Bài học

Nhóm hạng tử

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được một đa thức bốn hạng tử (không có nhân tử chung cho cả bốn hạng tử cùng lúc) thành nhân tử bằng cách chia đa thức thành từng nhóm, rồi đặt nhân tử chung của từng nhóm trước khi đặt tiếp nhân tử chung mới xuất hiện.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã luyện đặt nhân tử chung khi cả đa thức có sẵn một nhân tử chung duy nhất. Nhưng nhiều đa thức không có tính chất đó. Xét $x^3 - x^2 + x - 1$ : hệ số các hạng tử là $1,-1,1,-1$ , ƯCLN bằng 1, còn biến thì hạng tử cuối $-1$ không chứa $x$ — nên không tồn tại một nhân tử chung áp dụng cho cả bốn hạng tử. Bài học này xử lí đúng trường hợp đó.

Bài trước em đã luyện đặt nhân tử chung khi cả đa thức có sẵn một nhân tử chung duy nhất. Nhưng nhiều đa thức không có tính chất đó. Xét $x^3 - x^2 + x - 1$: hệ số các hạng tử là $1,-1,1,-1$, ƯCLN bằng 1, còn biến thì hạng tử cuối $-1$ không chứa $x$ — nên không tồn tại một nhân tử chung áp dụng cho cả bốn hạng tử. Bài học này xử lí đúng trường hợp đó.

Khởi động

Nhìn kĩ bốn hạng tử của $x^3 - x^2 + x - 1$ , em sẽ thấy hai hạng tử đầu $x^3, -x^2$ cùng chứa $x^2$ , còn hai hạng tử sau $x, -1$ đứng riêng nhưng vẫn có quan hệ với hai hạng tử đầu. Nếu tách đa thức thành hai nhóm $(x^3-x^2)$ và $(x-1)$ , mỗi nhóm lại tự có nhân tử chung của riêng nó. Đó chính là ý tưởng của phương pháp nhóm hạng tử.

Nhìn kĩ bốn hạng tử của $x^3 - x^2 + x - 1$, em sẽ thấy hai hạng tử đầu $x^3, -x^2$ cùng chứa $x^2$, còn hai hạng tử sau $x, -1$ đứng riêng nhưng vẫn có quan hệ với hai hạng tử đầu. Nếu tách đa thức thành hai nhóm $(x^3-x^2)$ và $(x-1)$, mỗi nhóm lại tự có nhân tử chung của riêng nó. Đó chính là ý tưởng của phương pháp nhóm hạng tử.

Kiến thức trọng tâm

Nhóm hạng tử là cách chia các hạng tử của đa thức thành hai (hoặc nhiều) nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung riêng, và sau khi đặt nhân tử chung của từng nhóm, các nhóm lại cùng xuất hiện một nhân tử chung mới — thường là một đa thức. Quy trình gồm bốn bước: chia đa thức thành các nhóm hợp lí (thường 2 hạng tử một nhóm với đa thức bốn hạng tử); đặt nhân tử chung của từng nhóm; kiểm tra các nhóm sau khi đặt nhân tử chung có xuất hiện một nhân tử chung mới hay không; nếu có, đặt tiếp nhân tử chung đó ra ngoài.

Điểm khó nhất của phương pháp này không phải là kĩ thuật tính toán, mà là chọn đúng cách nhóm. Cùng bốn hạng tử, có thể có nhiều cách nhóm khác nhau, nhưng chỉ một (hoặc một vài) cách cho ra nhân tử chung mới ở bước ba. Nếu nhóm xong mà hai nhóm không có nhân tử chung nào giống nhau, đó là dấu hiệu cần đổi cách nhóm khác, chứ không phải đa thức không phân tích được.

Quy trình nhóm hạng tử cho đa thức bốn hạng tử: nếu bước kiểm tra nhân tử chung mới thất bại, quay lại bước chọn cách nhóm khác thay vì kết luận đa thức không phân tích được.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Nhóm hạng tử — bốn hạng tử một biến

1
Phân tích đa thức $x^3 - x^2 + x - 1$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $x^3 - x^2 + x - 1$ thành nhân tử.
2
Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau: $(x^3-x^2) + (x-1)$ .
Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử sau: $(x^3-x^2) + (x-1)$.
3
Nhóm $(x^3-x^2)$ có nhân tử chung $x^2$ : $x^3-x^2 = x^2(x-1)$ . Nhóm $(x-1)$ đã gọn, giữ nguyên.
Nhóm $(x^3-x^2)$ có nhân tử chung $x^2$: $x^3-x^2 = x^2(x-1)$. Nhóm $(x-1)$ đã gọn, giữ nguyên.
4
Hai nhóm cùng chứa đa thức $(x-1)$ : $x^2(x-1) + (x-1) = (x-1)(x^2+1)$ .
Hai nhóm cùng chứa đa thức $(x-1)$: $x^2(x-1) + (x-1) = (x-1)(x^2+1)$.
5
Vậy $x^3-x^2+x-1 = (x-1)(x^2+1)$ . Thừa số $x^2+1$ luôn dương với mọi $x$ nên không còn phân tích được bằng công cụ lớp 8, kết quả đã trọn vẹn.
Vậy $x^3-x^2+x-1 = (x-1)(x^2+1)$. Thừa số $x^2+1$ luôn dương với mọi $x$ nên không còn phân tích được bằng công cụ lớp 8, kết quả đã trọn vẹn.

Ví dụ

Nhóm hạng tử — đa thức hai biến

1
Phân tích đa thức $xy + xz + 2y + 2z$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $xy + xz + 2y + 2z$ thành nhân tử.
2
Nhóm hạng tử chứa $x$ với nhau, hạng tử còn lại với nhau: $(xy+xz) + (2y+2z)$ .
Nhóm hạng tử chứa $x$ với nhau, hạng tử còn lại với nhau: $(xy+xz) + (2y+2z)$.
3
$xy+xz = x(y+z)$ ; $2y+2z = 2(y+z)$ .
$xy+xz = x(y+z)$; $2y+2z = 2(y+z)$.
4
Cả hai nhóm cùng chứa $(y+z)$ : $x(y+z)+2(y+z) = (y+z)(x+2)$ .
Cả hai nhóm cùng chứa $(y+z)$: $x(y+z)+2(y+z) = (y+z)(x+2)$.
5
Vậy $xy+xz+2y+2z = (y+z)(x+2)$ .
Vậy $xy+xz+2y+2z = (y+z)(x+2)$.

Trong ví dụ trên, nếu em lỡ nhóm theo cách khác — chẳng hạn $(xy+2y)$ và $(xz+2z)$ — vẫn ra kết quả đúng vì $(xy+2y)+(xz+2z) = y(x+2)+z(x+2) = (x+2)(y+z)$ , cùng một kết quả viết theo thứ tự khác. Điều đó cho thấy có thể có nhiều cách nhóm ĐÚNG cho cùng một đa thức, miễn là bước kiểm tra nhân tử chung mới thành công.

Trong ví dụ trên, nếu em lỡ nhóm theo cách khác — chẳng hạn $(xy+2y)$ và $(xz+2z)$ — vẫn ra kết quả đúng vì $(xy+2y)+(xz+2z) = y(x+2)+z(x+2) = (x+2)(y+z)$, cùng một kết quả viết theo thứ tự khác. Điều đó cho thấy có thể có nhiều cách nhóm ĐÚNG cho cùng một đa thức, miễn là bước kiểm tra nhân tử chung mới thành công.

Khi cách nhóm đầu tiên không phù hợp

Ví dụ

So sánh hai cách nhóm để chọn cách đúng

1
Phân tích đa thức $2x^2 - 3x - 2xy + 3y$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $2x^2 - 3x - 2xy + 3y$ thành nhân tử.
2
Nhóm $(2x^2-3x) + (-2xy+3y)$ : nhóm đầu có nhân tử chung $x$ , được $x(2x-3)$ ; nhóm sau có nhân tử chung $-y$ , được $-y(2x-3)$ . Hai nhóm cùng chứa $(2x-3)$ — cách nhóm này thành công.
Nhóm $(2x^2-3x) + (-2xy+3y)$: nhóm đầu có nhân tử chung $x$, được $x(2x-3)$; nhóm sau có nhân tử chung $-y$, được $-y(2x-3)$. Hai nhóm cùng chứa $(2x-3)$ — cách nhóm này thành công.
3
$x(2x-3) - y(2x-3) = (2x-3)(x-y)$ .
$x(2x-3) - y(2x-3) = (2x-3)(x-y)$.
4
Nếu nhóm $(2x^2-2xy)+(-3x+3y)$ thay vào: nhóm đầu có nhân tử chung $2x$ , được $2x(x-y)$ ; nhóm sau có nhân tử chung $-3$ , được $-3(x-y)$ . Hai nhóm lại cùng chứa $(x-y)$ , cũng cho kết quả $(x-y)(2x-3)$ — trùng với cách nhóm thứ nhất, chỉ khác thứ tự viết.
Nếu nhóm $(2x^2-2xy)+(-3x+3y)$ thay vào: nhóm đầu có nhân tử chung $2x$, được $2x(x-y)$; nhóm sau có nhân tử chung $-3$, được $-3(x-y)$. Hai nhóm lại cùng chứa $(x-y)$, cũng cho kết quả $(x-y)(2x-3)$ — trùng với cách nhóm thứ nhất, chỉ khác thứ tự viết.
5
Vậy $2x^2-3x-2xy+3y = (2x-3)(x-y)$ , dù nhóm theo cách nào trong hai cách hợp lí trên cũng ra cùng một kết quả — điều quan trọng là mỗi cách nhóm phải được kiểm tra bằng bước 4 (nhân tử chung mới), chứ không đoán bừa.
Vậy $2x^2-3x-2xy+3y = (2x-3)(x-y)$, dù nhóm theo cách nào trong hai cách hợp lí trên cũng ra cùng một kết quả — điều quan trọng là mỗi cách nhóm phải được kiểm tra bằng bước 4 (nhân tử chung mới), chứ không đoán bừa.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Dùng nhóm hạng tử để tính nhanh giá trị biểu thức

1
Tính giá trị của biểu thức $A = xy+xz+2y+2z$ tại $x=8$ , $y=3$ , $z=7$ .
Tính giá trị của biểu thức $A = xy+xz+2y+2z$ tại $x=8$, $y=3$, $z=7$.
2
Theo ví dụ đã làm ở trên, $A = xy+xz+2y+2z = (y+z)(x+2)$ .
Theo ví dụ đã làm ở trên, $A = xy+xz+2y+2z = (y+z)(x+2)$.
3
$y+z = 3+7 = 10$ ; $x+2 = 8+2 = 10$ . Do đó $A = 10 \times 10 = 100$ .
$y+z = 3+7 = 10$; $x+2 = 8+2 = 10$. Do đó $A = 10 \times 10 = 100$.
4
Vậy $A=100$ . Nếu thay trực tiếp vào biểu thức ban đầu, em phải tính $8\times 3 + 8\times 7 + 2\times 3 + 2\times 7 = 24+56+6+14=100$ — ra cùng kết quả nhưng mất nhiều bước cộng trừ hơn. Phân tích trước rồi thế số luôn nhanh và ít sai sót hơn khi số liệu lớn.
Vậy $A=100$. Nếu thay trực tiếp vào biểu thức ban đầu, em phải tính $8\times 3 + 8\times 7 + 2\times 3 + 2\times 7 = 24+56+6+14=100$ — ra cùng kết quả nhưng mất nhiều bước cộng trừ hơn. Phân tích trước rồi thế số luôn nhanh và ít sai sót hơn khi số liệu lớn.

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là chọn một cách nhóm rồi không kiểm tra bước 4 — cứ thế viết kết quả dù hai nhóm không hề chung nhân tử. Chẳng hạn với $x^3-x^2+x-1$ , nếu nhóm nhầm thành $(x^3+x) - (x^2+1)$ thì nhóm đầu có nhân tử chung $x$ ra $x(x^2+1)$ , nhóm sau không đặt được nhân tử chung nào khớp — cách nhóm này không dùng được, phải quay lại nhóm theo cách $(x^3-x^2)+(x-1)$ ở ví dụ mẫu. Sai lầm thứ hai là quên đổi dấu khi đặt nhân tử chung âm ở nhóm thứ hai, ví dụ đặt $-y$ ở nhóm $(-2xy+3y)$ mà quên đổi dấu hạng tử còn lại, khiến $-y(2x-3)$ bị viết nhầm thành $-y(2x+3)$ .

Sai lầm phổ biến nhất là chọn một cách nhóm rồi không kiểm tra bước 4 — cứ thế viết kết quả dù hai nhóm không hề chung nhân tử. Chẳng hạn với $x^3-x^2+x-1$, nếu nhóm nhầm thành $(x^3+x) - (x^2+1)$ thì nhóm đầu có nhân tử chung $x$ ra $x(x^2+1)$, nhóm sau không đặt được nhân tử chung nào khớp — cách nhóm này không dùng được, phải quay lại nhóm theo cách $(x^3-x^2)+(x-1)$ ở ví dụ mẫu. Sai lầm thứ hai là quên đổi dấu khi đặt nhân tử chung âm ở nhóm thứ hai, ví dụ đặt $-y$ ở nhóm $(-2xy+3y)$ mà quên đổi dấu hạng tử còn lại, khiến $-y(2x-3)$ bị viết nhầm thành $-y(2x+3)$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Nhóm hạng tử áp dụng khi cả đa thức không có sẵn nhân tử chung nhưng từng nhóm nhỏ thì có. Quy trình: chọn cách nhóm, đặt nhân tử chung từng nhóm, kiểm tra nhân tử chung mới, rồi đặt nhân tử chung mới đó ra ngoài. Nếu cách nhóm đầu tiên không cho ra nhân tử chung mới, đổi cách nhóm khác — đừng vội kết luận đa thức không phân tích được.

Cầu nối

Đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử đều dựa vào việc TÌM cấu trúc lặp lại trong đa thức. Bài học sau giới thiệu một công cụ khác: nhận ra dạng của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ẩn bên trong đa thức, để phân tích thành nhân tử chỉ bằng cách đọc ngược một công thức đã quen thuộc từ Khóa 2.