Bài học

Lũy thừa của lũy thừa, của tích và của thương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng đúng ba công thức $(x^m)^n = x^{mn}$ , $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ và $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$ để rút gọn và tính nhanh các biểu thức lũy thừa, và phân biệt được ba công thức này với công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số đã học.

Sau bài này, em áp dụng đúng ba công thức $(x^m)^n = x^{mn}$, $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ và $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$ để rút gọn và tính nhanh các biểu thức lũy thừa, và phân biệt được ba công thức này với công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số đã học.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước cho em định nghĩa $x^n$ và công thức nhân, chia hai lũy thừa CÙNG cơ số. Bài này học ba tình huống khác: lũy thừa của một lũy thừa (một số đã có mũ, lại được nâng lên mũ tiếp), và lũy thừa của một tích hoặc một thương (hai số hữu tỉ khác nhau, cùng chịu chung một số mũ) — hai kiểu bài hoàn toàn khác với những gì hai bài trước đã học.

Khởi động

Biểu thức $\left[(-2)^3\right]^2$ có một lũy thừa nằm bên trong một lũy thừa khác. Tính $(-2)^3$ trước rồi bình phương kết quả, so với việc gộp thẳng hai số mũ lại — hai cách này có cho cùng một kết quả không?

Kiến thức trọng tâm

Lũy thừa của một lũy thừa: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ — nâng $x^m$ lên mũ $n$ nghĩa là lặp lại $x^m$ đúng $n$ lần, tổng cộng $m \times n$ thừa số $x$ . Công thức này nhân hai số mũ với nhau, khác hẳn với việc CỘNG số mũ của bài trước (chỉ dùng khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, không phải khi lũy thừa lồng nhau).

Lũy thừa của một lũy thừa: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ — nâng $x^m$ lên mũ $n$ nghĩa là lặp lại $x^m$ đúng $n$ lần, tổng cộng $m \times n$ thừa số $x$. Công thức này nhân hai số mũ với nhau, khác hẳn với việc CỘNG số mũ của bài trước (chỉ dùng khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, không phải khi lũy thừa lồng nhau).

Lũy thừa của một tích: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ — mỗi thừa số trong tích đều được nâng lên cùng số mũ $n$ rồi mới nhân lại. Tương tự, lũy thừa của một thương: $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$ ( $y \ne 0$ ) — tử và mẫu đều được nâng lên cùng số mũ $n$ .

Lũy thừa của một tích: $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ — mỗi thừa số trong tích đều được nâng lên cùng số mũ $n$ rồi mới nhân lại. Tương tự, lũy thừa của một thương: $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$ ($y \ne 0$) — tử và mẫu đều được nâng lên cùng số mũ $n$.

Ba công thức này thường được dùng để tính nhanh: thay vì nhân trong ngoặc trước rồi mới nâng lũy thừa (có thể ra số lớn khó nhân), ta tách riêng từng lũy thừa của từng thừa số, tính từng phần nhỏ hơn rồi ghép lại — hoặc ngược lại, gộp hai lũy thừa cùng số mũ khác cơ số thành một lũy thừa của tích hay thương duy nhất.

Đến đây em đã có bốn công thức lũy thừa: hai bài trước cho CÙNG cơ số khác số mũ (cộng/trừ số mũ khi nhân/chia), bài này cho CÙNG số mũ khác cơ số (nhân/chia riêng từng cơ số), và lũy thừa của một lũy thừa (nhân hai số mũ). Mẹo chọn đúng công thức: nhìn xem hai lũy thừa đang so cùng CƠ SỐ hay cùng SỐ MŨ — cùng cơ số thì cộng/trừ số mũ, cùng số mũ thì tách/gộp theo tích hoặc thương của các cơ số. Việc luyện phân biệt bốn tình huống này là trọng tâm của cả hai bài học về lũy thừa.

Một điều KHÔNG đúng cần tránh: không có công thức nào biến $(x+y)^n$ thành $x^n+y^n$ , hay $(x-y)^n$ thành $x^n-y^n$ — lũy thừa của một TỔNG hoặc HIỆU không tách ra từng số hạng như tích hay thương. Chẳng hạn $(2+3)^2 = 5^2 = 25$ , trong khi $2^2+3^2 = 4+9=13$ , hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Quy tắc "tách lũy thừa" chỉ áp dụng đúng cho phép nhân và phép chia, không áp dụng cho phép cộng và phép trừ.

Một điều KHÔNG đúng cần tránh: không có công thức nào biến $(x+y)^n$ thành $x^n+y^n$, hay $(x-y)^n$ thành $x^n-y^n$ — lũy thừa của một TỔNG hoặc HIỆU không tách ra từng số hạng như tích hay thương. Chẳng hạn $(2+3)^2 = 5^2 = 25$, trong khi $2^2+3^2 = 4+9=13$, hai kết quả hoàn toàn khác nhau. Quy tắc "tách lũy thừa" chỉ áp dụng đúng cho phép nhân và phép chia, không áp dụng cho phép cộng và phép trừ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Kiểm chứng công thức lũy thừa của một lũy thừa

1
Tính $\left[(-2)^3\right]^2$ bằng hai cách: tính trực tiếp và dùng công thức, rồi so sánh.
Tính $\left[(-2)^3\right]^2$ bằng hai cách: tính trực tiếp và dùng công thức, rồi so sánh.
2
$(-2)^3 = -8$ , nên $\left[(-2)^3\right]^2 = (-8)^2 = 64$ .
$(-2)^3 = -8$, nên $\left[(-2)^3\right]^2 = (-8)^2 = 64$.
3
$\left[(-2)^3\right]^2 = (-2)^{3\times2} = (-2)^6 = 64$ .
$\left[(-2)^3\right]^2 = (-2)^{3\times2} = (-2)^6 = 64$.
4
Vậy hai cách cho cùng một kết quả $64$ — công thức $(x^m)^n=x^{mn}$ được xác nhận, và cách 2 thường nhanh hơn khi số mũ lớn.
Vậy hai cách cho cùng một kết quả $64$ — công thức $(x^m)^n=x^{mn}$ được xác nhận, và cách 2 thường nhanh hơn khi số mũ lớn.

Ví dụ

Kiểm chứng công thức lũy thừa của một tích

1
Tính $\left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\right)^3$ bằng hai cách: nhân trong ngoặc trước, và dùng công thức lũy thừa của tích.
Tính $\left(\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}\right)^3$ bằng hai cách: nhân trong ngoặc trước, và dùng công thức lũy thừa của tích.
2
$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ , nên $\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ .
$\frac{2}{3}\times\frac{3}{4} = \frac{1}{2}$, nên $\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$.
3
$\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{8}{27}\times\frac{27}{64} = \frac{216}{1728} = \frac{1}{8}$ .
$\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{8}{27}\times\frac{27}{64} = \frac{216}{1728} = \frac{1}{8}$.
4
Vậy hai cách đều cho kết quả $\frac{1}{8}$ , xác nhận công thức $(x\cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ ; cách 1 gọn hơn ở bài này vì tích trong ngoặc rút gọn đẹp trước khi nâng lũy thừa.
Vậy hai cách đều cho kết quả $\frac{1}{8}$, xác nhận công thức $(x\cdot y)^n = x^n \cdot y^n$; cách 1 gọn hơn ở bài này vì tích trong ngoặc rút gọn đẹp trước khi nâng lũy thừa.

Ví dụ

Tính nhanh một thương lũy thừa bằng công thức lũy thừa của thương (dạng thi)

1
Tính nhanh $\left(\frac{4}{9}\right)^3 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3$ bằng cách đưa về một lũy thừa duy nhất.
Tính nhanh $\left(\frac{4}{9}\right)^3 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3$ bằng cách đưa về một lũy thừa duy nhất.
2
Vì hai lũy thừa cùng số mũ 3, áp dụng ngược công thức: $\left(\frac{4}{9}\right)^3 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}\right)^3$ .
Vì hai lũy thừa cùng số mũ 3, áp dụng ngược công thức: $\left(\frac{4}{9}\right)^3 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}\right)^3$.
3
$\frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\times\frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ .
$\frac{4}{9} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\times\frac{3}{2} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
4
$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ .
$\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$.
5
Vậy $\left(\frac{4}{9}\right)^3 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ , tính nhanh hơn nhiều so với khai triển từng lũy thừa bậc 3 rồi mới chia.
Vậy $\left(\frac{4}{9}\right)^3 \div \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$, tính nhanh hơn nhiều so với khai triển từng lũy thừa bậc 3 rồi mới chia.

Ví dụ

Tỉ số diện tích hai hình vuông đồng dạng (dạng thi)

1
Hai hình vuông có tỉ số cạnh là $\frac{2}{3}$ (cạnh hình nhỏ bằng $\frac{2}{3}$ cạnh hình lớn). Tính tỉ số diện tích của hình nhỏ so với hình lớn.
Hai hình vuông có tỉ số cạnh là $\frac{2}{3}$ (cạnh hình nhỏ bằng $\frac{2}{3}$ cạnh hình lớn). Tính tỉ số diện tích của hình nhỏ so với hình lớn.
2
Diện tích hình vuông tỉ lệ với bình phương cạnh, nên tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số cạnh: $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ .
Diện tích hình vuông tỉ lệ với bình phương cạnh, nên tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số cạnh: $\left(\frac{2}{3}\right)^2$.
3
$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ .
$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$.
4
Vậy diện tích hình vuông nhỏ chỉ bằng $\frac{4}{9}$ diện tích hình vuông lớn — nhỏ hơn tỉ số cạnh $\frac{2}{3}$ khá nhiều, vì diện tích tăng/giảm theo bình phương chứ không theo tỉ lệ thuận với cạnh.
Vậy diện tích hình vuông nhỏ chỉ bằng $\frac{4}{9}$ diện tích hình vuông lớn — nhỏ hơn tỉ số cạnh $\frac{2}{3}$ khá nhiều, vì diện tích tăng/giảm theo bình phương chứ không theo tỉ lệ thuận với cạnh.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là nhầm lũy thừa của lũy thừa (nhân số mũ) với nhân hai lũy thừa cùng cơ số (cộng số mũ) — hai công thức trông giống nhau nhưng dùng cho hai tình huống khác hẳn. Một lỗi khác là chỉ nâng lũy thừa một thừa số trong tích rồi quên thừa số còn lại, ví dụ viết $(x\cdot y)^n = x^n \cdot y$ thay vì $x^n \cdot y^n$ .

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Lũy thừa của lũy thừa: nhân hai số mũ, $(x^m)^n=x^{mn}$ . Lũy thừa của một tích hoặc thương: mỗi thừa số (tử và mẫu) nhận cùng số mũ, $(x\cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ và $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$ . Phân biệt: cùng cơ số khác số mũ thì cộng/trừ số mũ; cùng số mũ khác cơ số thì tách/gộp theo tích hay thương của các cơ số. Không có công thức tách lũy thừa của một tổng hay hiệu.

Lũy thừa của lũy thừa: nhân hai số mũ, $(x^m)^n=x^{mn}$. Lũy thừa của một tích hoặc thương: mỗi thừa số (tử và mẫu) nhận cùng số mũ, $(x\cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ và $\left(\frac{x}{y}\right)^n = \frac{x^n}{y^n}$. Phân biệt: cùng cơ số khác số mũ thì cộng/trừ số mũ; cùng số mũ khác cơ số thì tách/gộp theo tích hay thương của các cơ số. Không có công thức tách lũy thừa của một tổng hay hiệu.

Chương cuối cùng ôn lại toàn bộ khóa học — khái niệm, thứ tự, bốn phép tính và lũy thừa — bằng những bài toán phối hợp nhiều kiến thức trong cùng một đề, đúng phong cách một đề kiểm tra tổng hợp.