Bài học

Quy tắc dấu ngoặc và tính chất phép cộng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em bỏ và đặt dấu ngoặc đúng quy tắc trong một biểu thức số hữu tỉ, kể cả ngoặc lồng nhau nhiều lớp, và dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các số lại cho dễ tính hơn.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em kỹ năng cộng, trừ hai số hữu tỉ. Em cũng nhớ lại từ lớp 6: quy tắc dấu ngoặc khi trước ngoặc là dấu cộng thì giữ nguyên dấu các số bên trong, khi trước ngoặc là dấu trừ thì đổi dấu tất cả các số bên trong. Bài này áp dụng đúng quy tắc đó cho số hữu tỉ, và thêm công cụ nhóm số để tính nhanh — hai công cụ sẽ dùng lại xuyên suốt các chương còn lại của khóa học.

Khởi động

Một biểu thức dài như $-\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6}\right)$ có ba số trong ngoặc. Có cần quy đồng cả ba số cùng lúc trước khi làm gì với dấu trừ đứng trước không, hay có cách xử lý dấu trừ đó trước để bài toán đơn giản hơn ngay từ bước đầu tiên?

Kiến thức trọng tâm

Quy tắc dấu ngoặc: nếu trước ngoặc là dấu " $+$ ", bỏ ngoặc và giữ nguyên dấu mọi số hạng bên trong. Nếu trước ngoặc là dấu " $-$ ", bỏ ngoặc và đổi dấu mọi số hạng bên trong (cộng thành trừ, trừ thành cộng). Quy tắc này áp dụng được cho số hữu tỉ y hệt như đã học với số nguyên ở lớp 6.

Quy tắc dấu ngoặc: nếu trước ngoặc là dấu "$+$", bỏ ngoặc và giữ nguyên dấu mọi số hạng bên trong. Nếu trước ngoặc là dấu "$-$", bỏ ngoặc và đổi dấu mọi số hạng bên trong (cộng thành trừ, trừ thành cộng). Quy tắc này áp dụng được cho số hữu tỉ y hệt như đã học với số nguyên ở lớp 6.

Phép cộng số hữu tỉ có tính chất giao hoán ( $x+y=y+x$ ) và kết hợp ( $(x+y)+z=x+(y+z)$ ), giống hệt phép cộng số nguyên. Nhờ hai tính chất này, em được phép đổi chỗ và nhóm lại các số hạng trong một tổng theo thứ tự thuận tiện nhất — miễn không thêm bớt số hạng nào — để việc tính toán nhẹ nhàng hơn.

Phép cộng số hữu tỉ có tính chất giao hoán ($x+y=y+x$) và kết hợp ($(x+y)+z=x+(y+z)$), giống hệt phép cộng số nguyên. Nhờ hai tính chất này, em được phép đổi chỗ và nhóm lại các số hạng trong một tổng theo thứ tự thuận tiện nhất — miễn không thêm bớt số hạng nào — để việc tính toán nhẹ nhàng hơn.

Kết hợp cả hai công cụ, một mẹo thường dùng là "tính nhanh": khi một biểu thức có những số hạng giống hệt nhau nhưng trái dấu ở hai vị trí khác nhau, việc nhóm chúng lại (nhờ giao hoán, kết hợp) sẽ triệt tiêu nhau ngay, không cần quy đồng gì cả.

Khi một biểu thức có nhiều lớp ngoặc lồng nhau, ví dụ $\frac{1}{2} - \left[\frac{1}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)\right]$ , quy tắc không đổi: xử lý từ ngoặc trong cùng ra ngoài, mỗi lần bỏ một lớp ngoặc lại xét đúng dấu đứng ngay trước lớp đó. Không được bỏ hai lớp ngoặc cùng lúc rồi đoán dấu chung — mỗi lớp phải xét riêng, vì dấu "tích lũy" qua nhiều lớp trừ liên tiếp có thể đổi đi đổi lại. Sách giáo khoa thường dùng ba loại ngoặc lồng nhau theo thứ tự $(),[],\{\}$ từ trong ra ngoài để em dễ theo dõi từng lớp hơn.

Khi một biểu thức có nhiều lớp ngoặc lồng nhau, ví dụ $\frac{1}{2} - \left[\frac{1}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)\right]$, quy tắc không đổi: xử lý từ ngoặc trong cùng ra ngoài, mỗi lần bỏ một lớp ngoặc lại xét đúng dấu đứng ngay trước lớp đó. Không được bỏ hai lớp ngoặc cùng lúc rồi đoán dấu chung — mỗi lớp phải xét riêng, vì dấu "tích lũy" qua nhiều lớp trừ liên tiếp có thể đổi đi đổi lại. Sách giáo khoa thường dùng ba loại ngoặc lồng nhau theo thứ tự $(),[],\{\}$ từ trong ra ngoài để em dễ theo dõi từng lớp hơn.

Quy tắc dấu ngoặc cũng lý giải vì sao $-(-x) = x$ với mọi số hữu tỉ $x$ : số đối của số đối một số luôn quay lại chính số đó, giống như hai lần đổi dấu triệt tiêu nhau. Tính chất này thường dùng ngầm khi rút gọn một biểu thức có nhiều dấu trừ liên tiếp đứng trước cùng một số.

Quy tắc dấu ngoặc cũng lý giải vì sao $-(-x) = x$ với mọi số hữu tỉ $x$: số đối của số đối một số luôn quay lại chính số đó, giống như hai lần đổi dấu triệt tiêu nhau. Tính chất này thường dùng ngầm khi rút gọn một biểu thức có nhiều dấu trừ liên tiếp đứng trước cùng một số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đứng trước

1
Tính $-\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6}\right)$ .
Tính $-\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6}\right)$.
2
Quy đồng mẫu 6: $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{5}{6} = \frac{4}{6}-\frac{3}{6}+\frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$ .
Quy đồng mẫu 6: $\frac{2}{3}-\frac{1}{2}+\frac{5}{6} = \frac{4}{6}-\frac{3}{6}+\frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
3
$-\left(1\right) = -1$ .
$-\left(1\right) = -1$.
4
Vậy $-\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6}\right) = -1$ .
Vậy $-\left(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6}\right) = -1$.

Ví dụ

Nhóm số hạng để triệt tiêu, tính nhanh

1
Tính nhanh $\left(\frac{3}{4} - \frac{7}{5}\right) + \left(\frac{7}{5} - \frac{1}{4}\right)$ .
Tính nhanh $\left(\frac{3}{4} - \frac{7}{5}\right) + \left(\frac{7}{5} - \frac{1}{4}\right)$.
2
$\frac{3}{4} - \frac{7}{5} + \frac{7}{5} - \frac{1}{4}$ .
$\frac{3}{4} - \frac{7}{5} + \frac{7}{5} - \frac{1}{4}$.
3
Nhóm $\left(-\frac{7}{5}+\frac{7}{5}\right)$ triệt tiêu bằng 0, còn lại $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .
Nhóm $\left(-\frac{7}{5}+\frac{7}{5}\right)$ triệt tiêu bằng 0, còn lại $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
4
Vậy $\left(\frac{3}{4} - \frac{7}{5}\right) + \left(\frac{7}{5} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$ , tính nhanh hơn nhiều so với quy đồng cả bốn số ngay từ đầu.
Vậy $\left(\frac{3}{4} - \frac{7}{5}\right) + \left(\frac{7}{5} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$, tính nhanh hơn nhiều so với quy đồng cả bốn số ngay từ đầu.

Ví dụ

Số tiền trong ví sau khi tiêu và được cho lại (dạng thi)

1
Trong ví có $\frac{3}{4}$ triệu đồng. Bạn tiêu mất $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right)$ triệu để mua sách, sau đó được mẹ cho lại đúng số tiền đã tiêu, cộng thêm $\frac{1}{10}$ triệu tiền quà. Hỏi trong ví hiện có bao nhiêu triệu đồng?
Trong ví có $\frac{3}{4}$ triệu đồng. Bạn tiêu mất $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right)$ triệu để mua sách, sau đó được mẹ cho lại đúng số tiền đã tiêu, cộng thêm $\frac{1}{10}$ triệu tiền quà. Hỏi trong ví hiện có bao nhiêu triệu đồng?
2
Số tiền còn lại là $\frac{3}{4} - \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) + \left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) + \frac{1}{10}\right]$ .
Số tiền còn lại là $\frac{3}{4} - \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) + \left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right) + \frac{1}{10}\right]$.
3
Cụm $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)$ xuất hiện một lần với dấu trừ và một lần với dấu cộng, nên triệt tiêu nhau. Biểu thức còn lại là $\frac{3}{4} + \frac{1}{10}$ .
Cụm $\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)$ xuất hiện một lần với dấu trừ và một lần với dấu cộng, nên triệt tiêu nhau. Biểu thức còn lại là $\frac{3}{4} + \frac{1}{10}$.
4
Mẫu chung 20: $\frac{15}{20} + \frac{2}{20} = \frac{17}{20}$ .
Mẫu chung 20: $\frac{15}{20} + \frac{2}{20} = \frac{17}{20}$.
5
Vậy trong ví hiện có $\frac{17}{20}$ triệu đồng.
Vậy trong ví hiện có $\frac{17}{20}$ triệu đồng.

Ví dụ

Bỏ ngoặc lồng nhau từ trong ra ngoài

1
Tính $\frac{1}{2} - \left[\frac{1}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)\right]$ .
Tính $\frac{1}{2} - \left[\frac{1}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)\right]$.
2
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20}-\frac{4}{20} = \frac{1}{20}$ .
$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{5}{20}-\frac{4}{20} = \frac{1}{20}$.
3
$\frac{1}{3} - \frac{1}{20} = \frac{20}{60}-\frac{3}{60} = \frac{17}{60}$ .
$\frac{1}{3} - \frac{1}{20} = \frac{20}{60}-\frac{3}{60} = \frac{17}{60}$.
4
$\frac{1}{2} - \frac{17}{60} = \frac{30}{60}-\frac{17}{60} = \frac{13}{60}$ .
$\frac{1}{2} - \frac{17}{60} = \frac{30}{60}-\frac{17}{60} = \frac{13}{60}$.
5
Vậy $\frac{1}{2} - \left[\frac{1}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)\right] = \frac{13}{60}$ — mỗi lớp ngoặc được xử lý riêng, từ trong ra ngoài, không gộp chung dấu.
Vậy $\frac{1}{2} - \left[\frac{1}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{5}\right)\right] = \frac{13}{60}$ — mỗi lớp ngoặc được xử lý riêng, từ trong ra ngoài, không gộp chung dấu.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên đổi dấu MỌI số hạng bên trong ngoặc khi trước ngoặc là dấu trừ — nhiều bạn chỉ đổi dấu số hạng đầu tiên rồi giữ nguyên các số còn lại. Một lỗi khác là nhóm nhầm hai số hạng không thực sự đối nhau (khác cả tử lẫn mẫu) rồi vẫn coi là triệt tiêu, ra kết quả sai.

Một cách tự kiểm tra hữu ích sau khi bỏ ngoặc: đếm xem biểu thức trước và sau khi bỏ ngoặc có cùng số lượng số hạng hay không (bỏ ngoặc không được làm mất hay sinh thêm số hạng nào), và nếu còn nghi ngờ, có thể thay các phân số bằng những số thập phân đơn giản, tính cả hai vế bằng máy tính rồi so sánh — cách này không thay thế cho việc hiểu quy tắc, nhưng là một lưới an toàn tốt khi làm bài kiểm tra.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Trước ngoặc là dấu $+$ : bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu bên trong. Trước ngoặc là dấu $-$ : bỏ ngoặc, đổi dấu tất cả bên trong. Dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các số hạng đối nhau lại, giúp triệt tiêu và tính nhanh. Với ngoặc lồng nhau, xử lý từ trong ra ngoài, xét đúng dấu của từng lớp riêng biệt. Số đối của số đối luôn quay lại chính số ban đầu: $-(-x)=x$ .

Trước ngoặc là dấu $+$: bỏ ngoặc, giữ nguyên dấu bên trong. Trước ngoặc là dấu $-$: bỏ ngoặc, đổi dấu tất cả bên trong. Dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các số hạng đối nhau lại, giúp triệt tiêu và tính nhanh. Với ngoặc lồng nhau, xử lý từ trong ra ngoài, xét đúng dấu của từng lớp riêng biệt. Số đối của số đối luôn quay lại chính số ban đầu: $-(-x)=x$.

Chương tiếp theo học phép nhân và phép chia số hữu tỉ, rồi ghép cả bốn phép tính vào một biểu thức hỗn hợp duy nhất.