Bài học

Ôn tập tổng hợp: Số hữu tỉ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được toàn bộ công cụ của khóa học — khái niệm, biểu diễn, thứ tự, giá trị tuyệt đối, bốn phép tính và lũy thừa — để giải một bài toán tổng hợp nhiều bước, đúng phong cách một đề kiểm tra giữa kì hoặc cuối kì lớp 7 thực sự.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không dạy kiến thức mới. Nó hệ thống lại sáu chương đã học: định nghĩa số hữu tỉ và biểu diễn trên trục số (Chương 1), so sánh và giá trị tuyệt đối (Chương 2), cộng trừ và quy tắc dấu ngoặc (Chương 3), nhân chia và thứ tự thực hiện phép tính (Chương 4), lũy thừa với số mũ tự nhiên (Chương 5), và ba công thức lũy thừa nâng cao (Chương 6). Đề kiểm tra thật thường không tách riêng từng chương mà trộn nhiều công cụ vào một bài — bài ôn tập này tập luyện đúng kiểu trộn đó, chuẩn bị cho một đề kiểm tra giữa kì hoặc cuối kì thực sự.

Khởi động

Một đề kiểm tra có câu: "So sánh ba số $-\frac{3}{2}$ , $\left|-\frac{7}{4}\right|$ , và $\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1$ ." Câu này cần đến kiến thức của mấy chương khác nhau để giải trọn vẹn, và em sẽ bắt đầu từ đâu nếu gặp câu này trong phòng thi?

Một đề kiểm tra có câu: "So sánh ba số $-\frac{3}{2}$, $\left|-\frac{7}{4}\right|$, và $\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1$." Câu này cần đến kiến thức của mấy chương khác nhau để giải trọn vẹn, và em sẽ bắt đầu từ đâu nếu gặp câu này trong phòng thi?

Chiến lược làm bài tổng hợp

Khi gặp một biểu thức hoặc bài toán trộn nhiều loại kiến thức, bước đầu tiên luôn là xác định xem có bao nhiêu "tầng" phép tính cần làm — lũy thừa và giá trị tuyệt đối tính trước, kế đến nhân chia, cuối cùng mới cộng trừ, đúng thứ tự đã học ở Chương 4 (mở rộng thêm lũy thừa như một cấp ưu tiên cao nhất). Bước thứ hai là đưa tất cả các số về cùng một dạng — phân số hoặc thập phân — trước khi so sánh hay cộng trừ, để tránh nhầm lẫn giữa hai cách viết. Bước cuối là đối chiếu lại xem kết quả có hợp lý với ngữ cảnh đề bài không, đặc biệt với các bài toán thực tế.

Ba lỗi hay gặp nhất khi làm bài tổng hợp, theo đúng thứ tự xuất hiện trong khóa học: nhầm dấu khi bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước (Chương 3), quên nhân với nghịch đảo khi gặp phép chia phân số (Chương 4), và cộng thay vì nhân số mũ khi rút gọn lũy thừa cùng cơ số (Chương 5, 6). Trước khi nộp bài, hãy dành 30 giây rà lại đúng ba điểm này trong bài làm của mình — đây là ba lỗi khiến nhiều bài làm đúng ý tưởng nhưng sai đáp số, và cũng là ba lỗi các thầy cô hay nhắc nhở nhất trong các buổi ôn tập cuối kỳ.

Sau khi tính từng biểu thức, việc so sánh chỉ còn là đọc vị trí trên trục số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Ôn tập biểu diễn và so sánh

1
Trong các số $-\frac{5}{3}$ , $1,2$ , $-\frac{1}{2}$ , $0$ , số nào nằm gần gốc 0 nhất trên trục số, và số nào nhỏ nhất?
Trong các số $-\frac{5}{3}$, $1,2$, $-\frac{1}{2}$, $0$, số nào nằm gần gốc 0 nhất trên trục số, và số nào nhỏ nhất?
2
$\left|-\frac{5}{3}\right| \approx 1,67$ ; $|1,2|=1,2$ ; $\left|-\frac{1}{2}\right|=0,5$ ; $|0|=0$ .
$\left|-\frac{5}{3}\right| \approx 1,67$; $|1,2|=1,2$; $\left|-\frac{1}{2}\right|=0,5$; $|0|=0$.
3
Giá trị tuyệt đối nhỏ nhất là của số $0$ , nên $0$ nằm đúng tại gốc, gần gốc 0 nhất (khoảng cách bằng 0).
Giá trị tuyệt đối nhỏ nhất là của số $0$, nên $0$ nằm đúng tại gốc, gần gốc 0 nhất (khoảng cách bằng 0).
4
Trong bốn số, chỉ có $-\frac{5}{3}$ và $-\frac{1}{2}$ âm; $-\frac{5}{3}$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn nên nhỏ hơn. Vậy $-\frac{5}{3}$ là số nhỏ nhất.
Trong bốn số, chỉ có $-\frac{5}{3}$ và $-\frac{1}{2}$ âm; $-\frac{5}{3}$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn nên nhỏ hơn. Vậy $-\frac{5}{3}$ là số nhỏ nhất.
5
Vậy $0$ nằm gần gốc 0 nhất, còn $-\frac{5}{3}$ là số nhỏ nhất trong bốn số đã cho.
Vậy $0$ nằm gần gốc 0 nhất, còn $-\frac{5}{3}$ là số nhỏ nhất trong bốn số đã cho.

Ví dụ

Ôn tập biểu thức hỗn hợp có lũy thừa

1
Tính giá trị biểu thức $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{5} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{6}$ .
Tính giá trị biểu thức $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{5} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{6}$.
2
$\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ (số mũ chẵn nên dương).
$\left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ (số mũ chẵn nên dương).
3
$\frac{2}{5} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10}$ .
$\frac{2}{5} \times \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{20} = -\frac{3}{10}$.
4
Quy đồng mẫu 90: $\frac{1}{9} = \frac{10}{90}$ , $-\frac{3}{10}=-\frac{27}{90}$ , $-\frac{1}{6}=-\frac{15}{90}$ . Tính: $\frac{10}{90}-\frac{27}{90}-\frac{15}{90} = -\frac{32}{90} = -\frac{16}{45}$ .
Quy đồng mẫu 90: $\frac{1}{9} = \frac{10}{90}$, $-\frac{3}{10}=-\frac{27}{90}$, $-\frac{1}{6}=-\frac{15}{90}$. Tính: $\frac{10}{90}-\frac{27}{90}-\frac{15}{90} = -\frac{32}{90} = -\frac{16}{45}$.
5
Vậy $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{5} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{6} = -\frac{16}{45}$ .
Vậy $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{2}{5} \times \left(-\frac{3}{4}\right) - \frac{1}{6} = -\frac{16}{45}$.

Ví dụ

So sánh ba biểu thức trộn giá trị tuyệt đối và lũy thừa (dạng thi, đề tổng hợp)

1
So sánh ba giá trị $-\frac{3}{2}$ , $\left|-\frac{7}{4}\right|$ , và $\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1$ , rồi sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.
So sánh ba giá trị $-\frac{3}{2}$, $\left|-\frac{7}{4}\right|$, và $\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1$, rồi sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần.
2
Biểu thức thứ nhất giữ nguyên: $-\frac{3}{2} = -1,5$ . Biểu thức thứ hai: $\left|-\frac{7}{4}\right| = \frac{7}{4} = 1,75$ . Biểu thức thứ ba: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4}-1 = -\frac{3}{4} = -0,75$ .
Biểu thức thứ nhất giữ nguyên: $-\frac{3}{2} = -1,5$. Biểu thức thứ hai: $\left|-\frac{7}{4}\right| = \frac{7}{4} = 1,75$. Biểu thức thứ ba: $\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = \frac{1}{4}-1 = -\frac{3}{4} = -0,75$.
3
Ba giá trị vừa tính là $-1,5$ ; $1,75$ ; $-0,75$ . So sánh: $-1,5 < -0,75 < 1,75$ .
Ba giá trị vừa tính là $-1,5$; $1,75$; $-0,75$. So sánh: $-1,5 < -0,75 < 1,75$.
4
Vậy thứ tự tăng dần là $-\frac{3}{2} < \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 < \left|-\frac{7}{4}\right|$ — bài toán này cần đến kiến thức của cả ba chương: giá trị tuyệt đối, lũy thừa, và so sánh số hữu tỉ.
Vậy thứ tự tăng dần là $-\frac{3}{2} < \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 < \left|-\frac{7}{4}\right|$ — bài toán này cần đến kiến thức của cả ba chương: giá trị tuyệt đối, lũy thừa, và so sánh số hữu tỉ.

Ví dụ

Đề tổng hợp: lũy thừa cùng cơ số, giá trị tuyệt đối và bốn phép tính

1
Tính giá trị biểu thức $A = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \div \frac{2}{3} + \left|-\frac{1}{4}\right| \times 2 - 1$ .
Tính giá trị biểu thức $A = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \div \frac{2}{3} + \left|-\frac{1}{4}\right| \times 2 - 1$.
2
$\left(\frac{2}{3}\right)^3 \div \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ (cơ số $\frac{2}{3}$ có số mũ 1 ẩn ở thừa số thứ hai).
$\left(\frac{2}{3}\right)^3 \div \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{3-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$ (cơ số $\frac{2}{3}$ có số mũ 1 ẩn ở thừa số thứ hai).
3
$\left|-\frac{1}{4}\right| \times 2 = \frac{1}{4}\times 2 = \frac{1}{2}$ .
$\left|-\frac{1}{4}\right| \times 2 = \frac{1}{4}\times 2 = \frac{1}{2}$.
4
$A = \frac{4}{9} + \frac{1}{2} - 1$ . Quy đồng mẫu 18: $\frac{8}{18}+\frac{9}{18}-\frac{18}{18} = -\frac{1}{18}$ .
$A = \frac{4}{9} + \frac{1}{2} - 1$. Quy đồng mẫu 18: $\frac{8}{18}+\frac{9}{18}-\frac{18}{18} = -\frac{1}{18}$.
5
Vậy $A = -\frac{1}{18}$ — bài này gói trọn ba chương cuối của khóa học vào một biểu thức duy nhất.
Vậy $A = -\frac{1}{18}$ — bài này gói trọn ba chương cuối của khóa học vào một biểu thức duy nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Trong một bài toán tổng hợp, lỗi phổ biến nhất không phải là sai một phép tính riêng lẻ, mà là làm SAI THỨ TỰ giữa các bước — ví dụ cộng trừ trước khi tính xong lũy thừa hoặc giá trị tuyệt đối. Một lỗi khác là quên rằng $-\left(\frac{1}{2}\right)^2$ và $\left(-\frac{1}{2}\right)^2$ là hai biểu thức khác nhau, dẫn đến so sánh sai như trong ví dụ luyện tập ở trên.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài toán tổng hợp chỉ cần đúng hai điều: nhớ đúng thứ tự thực hiện phép tính (lũy thừa và giá trị tuyệt đối trước, rồi nhân chia, rồi cộng trừ), và đưa mọi số về cùng một dạng trước khi so sánh hay kết luận. Không có kiến thức mới nào ở đây — chỉ là ráp lại những gì khóa học đã học. Trước khi nộp bài, rà lại ba lỗi hay gặp nhất: dấu khi bỏ ngoặc, quên nghịch đảo khi chia, và cộng nhầm số mũ thay vì nhân khi gặp lũy thừa lồng nhau.

Khóa học Số hữu tỉ đã hoàn thành. Khóa tiếp theo mở rộng tập hợp số sang số vô tỉ và số thực, khi những phép tính như căn bậc hai không còn luôn cho ra một số hữu tỉ nữa.