Bài học

Ứng dụng: giải phương trình tích, tính nhanh và chứng minh chia hết

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng được kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử để giải phương trình đưa về dạng tích, tính nhanh giá trị biểu thức, và chứng minh một biểu thức chứa số nguyên $n$ luôn chia hết cho một số cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã có đủ bốn công cụ phân tích: nhân tử chung, nhóm hạng tử, hằng đẳng thức, tách hạng tử. Bài này không dạy công cụ phân tích mới, mà cho em thấy VÌ SAO kĩ năng đó quan trọng — nó là chìa khóa mở ba dạng bài quen thuộc trong đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10.

Khởi động

Tìm $x$ biết $x^2-4=0$ . Em chưa học công thức nghiệm phương trình bậc hai, nhưng phân tích được vế trái: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Phương trình trở thành $(x-2)(x+2)=0$ . Một tích bằng $0$ khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng $0$ , nên $x-2=0$ hoặc $x+2=0$ , tức $x=2$ hoặc $x=-2$ . Đây chính là ứng dụng đầu tiên của bài học hôm nay.

Tìm $x$ biết $x^2-4=0$. Em chưa học công thức nghiệm phương trình bậc hai, nhưng phân tích được vế trái: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Phương trình trở thành $(x-2)(x+2)=0$. Một tích bằng $0$ khi và chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng $0$, nên $x-2=0$ hoặc $x+2=0$, tức $x=2$ hoặc $x=-2$. Đây chính là ứng dụng đầu tiên của bài học hôm nay.

Kiến thức trọng tâm

Ứng dụng 1 — Giải phương trình đưa về dạng tích: nếu vế trái của phương trình phân tích được thành tích các thừa số bậc nhất và vế phải bằng $0$ , ta dùng tính chất $A(x)\cdot B(x)=0 \iff A(x)=0$ hoặc $B(x)=0$ , rồi giải từng phương trình đơn giản hơn và gộp tất cả nghiệm tìm được. Ứng dụng 2 — Tính nhanh giá trị biểu thức: thay vì thế số trực tiếp vào biểu thức gốc (dễ ra số lớn, dễ tính sai), phân tích biểu thức thành nhân tử trước, rồi mới thay số — mỗi thừa số thường chỉ còn là một số nhỏ, phép nhân cuối cùng đơn giản hơn hẳn. Ứng dụng 3 — Chứng minh chia hết: nếu phân tích được biểu thức chứa biến nguyên $n$ thành tích chứa một thừa số là bội của số cần chứng minh (hoặc thành tích các số nguyên liên tiếp), thì cả biểu thức chia hết cho số đó, vì tích chia hết cho một số khi có ít nhất một thừa số chia hết cho số đó.

Ứng dụng 1 — Giải phương trình đưa về dạng tích: nếu vế trái của phương trình phân tích được thành tích các thừa số bậc nhất và vế phải bằng $0$, ta dùng tính chất $A(x)\cdot B(x)=0 \iff A(x)=0$ hoặc $B(x)=0$, rồi giải từng phương trình đơn giản hơn và gộp tất cả nghiệm tìm được. Ứng dụng 2 — Tính nhanh giá trị biểu thức: thay vì thế số trực tiếp vào biểu thức gốc (dễ ra số lớn, dễ tính sai), phân tích biểu thức thành nhân tử trước, rồi mới thay số — mỗi thừa số thường chỉ còn là một số nhỏ, phép nhân cuối cùng đơn giản hơn hẳn. Ứng dụng 3 — Chứng minh chia hết: nếu phân tích được biểu thức chứa biến nguyên $n$ thành tích chứa một thừa số là bội của số cần chứng minh (hoặc thành tích các số nguyên liên tiếp), thì cả biểu thức chia hết cho số đó, vì tích chia hết cho một số khi có ít nhất một thừa số chia hết cho số đó.

Ba ứng dụng này đều dựa trên MỘT quan sát chung: một khi đa thức đã ở dạng tích, các tính chất của phép nhân (tích bằng $0$ , tích của số nguyên liên tiếp, tích chia hết) trở nên dễ khai thác hơn hẳn so với khi đa thức còn ở dạng tổng các hạng tử rời rạc.

Ba ứng dụng này đều dựa trên MỘT quan sát chung: một khi đa thức đã ở dạng tích, các tính chất của phép nhân (tích bằng $0$, tích của số nguyên liên tiếp, tích chia hết) trở nên dễ khai thác hơn hẳn so với khi đa thức còn ở dạng tổng các hạng tử rời rạc.

Quy trình giải phương trình đưa về dạng tích: phân tích vế trái, đặt từng thừa số bằng 0, giải từng phương trình con, rồi gộp đủ mọi nghiệm tìm được.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Giải phương trình bằng hằng đẳng thức

1
Giải phương trình $x^2-4=0$ .
Giải phương trình $x^2-4=0$.
2
$x^2-4=(x-2)(x+2)$ , phương trình trở thành $(x-2)(x+2)=0$ .
$x^2-4=(x-2)(x+2)$, phương trình trở thành $(x-2)(x+2)=0$.
3
$x-2=0 \Rightarrow x=2$ ; hoặc $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ .
$x-2=0 \Rightarrow x=2$; hoặc $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.
4
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2$ và $x=-2$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=2$ và $x=-2$.

Ví dụ

Giải phương trình bằng nhân tử chung

1
Giải phương trình $2x^2-6x=0$ .
Giải phương trình $2x^2-6x=0$.
2
$2x^2-6x=2x(x-3)$ , phương trình trở thành $2x(x-3)=0$ .
$2x^2-6x=2x(x-3)$, phương trình trở thành $2x(x-3)=0$.
3
$2x=0 \Rightarrow x=0$ ; hoặc $x-3=0 \Rightarrow x=3$ .
$2x=0 \Rightarrow x=0$; hoặc $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
4
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=3$ .
Vậy phương trình có hai nghiệm $x=0$ và $x=3$.

Ví dụ

Tính nhanh giá trị biểu thức

1
Tính giá trị của $A=x^2-2xy+y^2$ tại $x=53$ , $y=43$ .
Tính giá trị của $A=x^2-2xy+y^2$ tại $x=53$, $y=43$.
2
$A=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ theo hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
$A=x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$ theo hằng đẳng thức bình phương của một hiệu.
3
$x-y=53-43=10$ , nên $A=10^2=100$ .
$x-y=53-43=10$, nên $A=10^2=100$.
4
Vậy $A=100$ . Nếu thay trực tiếp, em phải tính $53^2-2\times 53\times 43+43^2 = 2809-4558+1849=100$ — cùng kết quả nhưng phải nhân và trừ những số có ba, bốn chữ số, dễ sai sót hơn nhiều so với chỉ bình phương số $10$ .
Vậy $A=100$. Nếu thay trực tiếp, em phải tính $53^2-2\times 53\times 43+43^2 = 2809-4558+1849=100$ — cùng kết quả nhưng phải nhân và trừ những số có ba, bốn chữ số, dễ sai sót hơn nhiều so với chỉ bình phương số $10$.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Chứng minh chia hết bằng phân tích nhân tử

1
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ , biểu thức $n^3-n$ chia hết cho $6$ .
Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$, biểu thức $n^3-n$ chia hết cho $6$.
2
Đặt nhân tử chung $n$ : $n^3-n=n(n^2-1)$ . Đa thức $n^2-1$ khớp hiệu hai bình phương: $n^2-1=(n-1)(n+1)$ . Vậy $n^3-n=(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ .
Đặt nhân tử chung $n$: $n^3-n=n(n^2-1)$. Đa thức $n^2-1$ khớp hiệu hai bình phương: $n^2-1=(n-1)(n+1)$. Vậy $n^3-n=(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$.
3
Trong hai số nguyên liên tiếp $n-1$ và $n$ , luôn có một số chẵn, nên tích $(n-1)\cdot n$ chia hết cho $2$ . Do đó $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ cũng chia hết cho $2$ . (1)
Trong hai số nguyên liên tiếp $n-1$ và $n$, luôn có một số chẵn, nên tích $(n-1)\cdot n$ chia hết cho $2$. Do đó $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ cũng chia hết cho $2$. (1)
4
Trong ba số nguyên liên tiếp $n-1$ , $n$ , $n+1$ , luôn có đúng một số chia hết cho $3$ (vì ba số liên tiếp phủ hết ba số dư $0,1,2$ khi chia cho $3$ ), nên tích $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ chia hết cho $3$ . (2)
Trong ba số nguyên liên tiếp $n-1$, $n$, $n+1$, luôn có đúng một số chia hết cho $3$ (vì ba số liên tiếp phủ hết ba số dư $0,1,2$ khi chia cho $3$), nên tích $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ chia hết cho $3$. (2)
5
Từ (1) và (2), tích $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ vừa chia hết cho $2$ vừa chia hết cho $3$ , mà $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau, nên tích chia hết cho $2\times 3=6$ . Vậy $n^3-n$ chia hết cho $6$ với mọi số nguyên $n$ .
Từ (1) và (2), tích $(n-1)\cdot n\cdot(n+1)$ vừa chia hết cho $2$ vừa chia hết cho $3$, mà $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau, nên tích chia hết cho $2\times 3=6$. Vậy $n^3-n$ chia hết cho $6$ với mọi số nguyên $n$.

Bài toán chứng minh chia hết ở trên còn dạy em một thói quen trình bày quan trọng: đánh số các kết luận trung gian — (1) và (2) — rồi gộp chúng lại ở bước cuối cùng bằng lập luận " $2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau nên tích chia hết cho $2\times 3=6$ ". Cách trình bày có đánh số này không chỉ giúp bài giải rõ ràng hơn, mà còn là cách chấm điểm chuẩn của một bài chứng minh — người chấm cần thấy rõ từng lập luận nhỏ trước khi chấp nhận kết luận cuối.

Bài toán chứng minh chia hết ở trên còn dạy em một thói quen trình bày quan trọng: đánh số các kết luận trung gian — (1) và (2) — rồi gộp chúng lại ở bước cuối cùng bằng lập luận "$2$ và $3$ nguyên tố cùng nhau nên tích chia hết cho $2\times 3=6$". Cách trình bày có đánh số này không chỉ giúp bài giải rõ ràng hơn, mà còn là cách chấm điểm chuẩn của một bài chứng minh — người chấm cần thấy rõ từng lập luận nhỏ trước khi chấp nhận kết luận cuối.

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất khi giải phương trình dạng tích là chỉ lấy MỘT thừa số bằng $0$ rồi dừng lại, bỏ sót nghiệm — ví dụ với $(x-2)(x+2)=0$ , nhiều bạn chỉ ghi $x=2$ mà quên $x=-2$ . Sai lầm thứ hai là quên chuyển hết các hạng tử về MỘT vế trước khi phân tích — với phương trình $x^2=4x$ , phải viết lại thành $x^2-4x=0$ rồi mới phân tích $x(x-4)=0$ , chứ không được chia hai vế cho $x$ ngay (vì $x$ có thể bằng $0$ , chia cho $0$ làm mất nghiệm $x=0$ ).

Sai lầm phổ biến nhất khi giải phương trình dạng tích là chỉ lấy MỘT thừa số bằng $0$ rồi dừng lại, bỏ sót nghiệm — ví dụ với $(x-2)(x+2)=0$, nhiều bạn chỉ ghi $x=2$ mà quên $x=-2$. Sai lầm thứ hai là quên chuyển hết các hạng tử về MỘT vế trước khi phân tích — với phương trình $x^2=4x$, phải viết lại thành $x^2-4x=0$ rồi mới phân tích $x(x-4)=0$, chứ không được chia hai vế cho $x$ ngay (vì $x$ có thể bằng $0$, chia cho $0$ làm mất nghiệm $x=0$).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Phân tích thành nhân tử không chỉ để viết gọn — nó mở khóa ba kĩ năng: giải phương trình bằng cách đưa về dạng tích và đặt từng thừa số bằng $0$ ; tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách phân tích trước rồi thế số; và chứng minh chia hết bằng cách chỉ ra một thừa số (hoặc tích các số nguyên liên tiếp) chia hết cho số cần chứng minh.

Phân tích thành nhân tử không chỉ để viết gọn — nó mở khóa ba kĩ năng: giải phương trình bằng cách đưa về dạng tích và đặt từng thừa số bằng $0$; tính nhanh giá trị biểu thức bằng cách phân tích trước rồi thế số; và chứng minh chia hết bằng cách chỉ ra một thừa số (hoặc tích các số nguyên liên tiếp) chia hết cho số cần chứng minh.

Cầu nối

Em đã đi qua đủ bốn công cụ phân tích và ba ứng dụng của chúng. Bài ôn tập cuối khóa sẽ đưa em qua các bài toán tổng hợp, đòi hỏi tự nhận ra nên phối hợp công cụ nào — đúng như một đề kiểm tra thật sẽ yêu cầu, không còn gợi ý sẵn tên phương pháp trong đề bài.