Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Sau bài này, em tính được lũy thừa $x^n$ của một số hữu tỉ $x$ với số mũ tự nhiên $n$, xác định đúng dấu của $x^n$ khi $x$ âm, và áp dụng được lũy thừa bậc hai, bậc ba vào các bài toán diện tích, thể tích.

Ở lớp 6, em đã gặp lũy thừa của số tự nhiên, ví dụ $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. Ba chương vừa học cho em thành thạo bốn phép tính trên số hữu tỉ. Bài này ghép hai kiến thức đó lại: lũy thừa của một số hữu tỉ bất kỳ, kể cả phân số âm — một khái niệm mới hoàn toàn so với lũy thừa số tự nhiên đã học, vì cơ số giờ có thể mang dấu.

Lũy thừa bậc $n$ của số hữu tỉ $x$, kí hiệu $x^n$ ($n$ là số tự nhiên, $n \ge 1$), là tích của $n$ thừa số $x$: $x^n = \underbrace{x \times x \times \cdots \times x}_{n \text{ thừa số}}$. Số $x$ gọi là cơ số, $n$ gọi là số mũ. Quy ước thêm: $x^0 = 1$ với mọi $x \ne 0$ (còn $0^0$ không xác định trong chương trình này).

Dấu của $x^n$ khi $x$ âm phụ thuộc vào số mũ $n$ chẵn hay lẻ. Nếu $n$ chẵn, các cặp thừa số âm nhân với nhau triệt tiêu dấu trừ theo từng đôi một, nên $x^n$ dương. Nếu $n$ lẻ, sau khi ghép hết các cặp vẫn còn dư đúng một thừa số âm, nên $x^n$ âm. Số hữu tỉ dương thì lũy thừa bậc nào cũng dương.

Với $x$ dương, $x^2$ chính là diện tích của một hình vuông có cạnh bằng $x$ — đây là lý do lũy thừa bậc hai còn được gọi là "bình phương". Từ bậc ba trở lên (lập phương và cao hơn), phép nhân lặp lại không còn ứng với một hình phẳng đơn giản như vậy nữa, nhưng công thức $x^n = x \times x \times \cdots \times x$ vẫn tính được y hệt, chỉ là không có bức tranh hình học tương ứng.

Hai trường hợp đặc biệt đáng nhớ: $1^n = 1$ với mọi số mũ $n$ (nhân 1 với chính nó bao nhiêu lần vẫn ra 1), và $0^n = 0$ với mọi $n \ge 1$ (nhân 0 với chính nó vẫn luôn ra 0). Ngoài ra, với số hữu tỉ $x$ mà $|x| < 1$ (ví dụ $\frac{1}{2}$ hay $-\frac{2}{3}$), lũy thừa $x^n$ càng có $n$ lớn thì càng NHỎ về giá trị tuyệt đối — ngược hẳn với trực giác quen thuộc từ số tự nhiên, nơi số mũ lớn hơn luôn cho kết quả lớn hơn. Em nên thử tính $\left(\frac{1}{2}\right)^1, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3$ liên tiếp để tự quan sát dãy số này càng lúc càng nhỏ dần.

Trước khi tính chi tiết một lũy thừa cơ số âm, hãy tập thói quen đọc số mũ và đoán dấu trước — việc này giúp em phát hiện ngay một kết quả sai dấu mà không cần nhân lại từ đầu. Chẳng hạn nhìn thấy $(-3)^{10}$, em biết ngay kết quả phải dương (số mũ chẵn) mà chưa cần tính $3^{10}$ bằng bao nhiêu; nếu bài làm ra một số âm ở bước cuối, đó là tín hiệu cần kiểm tra lại ngay, dù chưa biết chỗ sai nằm ở đâu. Thói quen đoán dấu trước này sẽ càng hữu ích khi số mũ lớn dần trong các bài toán ở lớp trên.