Bài học

Phân tích bằng hằng đẳng thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra dạng của ba nhóm hằng đẳng thức đáng nhớ — hiệu hai bình phương, bình phương của một tổng/hiệu, tổng/hiệu hai lập phương — khi chúng ẩn bên trong một đa thức, và phân tích đa thức đó thành nhân tử bằng cách đọc ngược đúng công thức.

Kiến thức nền cần nhớ

Khóa 2 đã dạy em bảy hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều khai triển: $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ , $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$ , $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ , $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ , $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ , cùng hai công thức lập phương của tổng và hiệu. Phân tích thành nhân tử là đọc các công thức này theo chiều ngược lại: cho vế trái là dạng khai triển, tìm lại vế phải là dạng tích.

Khóa 2 đã dạy em bảy hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều khai triển: $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$, $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$, $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$, $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$, cùng hai công thức lập phương của tổng và hiệu. Phân tích thành nhân tử là đọc các công thức này theo chiều ngược lại: cho vế trái là dạng khai triển, tìm lại vế phải là dạng tích.

Khởi động

Nhìn biểu thức $9x^2-16$ : hai hạng tử, hạng tử đầu $9x^2 = (3x)^2$ là bình phương, hạng tử sau $16=4^2$ cũng là bình phương, và dấu giữa hai hạng tử là dấu trừ. Đúng ba dấu hiệu này khớp với vế trái của công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ , với $A=3x$ , $B=4$ . Bài học hôm nay luyện cho em kĩ năng đọc nhanh những dấu hiệu như vậy.

Nhìn biểu thức $9x^2-16$: hai hạng tử, hạng tử đầu $9x^2 = (3x)^2$ là bình phương, hạng tử sau $16=4^2$ cũng là bình phương, và dấu giữa hai hạng tử là dấu trừ. Đúng ba dấu hiệu này khớp với vế trái của công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, với $A=3x$, $B=4$. Bài học hôm nay luyện cho em kĩ năng đọc nhanh những dấu hiệu như vậy.

Kiến thức trọng tâm

Để nhận diện đúng hằng đẳng thức, em kiểm tra theo ba dấu hiệu: đếm số hạng tử, kiểm tra hệ số có phải số chính phương hoặc lập phương hay không, rồi so khớp dấu với công thức. Đa thức 2 hạng tử, cả hai đều là bình phương và mang dấu trừ giữa chúng → hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ . Đa thức 3 hạng tử, hai hạng tử ngoài là bình phương và hạng tử giữa bằng đúng hai lần tích hai căn đó → bình phương của một tổng hoặc hiệu, tùy dấu hạng tử giữa: $A^2 \pm 2AB + B^2 = (A\pm B)^2$ . Đa thức 2 hạng tử, cả hai đều là lập phương → tổng hoặc hiệu hai lập phương, theo đúng công thức tương ứng.

Để nhận diện đúng hằng đẳng thức, em kiểm tra theo ba dấu hiệu: đếm số hạng tử, kiểm tra hệ số có phải số chính phương hoặc lập phương hay không, rồi so khớp dấu với công thức. Đa thức 2 hạng tử, cả hai đều là bình phương và mang dấu trừ giữa chúng → hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$. Đa thức 3 hạng tử, hai hạng tử ngoài là bình phương và hạng tử giữa bằng đúng hai lần tích hai căn đó → bình phương của một tổng hoặc hiệu, tùy dấu hạng tử giữa: $A^2 \pm 2AB + B^2 = (A\pm B)^2$. Đa thức 2 hạng tử, cả hai đều là lập phương → tổng hoặc hiệu hai lập phương, theo đúng công thức tương ứng.

Việc nhận diện quan trọng hơn việc nhớ công thức, vì công thức em đã thuộc từ Khóa 2 — cái mới ở đây là thói quen ĐẾM hạng tử và KIỂM TRA hệ số trước khi áp dụng, để tránh ép một đa thức vào một hằng đẳng thức mà nó không thực sự khớp.

Quy trình nhận diện dạng hằng đẳng thức trước khi viết kết quả — bỏ qua bước kiểm tra hệ số dễ dẫn đến ép một đa thức vào công thức mà nó không thật sự khớp.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Hiệu hai bình phương

1
Phân tích đa thức $9x^2-16$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $9x^2-16$ thành nhân tử.
2
Hai hạng tử: $9x^2=(3x)^2$ , $16=4^2$ , dấu giữa là dấu trừ. Khớp dạng $A^2-B^2$ với $A=3x$ , $B=4$ .
Hai hạng tử: $9x^2=(3x)^2$, $16=4^2$, dấu giữa là dấu trừ. Khớp dạng $A^2-B^2$ với $A=3x$, $B=4$.
3
Theo công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ , ta có $9x^2-16 = (3x-4)(3x+4)$ .
Theo công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, ta có $9x^2-16 = (3x-4)(3x+4)$.
4
Vậy $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$ . Kiểm tra nhanh: $(3x)^2-4^2=9x^2-16$ , đúng đề bài.
Vậy $9x^2-16=(3x-4)(3x+4)$. Kiểm tra nhanh: $(3x)^2-4^2=9x^2-16$, đúng đề bài.

Ví dụ

Bình phương của một hiệu

1
Phân tích đa thức $x^2-6x+9$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $x^2-6x+9$ thành nhân tử.
2
Ba hạng tử: $x^2=x^2$ , $9=3^2$ là hai bình phương ngoài cùng. Hạng tử giữa $-6x$ có bằng $-2\cdot x\cdot 3 = -6x$ không? Đúng. Khớp dạng $A^2-2AB+B^2$ với $A=x$ , $B=3$ .
Ba hạng tử: $x^2=x^2$, $9=3^2$ là hai bình phương ngoài cùng. Hạng tử giữa $-6x$ có bằng $-2\cdot x\cdot 3 = -6x$ không? Đúng. Khớp dạng $A^2-2AB+B^2$ với $A=x$, $B=3$.
3
Theo công thức $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$ , ta có $x^2-6x+9=(x-3)^2$ .
Theo công thức $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$, ta có $x^2-6x+9=(x-3)^2$.
4
Vậy $x^2-6x+9=(x-3)^2$ . Khai triển lại: $(x-3)^2=x^2-6x+9$ , khớp đề bài.
Vậy $x^2-6x+9=(x-3)^2$. Khai triển lại: $(x-3)^2=x^2-6x+9$, khớp đề bài.

Ví dụ

Tổng hai lập phương

1
Phân tích đa thức $8x^3+1$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $8x^3+1$ thành nhân tử.
2
Hai hạng tử: $8x^3=(2x)^3$ , $1=1^3$ , dấu giữa là dấu cộng. Khớp dạng $A^3+B^3$ với $A=2x$ , $B=1$ .
Hai hạng tử: $8x^3=(2x)^3$, $1=1^3$, dấu giữa là dấu cộng. Khớp dạng $A^3+B^3$ với $A=2x$, $B=1$.
3
Theo công thức $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$ , ta có $8x^3+1=(2x+1)\big((2x)^2-2x\cdot 1+1^2\big) = (2x+1)(4x^2-2x+1)$ .
Theo công thức $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$, ta có $8x^3+1=(2x+1)\big((2x)^2-2x\cdot 1+1^2\big) = (2x+1)(4x^2-2x+1)$.
4
Vậy $8x^3+1=(2x+1)(4x^2-2x+1)$ . Thừa số bậc hai $4x^2-2x+1$ không còn khớp dạng hằng đẳng thức nào khác nên kết quả đã trọn vẹn.
Vậy $8x^3+1=(2x+1)(4x^2-2x+1)$. Thừa số bậc hai $4x^2-2x+1$ không còn khớp dạng hằng đẳng thức nào khác nên kết quả đã trọn vẹn.

Ví dụ

Hằng đẳng thức với đa thức hai biến

1
Phân tích đa thức $4x^2-12xy+9y^2$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $4x^2-12xy+9y^2$ thành nhân tử.
2
Ba hạng tử: $4x^2=(2x)^2$ , $9y^2=(3y)^2$ là hai bình phương ngoài cùng. Hạng tử giữa $-12xy$ có bằng $-2\cdot 2x\cdot 3y = -12xy$ không? Đúng. Khớp dạng $A^2-2AB+B^2$ với $A=2x$ , $B=3y$ .
Ba hạng tử: $4x^2=(2x)^2$, $9y^2=(3y)^2$ là hai bình phương ngoài cùng. Hạng tử giữa $-12xy$ có bằng $-2\cdot 2x\cdot 3y = -12xy$ không? Đúng. Khớp dạng $A^2-2AB+B^2$ với $A=2x$, $B=3y$.
3
Theo công thức $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$ : $4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2$ .
Theo công thức $A^2-2AB+B^2=(A-B)^2$: $4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2$.
4
Vậy $4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2$ . Đa thức hai biến vẫn nhận diện bằng đúng ba dấu hiệu như đa thức một biến, chỉ khác $A$ , $B$ nay là các đơn thức chứa hai chữ.
Vậy $4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2$. Đa thức hai biến vẫn nhận diện bằng đúng ba dấu hiệu như đa thức một biến, chỉ khác $A$, $B$ nay là các đơn thức chứa hai chữ.

Bốn ví dụ trên cho thấy quy trình nhận diện dùng được cho cả đa thức một biến lẫn hai biến, và cho cả bậc hai lẫn bậc ba — điều cố định luôn là ba dấu hiệu đếm hạng tử, kiểm tra hệ số, so khớp dấu, chứ không phải dạng bậc hay số biến cụ thể. Khi hệ số không phải số chính phương hay lập phương — ví dụ $5x^2-7$ — hằng đẳng thức không áp dụng được, và đa thức đó thực ra không phân tích tiếp được bằng công cụ lớp 8.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Dùng hiệu hai bình phương để tính nhanh

1
Tính nhanh giá trị của $2025^2 - 2024^2$ mà không bình phương từng số.
Tính nhanh giá trị của $2025^2 - 2024^2$ mà không bình phương từng số.
2
Biểu thức có dạng $A^2-B^2$ với $A=2025$ , $B=2024$ .
Biểu thức có dạng $A^2-B^2$ với $A=2025$, $B=2024$.
3
Theo công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ : $2025^2-2024^2 = (2025-2024)(2025+2024) = 1 \times 4049$ .
Theo công thức $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$: $2025^2-2024^2 = (2025-2024)(2025+2024) = 1 \times 4049$.
4
Vậy $2025^2-2024^2 = 4049$ . Cách tính này tránh việc bình phương hai số có bốn chữ số — một mẹo tính nhanh thường gặp trong đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10.
Vậy $2025^2-2024^2 = 4049$. Cách tính này tránh việc bình phương hai số có bốn chữ số — một mẹo tính nhanh thường gặp trong đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10.

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là ép một tổng hai bình phương như $x^2+9$ vào công thức hiệu hai bình phương — nhưng $x^2+9$ mang dấu CỘNG nên KHÔNG phân tích được bằng công cụ lớp 8 (nó không bằng $(x-3)(x+3)$ , vì khai triển ra sẽ có $-9$ chứ không phải $+9$ ). Sai lầm thứ hai là quên kiểm tra hạng tử giữa khi dùng bình phương của tổng/hiệu: $x^2+5x+9$ có hai hạng tử ngoài là bình phương nhưng hạng tử giữa $5x \ne 2\cdot x\cdot 3=6x$ , nên KHÔNG phải $(x+3)^2$ — nhiều bạn chỉ nhìn hai đầu mà quên đối chiếu hạng tử giữa.

Sai lầm phổ biến nhất là ép một tổng hai bình phương như $x^2+9$ vào công thức hiệu hai bình phương — nhưng $x^2+9$ mang dấu CỘNG nên KHÔNG phân tích được bằng công cụ lớp 8 (nó không bằng $(x-3)(x+3)$, vì khai triển ra sẽ có $-9$ chứ không phải $+9$). Sai lầm thứ hai là quên kiểm tra hạng tử giữa khi dùng bình phương của tổng/hiệu: $x^2+5x+9$ có hai hạng tử ngoài là bình phương nhưng hạng tử giữa $5x \ne 2\cdot x\cdot 3=6x$, nên KHÔNG phải $(x+3)^2$ — nhiều bạn chỉ nhìn hai đầu mà quên đối chiếu hạng tử giữa.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Khi làm bài kiểm tra, một mẹo nhỏ giúp em tiết kiệm thời gian: nhìn số hạng tử trước khi đọc kĩ hệ số. Hai hạng tử gợi ý ngay hiệu hai bình phương hoặc tổng/hiệu hai lập phương; ba hạng tử gợi ý bình phương của một tổng hoặc hiệu. Việc thu hẹp phạm vi này giúp em không phải thử cả bảy công thức mỗi lần gặp một đa thức mới, mà chỉ cần kiểm tra đúng nhóm phù hợp với số hạng tử đang có.

Ghi nhớ

Trước khi áp dụng một hằng đẳng thức, luôn đếm số hạng tử, kiểm tra hệ số có phải số chính phương/lập phương, rồi so khớp dấu — đúng cả ba dấu hiệu mới được viết dạng tích. Ba nhóm cần nhớ: hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ ; bình phương của tổng/hiệu $A^2\pm 2AB+B^2=(A\pm B)^2$ ; tổng/hiệu hai lập phương.

Trước khi áp dụng một hằng đẳng thức, luôn đếm số hạng tử, kiểm tra hệ số có phải số chính phương/lập phương, rồi so khớp dấu — đúng cả ba dấu hiệu mới được viết dạng tích. Ba nhóm cần nhớ: hiệu hai bình phương $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$; bình phương của tổng/hiệu $A^2\pm 2AB+B^2=(A\pm B)^2$; tổng/hiệu hai lập phương.

Cầu nối

Ba công cụ em đã học — đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức — thường không đứng riêng lẻ trong một bài toán thực tế mà phải phối hợp với nhau, và đôi khi phải thử nhiều lần mới ra đúng thứ tự. Bài học sau dạy em một quy trình quyết định rõ ràng để biết nên thử công cụ nào trước.