Bài học

Đặt nhân tử chung

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được một đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung, kể cả khi nhân tử chung là một đa thức (chẳng hạn $(x+1)$ ) chứ không chỉ là một đơn thức, và xử lí đúng dấu khi hệ số cao nhất của đa thức là số âm.

Sau bài này, em phân tích được một đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung, kể cả khi nhân tử chung là một đa thức (chẳng hạn $(x+1)$) chứ không chỉ là một đơn thức, và xử lí đúng dấu khi hệ số cao nhất của đa thức là số âm.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở Khóa 1 em đã học nhân đơn thức với đa thức: $a(b+c) = ab+ac$ . Phân tích đa thức thành nhân tử là làm ngược lại — cho vế phải $ab+ac$ , em cần tìm lại vế trái $a(b+c)$ . Em cũng cần nhớ ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số đã học ở lớp 6, và quy tắc nhân số mũ cùng cơ số $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ để nhận ra biến chung với số mũ nhỏ nhất.

Ở Khóa 1 em đã học nhân đơn thức với đa thức: $a(b+c) = ab+ac$. Phân tích đa thức thành nhân tử là làm ngược lại — cho vế phải $ab+ac$, em cần tìm lại vế trái $a(b+c)$. Em cũng cần nhớ ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các số đã học ở lớp 6, và quy tắc nhân số mũ cùng cơ số $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ để nhận ra biến chung với số mũ nhỏ nhất.

Khởi động

Một cửa hàng bán 23 hộp bút giá 47 nghìn đồng và 23 hộp thước giá 53 nghìn đồng. Muốn tính tổng tiền $23 \times 47 + 23 \times 53$ mà không nhân từng số lớn, em có thể gộp: $23 \times (47+53) = 23 \times 100 = 2300$ (nghìn đồng). Bài học hôm nay dạy em làm đúng thao tác gộp này với đa thức chứa chữ, gọi là đặt nhân tử chung.

Kiến thức trọng tâm

Nhân tử chung của các hạng tử trong một đa thức gồm hai phần: phần số là ƯCLN của các hệ số, phần biến là mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ nhất mà nó xuất hiện. Muốn đặt nhân tử chung, em làm ba việc theo thứ tự: tìm nhân tử chung của tất cả hạng tử; chia từng hạng tử cho nhân tử chung đó để được đa thức còn lại trong ngoặc; viết kết quả dưới dạng tích của nhân tử chung với đa thức còn lại. Ta có $ab+ac = a(b+c)$ , nên khi gặp $6x^2y - 9xy^2$ , hệ số 6 và 9 có ƯCLN là 3, biến chung $x$ và $y$ đều xuất hiện với số mũ nhỏ nhất là 1, vậy nhân tử chung là $3xy$ .

Nhân tử chung của các hạng tử trong một đa thức gồm hai phần: phần số là ƯCLN của các hệ số, phần biến là mỗi biến chung lấy với số mũ nhỏ nhất mà nó xuất hiện. Muốn đặt nhân tử chung, em làm ba việc theo thứ tự: tìm nhân tử chung của tất cả hạng tử; chia từng hạng tử cho nhân tử chung đó để được đa thức còn lại trong ngoặc; viết kết quả dưới dạng tích của nhân tử chung với đa thức còn lại. Ta có $ab+ac = a(b+c)$, nên khi gặp $6x^2y - 9xy^2$, hệ số 6 và 9 có ƯCLN là 3, biến chung $x$ và $y$ đều xuất hiện với số mũ nhỏ nhất là 1, vậy nhân tử chung là $3xy$.

Nhân tử chung không nhất thiết là một đơn thức. Khi hai hạng tử của đa thức đã tự chứa cùng một đa thức con — ví dụ cùng chứa $(x+1)$ — thì chính đa thức con đó là nhân tử chung, và em đặt nó ra ngoài y hệt như đặt một đơn thức. Muốn nhìn thấy dạng nhân tử chung này, hãy nhóm mắt vào phần lặp lại giữa các hạng tử trước khi vội nhân phá ngoặc.

Một hình chữ nhật 3×9 ô được chia dọc thành 3×4 và 3×5 — diện tích gộp

3\times 9

đúng bằng tổng hai phần

3\times 4 + 3\times 5

. Đây là mô hình diện tích cho đẳng thức

a(b+c)=ab+ac

: gộp hai hình chữ nhật cùng chiều rộng

a

thành một hình chữ nhật lớn.Một hình chữ nhật 3×9 ô được chia dọc thành 3×4 và 3×5 — diện tích gộp $3\times 9$ đúng bằng tổng hai phần $3\times 4 + 3\times 5$. Đây là mô hình diện tích cho đẳng thức $a(b+c)=ab+ac$: gộp hai hình chữ nhật cùng chiều rộng $a$ thành một hình chữ nhật lớn.

Nhìn vào lưới trên, hai hình chữ nhật con cùng có chiều rộng 3 ô — đó chính là nhân tử chung. Gộp chúng lại theo chiều rộng đó cho một hình chữ nhật lớn duy nhất, đúng là thao tác đặt nhân tử chung mà em sắp luyện tập với chữ thay vì số.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Đặt nhân tử chung — trường hợp cơ bản

1
Phân tích đa thức $6x^2y - 9xy^2$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $6x^2y - 9xy^2$ thành nhân tử.
2
Hệ số: ƯCLN $(6,9) = 3$ . Biến: $x$ xuất hiện ở cả hai hạng tử với số mũ nhỏ nhất là 1 (tại $-9xy^2$ ), $y$ cũng vậy (tại $6x^2y$ ). Vậy nhân tử chung là $3xy$ .
Hệ số: ƯCLN$(6,9) = 3$. Biến: $x$ xuất hiện ở cả hai hạng tử với số mũ nhỏ nhất là 1 (tại $-9xy^2$), $y$ cũng vậy (tại $6x^2y$). Vậy nhân tử chung là $3xy$.
3
Ta có $6x^2y : 3xy = 2x$ và $-9xy^2 : 3xy = -3y$ .
Ta có $6x^2y : 3xy = 2x$ và $-9xy^2 : 3xy = -3y$.
4
Vậy $6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x-3y)$ . Kiểm tra bằng cách nhân lại: $3xy \cdot 2x - 3xy \cdot 3y = 6x^2y - 9xy^2$ , đúng như đề bài.
Vậy $6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x-3y)$. Kiểm tra bằng cách nhân lại: $3xy \cdot 2x - 3xy \cdot 3y = 6x^2y - 9xy^2$, đúng như đề bài.

Ví dụ

Nhân tử chung là một đa thức

1
Phân tích đa thức $4x(x+1) - 8(x+1)$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $4x(x+1) - 8(x+1)$ thành nhân tử.
2
Cả hai hạng tử đều chứa đa thức $(x+1)$ như một khối, nên $(x+1)$ chính là nhân tử chung, dù nó không phải một đơn thức đơn giản.
Cả hai hạng tử đều chứa đa thức $(x+1)$ như một khối, nên $(x+1)$ chính là nhân tử chung, dù nó không phải một đơn thức đơn giản.
3
Chia $4x(x+1)$ cho $(x+1)$ được $4x$ ; chia $-8(x+1)$ cho $(x+1)$ được $-8$ . Do đó $4x(x+1) - 8(x+1) = (x+1)(4x-8)$ .
Chia $4x(x+1)$ cho $(x+1)$ được $4x$; chia $-8(x+1)$ cho $(x+1)$ được $-8$. Do đó $4x(x+1) - 8(x+1) = (x+1)(4x-8)$.
4
Đa thức trong ngoặc thứ hai, $4x-8$ , vẫn còn nhân tử chung là 4: $4x-8 = 4(x-2)$ . Vậy kết quả đầy đủ là $(x+1)(4x-8) = 4(x+1)(x-2)$ .
Đa thức trong ngoặc thứ hai, $4x-8$, vẫn còn nhân tử chung là 4: $4x-8 = 4(x-2)$. Vậy kết quả đầy đủ là $(x+1)(4x-8) = 4(x+1)(x-2)$.

Ví dụ thứ hai cho thấy một điều quan trọng: sau khi đặt nhân tử chung một lần, đa thức còn lại trong ngoặc có thể vẫn còn nhân tử chung. Một đa thức chỉ được coi là phân tích xong khi mỗi nhân tử trong tích không còn nhân tử chung nào để đặt tiếp.

Ví dụ

Đặt nhân tử chung với hệ số âm

1
Phân tích đa thức $-8x^2y + 12xy^2$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $-8x^2y + 12xy^2$ thành nhân tử.
2
ƯCLN $(8,12) = 4$ . Cả hai hệ số đều âm hoặc có thể quy về âm, nên ta chọn nhân tử chung mang dấu âm để hạng tử đầu trong ngoặc mang dấu dương, giúp lời giải gọn hơn: nhân tử chung là $-4xy$ .
ƯCLN$(8,12) = 4$. Cả hai hệ số đều âm hoặc có thể quy về âm, nên ta chọn nhân tử chung mang dấu âm để hạng tử đầu trong ngoặc mang dấu dương, giúp lời giải gọn hơn: nhân tử chung là $-4xy$.
3
$-8x^2y : (-4xy) = 2x$ ; $12xy^2 : (-4xy) = -3y$ .
$-8x^2y : (-4xy) = 2x$; $12xy^2 : (-4xy) = -3y$.
4
Vậy $-8x^2y + 12xy^2 = -4xy(2x-3y)$ . Nếu chọn nhân tử chung dương $4xy$ thì kết quả là $4xy(-2x+3y)$ — cũng đúng, nhưng cách viết với nhân tử chung âm ở trên thường được ưa chuộng hơn vì dấu trong ngoặc gọn và thống nhất.
Vậy $-8x^2y + 12xy^2 = -4xy(2x-3y)$. Nếu chọn nhân tử chung dương $4xy$ thì kết quả là $4xy(-2x+3y)$ — cũng đúng, nhưng cách viết với nhân tử chung âm ở trên thường được ưa chuộng hơn vì dấu trong ngoặc gọn và thống nhất.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Ứng dụng vào bài toán diện tích mảnh đất

1
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $6x^2+9x$ (đơn vị $m^2$ , $x>0$ ). Biết chiều rộng của mảnh đất là $3x$ (m). Tính chiều dài theo $x$ .
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $6x^2+9x$ (đơn vị $m^2$, $x>0$). Biết chiều rộng của mảnh đất là $3x$ (m). Tính chiều dài theo $x$.
2
Ta có ƯCLN $(6,9)=3$ và biến chung là $x$ , nên nhân tử chung là $3x$ . Chia từng hạng tử: $6x^2:3x=2x$ , $9x:3x=3$ . Vậy $6x^2+9x = 3x(2x+3)$ .
Ta có ƯCLN$(6,9)=3$ và biến chung là $x$, nên nhân tử chung là $3x$. Chia từng hạng tử: $6x^2:3x=2x$, $9x:3x=3$. Vậy $6x^2+9x = 3x(2x+3)$.
3
Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng, tức $S = 3x(2x+3)$ . So với chiều rộng đã cho là $3x$ , thừa số còn lại $(2x+3)$ chính là chiều dài.
Diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng, tức $S = 3x(2x+3)$. So với chiều rộng đã cho là $3x$, thừa số còn lại $(2x+3)$ chính là chiều dài.
4
Vậy chiều dài mảnh đất là $(2x+3)$ m. Với $x>0$ , chiều dài này luôn dương, phù hợp với một kích thước thực tế.
Vậy chiều dài mảnh đất là $(2x+3)$ m. Với $x>0$, chiều dài này luôn dương, phù hợp với một kích thước thực tế.

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Một sai lầm phổ biến là chỉ đặt nhân tử chung của MỘT vài hạng tử rồi dừng lại, bỏ sót hạng tử còn lại — ví dụ viết $6x^2y-9xy^2 = 3x(2xy-3y^2)$ , quên rằng $y$ cũng là biến chung nên đáng lẽ phải nằm trong nhân tử chung $3xy$ . Sai lầm thứ hai là ở ví dụ có nhân tử chung là đa thức: nhiều bạn nhân phá ngoặc $4x(x+1)-8(x+1)$ ra thành $4x^2+4x-8x-8$ trước, rồi loay hoay tìm nhân tử chung từ đầu — vừa mất thời gian vừa dễ tính sai. Hãy quan sát đề bài trước: nếu hai hạng tử đã cùng chứa một đa thức con giống hệt nhau, đặt nhân tử chung ngay, đừng phá ngoặc.

Một sai lầm phổ biến là chỉ đặt nhân tử chung của MỘT vài hạng tử rồi dừng lại, bỏ sót hạng tử còn lại — ví dụ viết $6x^2y-9xy^2 = 3x(2xy-3y^2)$, quên rằng $y$ cũng là biến chung nên đáng lẽ phải nằm trong nhân tử chung $3xy$. Sai lầm thứ hai là ở ví dụ có nhân tử chung là đa thức: nhiều bạn nhân phá ngoặc $4x(x+1)-8(x+1)$ ra thành $4x^2+4x-8x-8$ trước, rồi loay hoay tìm nhân tử chung từ đầu — vừa mất thời gian vừa dễ tính sai. Hãy quan sát đề bài trước: nếu hai hạng tử đã cùng chứa một đa thức con giống hệt nhau, đặt nhân tử chung ngay, đừng phá ngoặc.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đặt nhân tử chung là bước đầu tiên cần thử với mọi đa thức: tìm ƯCLN của các hệ số, lấy mỗi biến chung với số mũ nhỏ nhất, rồi chia từng hạng tử cho nhân tử chung đó. Nhân tử chung có thể là một đa thức chứ không chỉ một đơn thức. Sau khi đặt xong, luôn kiểm tra đa thức còn lại trong ngoặc có còn nhân tử chung để đặt tiếp hay không.

Cầu nối

Không phải đa thức nào cũng có nhân tử chung cho TẤT CẢ hạng tử ngay từ đầu — ví dụ $x^3-x^2+x-1$ không có một nhân tử chung duy nhất cho cả bốn hạng tử. Bài học sau dạy em cách chia đa thức thành từng nhóm nhỏ để mỗi nhóm tự lộ ra nhân tử chung riêng, gọi là phương pháp nhóm hạng tử.