Bài học

Ôn tập tổng hợp: Phân tích đa thức thành nhân tử

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự nhận ra và phối hợp đúng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử — nhân tử chung, nhóm hạng tử, hằng đẳng thức, tách hạng tử — trên các bài toán tổng hợp không còn ghi sẵn tên phương pháp, đúng như một đề kiểm tra cuối chương thực sự.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ khóa học đã đi qua năm chương: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức, phối hợp nhiều phương pháp (gồm cả kĩ thuật tách hạng tử cho tam thức bậc hai), và ba ứng dụng thực tế. Bài ôn tập này không thêm kiến thức mới — nó hệ thống hóa và luyện lại đúng những gì em đã học, dưới hình thức các bài toán không còn gợi ý sẵn.

Khởi động

Khi đọc một đề bài phân tích đa thức thành nhân tử mà không ghi rõ "dùng phương pháp nào", em tự đặt lại đúng quy trình quyết định đã học: thử nhân tử chung trước, kiểm tra hằng đẳng thức, rồi nhóm hạng tử hoặc tách hạng tử nếu là tam thức bậc hai, và luôn kiểm tra kết quả cuối còn phân tích tiếp được không. Bài ôn tập hôm nay luyện đúng phản xạ đó trên năm bài toán tổng hợp.

Sơ đồ tổng hợp

Trước khi vào các bài toán tổng hợp, em cùng ôn lại một lượt sơ đồ quyết định đã học ở Chương 4, lần này gắn với việc tự đọc đề và tự kiểm tra — thao tác em sẽ làm hoàn toàn độc lập trong một bài kiểm tra thật.

Sơ đồ ôn tập gộp lại đúng quy trình quyết định đã học ở Chương 4, dùng làm phản xạ tự kiểm tra khi làm bài không còn gợi ý sẵn tên phương pháp.

Bài toán tổng hợp 1 — Nhân tử chung và hằng đẳng thức

Ví dụ

Ôn nhân tử chung phối hợp hằng đẳng thức

1
Phân tích đa thức $5x^2-20$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $5x^2-20$ thành nhân tử.
2
ƯCLN $(5,20)=5$ : $5x^2-20=5(x^2-4)$ .
ƯCLN$(5,20)=5$: $5x^2-20=5(x^2-4)$.
3
$x^2-4=x^2-2^2$ khớp $A^2-B^2$ : $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
$x^2-4=x^2-2^2$ khớp $A^2-B^2$: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
4
Vậy $5x^2-20=5(x-2)(x+2)$ .
Vậy $5x^2-20=5(x-2)(x+2)$.

Bài toán tổng hợp 2 — Nhóm hạng tử và hằng đẳng thức

Ví dụ

Ôn nhóm hạng tử phối hợp hằng đẳng thức

1
Phân tích đa thức $x^3-3x^2-4x+12$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $x^3-3x^2-4x+12$ thành nhân tử.
2
Hệ số $1,-3,-4,12$ , ƯCLN bằng 1, không có nhân tử chung cho cả bốn hạng tử.
Hệ số $1,-3,-4,12$, ƯCLN bằng 1, không có nhân tử chung cho cả bốn hạng tử.
3
Nhóm $(x^3-3x^2)+(-4x+12) = x^2(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x^2-4)$ .
Nhóm $(x^3-3x^2)+(-4x+12) = x^2(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x^2-4)$.
4
Nhân tử $x^2-4$ khớp hiệu hai bình phương: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
Nhân tử $x^2-4$ khớp hiệu hai bình phương: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
5
Vậy $x^3-3x^2-4x+12 = (x-3)(x-2)(x+2)$ .
Vậy $x^3-3x^2-4x+12 = (x-3)(x-2)(x+2)$.

Bài toán tổng hợp 3 — Tách hạng tử với hệ số bậc hai khác 1

Ví dụ

Ôn tách hạng tử cho tam thức bậc hai

1
Phân tích đa thức $2x^2+x-3$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $2x^2+x-3$ thành nhân tử.
2
$a=2$ , $c=-3$ , tích cần tìm $a\cdot c=-6$ , tổng cần tìm $b=1$ . Cặp có tích $-6$ , tổng $1$ : $(3,-2)$ .
$a=2$, $c=-3$, tích cần tìm $a\cdot c=-6$, tổng cần tìm $b=1$. Cặp có tích $-6$, tổng $1$: $(3,-2)$.
3
$2x^2+x-3 = 2x^2+3x-2x-3 = (2x^2+3x)+(-2x-3) = x(2x+3)-1(2x+3) = (2x+3)(x-1)$ .
$2x^2+x-3 = 2x^2+3x-2x-3 = (2x^2+3x)+(-2x-3) = x(2x+3)-1(2x+3) = (2x+3)(x-1)$.
4
Vậy $2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$ . Kiểm tra: $(2x+3)(x-1)=2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3$ , khớp đề bài.
Vậy $2x^2+x-3=(2x+3)(x-1)$. Kiểm tra: $(2x+3)(x-1)=2x^2-2x+3x-3=2x^2+x-3$, khớp đề bài.

Bài toán tổng hợp 4 — Giải phương trình bằng phân tích nhân tử

Ví dụ

Ôn giải phương trình đưa về dạng tích

1
Giải phương trình $x^3-4x=0$ .
Giải phương trình $x^3-4x=0$.
2
Đặt nhân tử chung $x$ : $x^3-4x=x(x^2-4)$ . Đa thức $x^2-4$ khớp hiệu hai bình phương: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Vậy $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$ .
Đặt nhân tử chung $x$: $x^3-4x=x(x^2-4)$. Đa thức $x^2-4$ khớp hiệu hai bình phương: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Vậy $x^3-4x=x(x-2)(x+2)$.
3
$x=0$ ; hoặc $x-2=0 \Rightarrow x=2$ ; hoặc $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ .
$x=0$; hoặc $x-2=0 \Rightarrow x=2$; hoặc $x+2=0 \Rightarrow x=-2$.
4
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x=0$ , $x=2$ , $x=-2$ . Nếu chỉ đặt nhân tử chung mà bỏ qua bước kiểm tra $x^2-4$ còn phân tích tiếp được, em sẽ chỉ tìm ra nghiệm $x=0$ và bỏ sót hai nghiệm còn lại — một lỗi kết hợp cả hai bài học của chương này và chương trước.
Vậy phương trình có ba nghiệm: $x=0$, $x=2$, $x=-2$. Nếu chỉ đặt nhân tử chung mà bỏ qua bước kiểm tra $x^2-4$ còn phân tích tiếp được, em sẽ chỉ tìm ra nghiệm $x=0$ và bỏ sót hai nghiệm còn lại — một lỗi kết hợp cả hai bài học của chương này và chương trước.

Bài toán tổng hợp 5 — Hằng đẳng thức và tính chẵn lẻ

Ví dụ

Ôn hằng đẳng thức ứng dụng vào lập luận số học

1
Chứng minh rằng $(n+1)^2-n^2$ luôn là một số lẻ với mọi số nguyên $n$ .
Chứng minh rằng $(n+1)^2-n^2$ luôn là một số lẻ với mọi số nguyên $n$.
2
$(n+1)^2-n^2$ khớp dạng $A^2-B^2$ với $A=n+1$ , $B=n$ : $(n+1)^2-n^2 = \big((n+1)-n\big)\big((n+1)+n\big) = 1\cdot(2n+1) = 2n+1$ .
$(n+1)^2-n^2$ khớp dạng $A^2-B^2$ với $A=n+1$, $B=n$: $(n+1)^2-n^2 = \big((n+1)-n\big)\big((n+1)+n\big) = 1\cdot(2n+1) = 2n+1$.
3
Vậy $(n+1)^2-n^2 = 2n+1$ . Mọi số có dạng $2n+1$ với $n$ nguyên đều là số lẻ (số chẵn cộng thêm 1), nên $(n+1)^2-n^2$ luôn là số lẻ với mọi số nguyên $n$ .
Vậy $(n+1)^2-n^2 = 2n+1$. Mọi số có dạng $2n+1$ với $n$ nguyên đều là số lẻ (số chẵn cộng thêm 1), nên $(n+1)^2-n^2$ luôn là số lẻ với mọi số nguyên $n$.

Bài toán tổng hợp 6 — Phối hợp đủ bốn công cụ

Ví dụ

Ôn tổng hợp: nhân tử chung, tách hạng tử, kiểm tra hoàn chỉnh

1
Phân tích đa thức $4x^3+4x^2-24x$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $4x^3+4x^2-24x$ thành nhân tử.
2
ƯCLN $(4,4,24)=4$ , biến chung $x$ : $4x^3+4x^2-24x = 4x(x^2+x-6)$ .
ƯCLN$(4,4,24)=4$, biến chung $x$: $4x^3+4x^2-24x = 4x(x^2+x-6)$.
3
Tam thức $x^2+x-6$ có $a=1$ , $c=-6$ , cần tích $-6$ và tổng $1$ : cặp $(3,-2)$ . Tách: $x^2+3x-2x-6 = (x^2+3x)+(-2x-6) = x(x+3)-2(x+3) = (x+3)(x-2)$ .
Tam thức $x^2+x-6$ có $a=1$, $c=-6$, cần tích $-6$ và tổng $1$: cặp $(3,-2)$. Tách: $x^2+3x-2x-6 = (x^2+3x)+(-2x-6) = x(x+3)-2(x+3) = (x+3)(x-2)$.
4
Ba thừa số $4x$ , $(x+3)$ , $(x-2)$ đều không còn nhân tử chung nào và không khớp hằng đẳng thức nào khác — kết quả đã trọn vẹn.
Ba thừa số $4x$, $(x+3)$, $(x-2)$ đều không còn nhân tử chung nào và không khớp hằng đẳng thức nào khác — kết quả đã trọn vẹn.
5
Vậy $4x^3+4x^2-24x = 4x(x+3)(x-2)$ . Bài toán này gói gọn đúng ba bước của quy trình quyết định: nhân tử chung trước, tách hạng tử cho tam thức còn lại, rồi kiểm tra hoàn chỉnh — không có bước nào trong ba bước này được bỏ qua.
Vậy $4x^3+4x^2-24x = 4x(x+3)(x-2)$. Bài toán này gói gọn đúng ba bước của quy trình quyết định: nhân tử chung trước, tách hạng tử cho tam thức còn lại, rồi kiểm tra hoàn chỉnh — không có bước nào trong ba bước này được bỏ qua.

Sai lầm cần tránh khi ôn tập

Bẫy thường gặp

Khi ôn tập tổng hợp, sai lầm phổ biến nhất không phải là quên công thức, mà là ÁP DỤNG SAI THỨ TỰ — thử nhóm hạng tử ngay khi chưa kiểm tra nhân tử chung, hoặc dừng lại ở kết quả đầu tiên tìm được mà quên kiểm tra còn phân tích tiếp được không. Với bài toán 4 ở trên, một lỗi rất hay gặp là chỉ dừng ở $x(x^2-4)=0$ và kết luận $x=0$ là nghiệm duy nhất, quên rằng $x^2-4$ cũng phải bằng 0 nếu tích bằng 0 — bỏ sót nghiệm ngay giữa chừng quy trình.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Nhìn lại sáu bài toán tổng hợp vừa làm, mỗi bài dùng một tổ hợp công cụ khác nhau, nhưng quy trình đọc đề luôn giống nhau: xác định nhân tử chung trước, rồi chọn công cụ tiếp theo dựa trên số hạng tử còn lại, rồi kiểm tra kết quả cuối đã hoàn chỉnh chưa. Việc luyện tập nhận diện nhanh — chỉ nhìn đề bài vài giây đã đoán được nên thử công cụ nào trước — chính là kĩ năng đề kiểm tra và đề thi vào lớp 10 thực sự đánh giá, chứ không phải khả năng nhớ công thức.

Ghi nhớ toàn khóa

Bốn công cụ phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức, và tách hạng tử cho tam thức bậc hai — luôn thử theo đúng thứ tự đó và luôn kiểm tra kết quả cuối còn phân tích tiếp được không. Ba ứng dụng: giải phương trình đưa về dạng tích, tính nhanh giá trị biểu thức, và chứng minh chia hết. Đây là bộ công cụ nền tảng cho phân thức đại số ở khóa tiếp theo, và cho nhiều dạng bài đại số ở đề thi vào lớp 10.

Cầu nối

Khóa học tiếp theo — Phân thức đại số — dùng chính bộ công cụ phân tích nhân tử em vừa thành thạo để rút gọn phân thức, quy đồng mẫu, và thực hiện bốn phép tính với phân thức chứa chữ. Một phân thức chỉ rút gọn được khi tử và mẫu đã được phân tích thành nhân tử trước — đúng kĩ năng em vừa luyện xuyên suốt khóa này.