Bài học

Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng đúng công thức $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ và $x^m \div x^n = x^{m-n}$ để nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số mà không cần tính giá trị từng lũy thừa, kể cả khi chuỗi phép tính có ba lũy thừa trở lên.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em định nghĩa $x^n$ là tích của $n$ thừa số $x$ , cùng quy tắc xác định dấu khi cơ số âm. Bài này khai thác chính định nghĩa đó để tìm một quy tắc rút gọn khi hai lũy thừa có cùng cơ số nhân hoặc chia cho nhau, thay vì phải tính hết giá trị từng lũy thừa rồi mới nhân — cách làm nhanh hơn nhiều với số mũ lớn.

Bài trước cho em định nghĩa $x^n$ là tích của $n$ thừa số $x$, cùng quy tắc xác định dấu khi cơ số âm. Bài này khai thác chính định nghĩa đó để tìm một quy tắc rút gọn khi hai lũy thừa có cùng cơ số nhân hoặc chia cho nhau, thay vì phải tính hết giá trị từng lũy thừa rồi mới nhân — cách làm nhanh hơn nhiều với số mũ lớn.

Khởi động

Tính $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$ bằng cách nhân hai giá trị cụ thể sẽ khá dài và dễ tính sai giữa chừng. Có cách nào đếm nhanh tổng số thừa số $\frac{2}{3}$ xuất hiện trong tích, mà không cần tính từng lũy thừa riêng trước rồi mới nhân chúng lại?

Kiến thức trọng tâm

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số $x$ , ta cộng dồn số thừa số: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ . Lý do: $x^m$ là $m$ thừa số $x$ nhân với nhau, $x^n$ là $n$ thừa số $x$ nhân với nhau, nên $x^m \cdot x^n$ tổng cộng có $m+n$ thừa số $x$ .

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số $x$, ta cộng dồn số thừa số: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Lý do: $x^m$ là $m$ thừa số $x$ nhân với nhau, $x^n$ là $n$ thừa số $x$ nhân với nhau, nên $x^m \cdot x^n$ tổng cộng có $m+n$ thừa số $x$.

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số $x \ne 0$ , ta trừ số thừa số: $x^m \div x^n = x^{m-n}$ (với $m \ge n$ trong phạm vi bài học này). Lý do tương tự: chia đi bớt $n$ thừa số khỏi $m$ thừa số ban đầu, còn lại $m-n$ thừa số.

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số $x \ne 0$, ta trừ số thừa số: $x^m \div x^n = x^{m-n}$ (với $m \ge n$ trong phạm vi bài học này). Lý do tương tự: chia đi bớt $n$ thừa số khỏi $m$ thừa số ban đầu, còn lại $m-n$ thừa số.

Hai công thức này chỉ áp dụng khi CÙNG cơ số — $x^m \cdot y^n$ với $x \ne y$ thì không cộng số mũ được, phải tính riêng từng lũy thừa. Đây cũng là công cụ để giải ngược: biết $x^m \cdot x^n = x^k$ , ta suy ra $m+n=k$ để tìm số mũ còn thiếu.

Hai công thức này chỉ áp dụng khi CÙNG cơ số — $x^m \cdot y^n$ với $x \ne y$ thì không cộng số mũ được, phải tính riêng từng lũy thừa. Đây cũng là công cụ để giải ngược: biết $x^m \cdot x^n = x^k$, ta suy ra $m+n=k$ để tìm số mũ còn thiếu.

Công thức nhân mở rộng tự nhiên cho nhiều hơn hai lũy thừa cùng cơ số: $x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c}$ , cứ cộng dồn tất cả số mũ lại. Khi một biểu thức trộn cả nhân lẫn chia cùng một cơ số, em có thể cộng số mũ của các lũy thừa bị nhân và trừ số mũ của các lũy thừa bị chia, tất cả trong một bước duy nhất, miễn giữ đúng dấu cộng/trừ tương ứng với phép nhân/chia ban đầu, thay vì tính từng cặp lũy thừa một cách rời rạc.

Công thức nhân mở rộng tự nhiên cho nhiều hơn hai lũy thừa cùng cơ số: $x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c}$, cứ cộng dồn tất cả số mũ lại. Khi một biểu thức trộn cả nhân lẫn chia cùng một cơ số, em có thể cộng số mũ của các lũy thừa bị nhân và trừ số mũ của các lũy thừa bị chia, tất cả trong một bước duy nhất, miễn giữ đúng dấu cộng/trừ tương ứng với phép nhân/chia ban đầu, thay vì tính từng cặp lũy thừa một cách rời rạc.

Vì sao công thức chia yêu cầu $m \ge n$ trong phạm vi bài học này? Nếu $m < n$ , kết quả $x^{m-n}$ sẽ có số mũ âm — một khái niệm số mũ nguyên mở rộng mà chương trình lớp 7 chưa đưa vào, nên đề bài thường luôn đảm bảo số mũ trên đủ lớn để hiệu không âm. Nếu gặp trường hợp $m<n$ , đó là dấu hiệu cần đọc lại đề bài hoặc bài toán ở phạm vi kiến thức khác.

Vì sao công thức chia yêu cầu $m \ge n$ trong phạm vi bài học này? Nếu $m < n$, kết quả $x^{m-n}$ sẽ có số mũ âm — một khái niệm số mũ nguyên mở rộng mà chương trình lớp 7 chưa đưa vào, nên đề bài thường luôn đảm bảo số mũ trên đủ lớn để hiệu không âm. Nếu gặp trường hợp $m<n$, đó là dấu hiệu cần đọc lại đề bài hoặc bài toán ở phạm vi kiến thức khác.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

1
Rút gọn $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$ về một lũy thừa duy nhất.
Rút gọn $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$ về một lũy thừa duy nhất.
2
Cùng cơ số $\frac{2}{3}$ , cộng số mũ: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{3+2} = \left(\frac{2}{3}\right)^5$ .
Cùng cơ số $\frac{2}{3}$, cộng số mũ: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{3+2} = \left(\frac{2}{3}\right)^5$.
3
Vậy $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^5$ , không cần tính ra giá trị số cụ thể vẫn rút gọn được.
Vậy $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^5$, không cần tính ra giá trị số cụ thể vẫn rút gọn được.

Ví dụ

Chia hai lũy thừa cùng cơ số

1
Rút gọn $(-5)^6 \div (-5)^4$ về một lũy thừa duy nhất, rồi tính giá trị.
Rút gọn $(-5)^6 \div (-5)^4$ về một lũy thừa duy nhất, rồi tính giá trị.
2
Cùng cơ số $-5$ , trừ số mũ: $(-5)^6 \div (-5)^4 = (-5)^{6-4} = (-5)^2$ .
Cùng cơ số $-5$, trừ số mũ: $(-5)^6 \div (-5)^4 = (-5)^{6-4} = (-5)^2$.
3
$(-5)^2 = (-5)\times(-5) = 25$ .
$(-5)^2 = (-5)\times(-5) = 25$.
4
Vậy $(-5)^6 \div (-5)^4 = (-5)^2 = 25$ .
Vậy $(-5)^6 \div (-5)^4 = (-5)^2 = 25$.

Ví dụ

Tìm số mũ còn thiếu từ một đẳng thức lũy thừa (dạng thi)

1
Biết $3^n \div 3^2 = 3^5$ , tìm $n$ .
Biết $3^n \div 3^2 = 3^5$, tìm $n$.
2
Theo công thức, $3^n \div 3^2 = 3^{n-2}$ . Đề bài cho $3^{n-2} = 3^5$ .
Theo công thức, $3^n \div 3^2 = 3^{n-2}$. Đề bài cho $3^{n-2} = 3^5$.
3
Hai lũy thừa cùng cơ số 3 và bằng nhau, nên số mũ phải bằng nhau: $n-2=5$ .
Hai lũy thừa cùng cơ số 3 và bằng nhau, nên số mũ phải bằng nhau: $n-2=5$.
4
Từ $n-2=5$ , suy ra $n=7$ .
Từ $n-2=5$, suy ra $n=7$.
5
Vậy $n=7$ . Kiểm tra lại: $3^7 \div 3^2 = 3^5$ , đúng như đề bài.
Vậy $n=7$. Kiểm tra lại: $3^7 \div 3^2 = 3^5$, đúng như đề bài.

Ví dụ

Rút gọn một chuỗi ba lũy thừa cùng cơ số

1
Rút gọn $2^3 \cdot 2^5 \div 2^4$ về một lũy thừa duy nhất, rồi tính giá trị.
Rút gọn $2^3 \cdot 2^5 \div 2^4$ về một lũy thừa duy nhất, rồi tính giá trị.
2
$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$ .
$2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$.
3
$2^8 \div 2^4 = 2^{8-4} = 2^4$ .
$2^8 \div 2^4 = 2^{8-4} = 2^4$.
4
$2^4 = 16$ .
$2^4 = 16$.
5
Vậy $2^3 \cdot 2^5 \div 2^4 = 2^4 = 16$ — làm cả ba lũy thừa trong một bước bằng cách cộng số mũ khi nhân, trừ số mũ khi chia.
Vậy $2^3 \cdot 2^5 \div 2^4 = 2^4 = 16$ — làm cả ba lũy thừa trong một bước bằng cách cộng số mũ khi nhân, trừ số mũ khi chia.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhân hoặc cộng luôn cả cơ số khi thấy hai lũy thừa, ví dụ tưởng $\left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$ ra $\left(\frac{4}{6}\right)^5$ — sai hoàn toàn, cơ số phải giữ nguyên, chỉ cộng số mũ. Một lỗi khác là áp dụng công thức này cho hai lũy thừa KHÁC cơ số, ví dụ $2^3 \cdot 3^2$ không hề gộp được thành một lũy thừa duy nhất.

Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn, là quên rằng một số hạng đứng một mình (không viết số mũ) vẫn ẩn chứa số mũ 1 — ví dụ $x \cdot x^4$ thực chất là $x^1 \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5$ , không phải $x^4$ như nhiều bạn vội kết luận vì chỉ nhìn thấy một số mũ viết ra. Tương tự, $x \div x^2$ là $x^1 \div x^2 = x^{1-2}$ , một trường hợp có số mũ kết quả âm mà chương trình lớp 7 chưa xử lý — nếu gặp phải, đó là dấu hiệu đề bài cần đọc lại hoặc thuộc phạm vi kiến thức khác.

Một lỗi thứ ba, tinh vi hơn, là quên rằng một số hạng đứng một mình (không viết số mũ) vẫn ẩn chứa số mũ 1 — ví dụ $x \cdot x^4$ thực chất là $x^1 \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5$, không phải $x^4$ như nhiều bạn vội kết luận vì chỉ nhìn thấy một số mũ viết ra. Tương tự, $x \div x^2$ là $x^1 \div x^2 = x^{1-2}$, một trường hợp có số mũ kết quả âm mà chương trình lớp 7 chưa xử lý — nếu gặp phải, đó là dấu hiệu đề bài cần đọc lại hoặc thuộc phạm vi kiến thức khác.

Cách chắc chắn nhất để tránh cả ba lỗi trên là luôn viết lại đầy đủ số mũ của mọi thừa số trước khi cộng hoặc trừ chúng — kể cả số mũ 1 — thay vì cộng, trừ nhẩm trong đầu. Thói quen viết đầy đủ này chậm hơn vài giây nhưng giảm hẳn tỉ lệ sai sót, đặc biệt trong các bài kiểm tra có nhiều bước tính liên tiếp.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cùng cơ số: nhân thì cộng số mũ ( $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ ), chia thì trừ số mũ ( $x^m \div x^n = x^{m-n}$ , $x\ne0$ ). Cơ số luôn giữ nguyên, không được nhân hay cộng vào cơ số. Công thức mở rộng cho nhiều lũy thừa liên tiếp: cộng số mũ của phần bị nhân, trừ số mũ của phần bị chia, trong cùng một bước. Một số hạng không viết số mũ vẫn ẩn chứa số mũ 1.

Cùng cơ số: nhân thì cộng số mũ ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), chia thì trừ số mũ ($x^m \div x^n = x^{m-n}$, $x\ne0$). Cơ số luôn giữ nguyên, không được nhân hay cộng vào cơ số. Công thức mở rộng cho nhiều lũy thừa liên tiếp: cộng số mũ của phần bị nhân, trừ số mũ của phần bị chia, trong cùng một bước. Một số hạng không viết số mũ vẫn ẩn chứa số mũ 1.

Chương tiếp theo học thêm ba quy tắc lũy thừa nữa: lũy thừa của một lũy thừa, và lũy thừa của một tích hoặc một thương.