 trên một thanh gỗ được đánh số như trục số (đơn vị mét). Tính khoảng cách giữa hai chú kiến.
Khoảng cách giữa hai điểm x=−43 và y=21 là ∣x−y∣.
x−y=−43−21=−43−42=−45, nên ∣x−y∣=−45=45.
Vậy khoảng cách giữa hai chú kiến là 45 m, tức 1,25 m.
Nhiều bạn nghĩ ∣x∣=−x luôn có nghĩa "đổi dấu thành âm", nhưng thực ra khi x đã âm thì −x lại là một số dương — đây chính là chỗ hay nhầm nhất. Một lỗi khác là khi giải ∣x∣=a, chỉ viết một nghiệm x=a mà quên mất nghiệm thứ hai x=−a.
∣x∣≥0 luôn đúng. ∣x∣=x khi x≥0, ∣x∣=−x khi x<0. ∣x∣=∣−x∣. Với a>0, phương trình ∣x∣=a có đúng hai nghiệm x=a và x=−a; với a=0 chỉ có nghiệm x=0. Khoảng cách giữa hai điểm x, y trên trục số là ∣x−y∣. Gặp phương trình lồng thêm phép tính, hãy cô lập ∣x∣ về một vế trước khi áp dụng quy tắc hai nghiệm.