Bài học

Quy trình lựa chọn phương pháp phân tích

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em biết thứ tự nên thử các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử — đặt nhân tử chung trước, rồi hằng đẳng thức, rồi nhóm hạng tử — và luôn kiểm tra kết quả cuối cùng còn phân tích tiếp được hay không trước khi dừng lại.

Kiến thức nền cần nhớ

Ba bài trước đã dạy em ba công cụ riêng lẻ: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức. Trong đề kiểm tra thực tế, một đa thức thường cần phối hợp từ hai công cụ trở lên, và áp dụng sai thứ tự có thể khiến em bỏ lỡ một phần kết quả hoặc đi vào ngõ cụt.

Khởi động

Xét đa thức $2x^2-8$ . Nếu em vội tìm hằng đẳng thức ngay, sẽ bối rối vì $2x^2$ không phải là bình phương của một biểu thức nguyên gọn — $\sqrt{2}x$ không phải cách viết quen thuộc trong chương trình. Nhưng nếu đặt nhân tử chung 2 trước, đa thức còn lại $x^2-4$ lập tức hiện rõ dạng hiệu hai bình phương. Thứ tự thử phương pháp thật ra quan trọng không kém việc biết công thức.

Xét đa thức $2x^2-8$. Nếu em vội tìm hằng đẳng thức ngay, sẽ bối rối vì $2x^2$ không phải là bình phương của một biểu thức nguyên gọn — $\sqrt{2}x$ không phải cách viết quen thuộc trong chương trình. Nhưng nếu đặt nhân tử chung 2 trước, đa thức còn lại $x^2-4$ lập tức hiện rõ dạng hiệu hai bình phương. Thứ tự thử phương pháp thật ra quan trọng không kém việc biết công thức.

Kiến thức trọng tâm

Quy trình quyết định gồm các bước sau, làm theo đúng thứ tự và lặp lại khi cần: đầu tiên luôn thử đặt nhân tử chung cho TOÀN BỘ đa thức — bước này gần như không bao giờ sai và thường làm đa thức gọn hơn hẳn để các bước sau dễ nhận diện. Sau khi đặt nhân tử chung (nếu có), đếm số hạng tử còn lại trong ngoặc và kiểm tra xem có khớp dạng hằng đẳng thức nào không — nếu khớp, áp dụng ngay. Nếu không khớp hằng đẳng thức và đa thức còn lại có từ bốn hạng tử trở lên, thử nhóm hạng tử. Sau MỖI bước, luôn kiểm tra: kết quả vừa thu được, từng nhân tử trong đó, có còn phân tích tiếp được nữa hay không? Nếu còn, lặp lại đúng quy trình cho nhân tử đó.

Lí do đặt nhân tử chung luôn đi trước rất đơn giản: nó không bao giờ làm hỏng khả năng dùng hằng đẳng thức hay nhóm hạng tử ở bước sau, mà chỉ làm đa thức gọn hơn, dễ nhận diện hơn. Ngược lại, nếu bỏ qua bước này, hệ số của các hạng tử có thể không còn là số chính phương hay lập phương nữa, khiến hằng đẳng thức trông như không áp dụng được — dù thực ra chỉ cần đặt nhân tử chung ra trước là hiện rõ.

Quy trình quyết định phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: luôn thử nhân tử chung trước, và luôn kiểm tra kết quả cuối có còn phân tích tiếp được không trước khi dừng lại.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Nhân tử chung rồi hằng đẳng thức

1
Phân tích đa thức $2x^2-8$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $2x^2-8$ thành nhân tử.
2
ƯCLN $(2,8)=2$ , không có biến chung khác ngoài phần số. Đặt nhân tử chung 2: $2x^2-8=2(x^2-4)$ .
ƯCLN$(2,8)=2$, không có biến chung khác ngoài phần số. Đặt nhân tử chung 2: $2x^2-8=2(x^2-4)$.
3
Đa thức trong ngoặc $x^2-4$ có 2 hạng tử, $x^2=x^2$ , $4=2^2$ , dấu trừ — khớp $A^2-B^2$ với $A=x$ , $B=2$ . Vậy $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .
Đa thức trong ngoặc $x^2-4$ có 2 hạng tử, $x^2=x^2$, $4=2^2$, dấu trừ — khớp $A^2-B^2$ với $A=x$, $B=2$. Vậy $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
4
Vậy $2x^2-8 = 2(x-2)(x+2)$ . Không còn nhân tử nào trong tích có thể phân tích tiếp, kết quả đã trọn vẹn.
Vậy $2x^2-8 = 2(x-2)(x+2)$. Không còn nhân tử nào trong tích có thể phân tích tiếp, kết quả đã trọn vẹn.

Ví dụ

Nhóm hạng tử rồi kiểm tra còn phân tích tiếp

1
Phân tích đa thức $x^3+x^2-x-1$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $x^3+x^2-x-1$ thành nhân tử.
2
Bốn hạng tử với hệ số $1,1,-1,-1$ , ƯCLN bằng 1 và không có biến chung cho cả bốn hạng tử — không đặt được nhân tử chung ngay.
Bốn hạng tử với hệ số $1,1,-1,-1$, ƯCLN bằng 1 và không có biến chung cho cả bốn hạng tử — không đặt được nhân tử chung ngay.
3
Nhóm $(x^3+x^2)+(-x-1) = x^2(x+1) - (x+1) = (x+1)(x^2-1)$ .
Nhóm $(x^3+x^2)+(-x-1) = x^2(x+1) - (x+1) = (x+1)(x^2-1)$.
4
Nhân tử thứ hai $x^2-1$ vẫn còn khớp dạng hiệu hai bình phương: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Phải phân tích tiếp, không được dừng ở $(x+1)(x^2-1)$ .
Nhân tử thứ hai $x^2-1$ vẫn còn khớp dạng hiệu hai bình phương: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Phải phân tích tiếp, không được dừng ở $(x+1)(x^2-1)$.
5
Vậy $x^3+x^2-x-1 = (x+1)(x-1)(x+1) = (x+1)^2(x-1)$ . Đây là ví dụ rõ ràng cho thấy bước kiểm tra cuối cùng quan trọng thế nào — dừng sớm ở $(x+1)(x^2-1)$ là một kết quả chưa hoàn chỉnh dù không sai về mặt tính toán.
Vậy $x^3+x^2-x-1 = (x+1)(x-1)(x+1) = (x+1)^2(x-1)$. Đây là ví dụ rõ ràng cho thấy bước kiểm tra cuối cùng quan trọng thế nào — dừng sớm ở $(x+1)(x^2-1)$ là một kết quả chưa hoàn chỉnh dù không sai về mặt tính toán.

Ví dụ

Nhân tử chung rồi nhóm hạng tử

1
Phân tích đa thức $3x^2+3x-3xy-3y$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $3x^2+3x-3xy-3y$ thành nhân tử.
2
ƯCLN của các hệ số $3,3,3,3$ là 3. Đặt nhân tử chung 3: $3x^2+3x-3xy-3y = 3(x^2+x-xy-y)$ .
ƯCLN của các hệ số $3,3,3,3$ là 3. Đặt nhân tử chung 3: $3x^2+3x-3xy-3y = 3(x^2+x-xy-y)$.
3
Đa thức trong ngoặc có 4 hạng tử, không khớp hằng đẳng thức nào. Nhóm $(x^2-xy)+(x-y) = x(x-y)+(x-y) = (x-y)(x+1)$ .
Đa thức trong ngoặc có 4 hạng tử, không khớp hằng đẳng thức nào. Nhóm $(x^2-xy)+(x-y) = x(x-y)+(x-y) = (x-y)(x+1)$.
4
Vậy $3x^2+3x-3xy-3y = 3(x-y)(x+1)$ .
Vậy $3x^2+3x-3xy-3y = 3(x-y)(x+1)$.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Phối hợp phương pháp để lí giải một tính chất

1
Thể tích của một khối được cho bởi $V(x) = 2x^3-18x$ ( $cm^3$ , $x>3$ ). Phân tích $V(x)$ thành nhân tử và giải thích vì sao $V(x)$ luôn dương khi $x>3$ .
Thể tích của một khối được cho bởi $V(x) = 2x^3-18x$ ($cm^3$, $x>3$). Phân tích $V(x)$ thành nhân tử và giải thích vì sao $V(x)$ luôn dương khi $x>3$.
2
ƯCLN $(2,18)=2$ , biến chung $x$ : $2x^3-18x = 2x(x^2-9)$ .
ƯCLN$(2,18)=2$, biến chung $x$: $2x^3-18x = 2x(x^2-9)$.
3
Đa thức trong ngoặc $x^2-9=x^2-3^2$ khớp dạng $A^2-B^2$ : $x^2-9=(x-3)(x+3)$ .
Đa thức trong ngoặc $x^2-9=x^2-3^2$ khớp dạng $A^2-B^2$: $x^2-9=(x-3)(x+3)$.
4
Vậy $V(x)=2x(x-3)(x+3)$ . Với $x>3$ : $x>0$ , $x-3>0$ , $x+3>0$ , nên cả ba thừa số cùng dương. Tích của các số dương là số dương, do đó $V(x)>0$ với mọi $x>3$ — đúng như tính chất một thể tích thực tế phải luôn dương.
Vậy $V(x)=2x(x-3)(x+3)$. Với $x>3$: $x>0$, $x-3>0$, $x+3>0$, nên cả ba thừa số cùng dương. Tích của các số dương là số dương, do đó $V(x)>0$ với mọi $x>3$ — đúng như tính chất một thể tích thực tế phải luôn dương.

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là bỏ qua bước đặt nhân tử chung ban đầu và cố áp hằng đẳng thức trực tiếp lên một đa thức như $2x^2-8$ — hệ số 2 không phải số chính phương nên loay hoay không ra. Sai lầm thứ hai, nghiêm trọng hơn, là DỪNG LẠI quá sớm: viết $x^3+x^2-x-1=(x+1)(x^2-1)$ rồi nộp bài mà không kiểm tra $x^2-1$ còn phân tích được. Một đa thức chỉ được coi là phân tích XONG khi không còn nhân tử nào trong kết quả có thể phân tích tiếp — luôn tự hỏi câu đó trước khi kết luận.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Thứ tự nên thử: đặt nhân tử chung trước tiên, rồi kiểm tra hằng đẳng thức, rồi nhóm hạng tử nếu còn từ bốn hạng tử trở lên. Sau mỗi bước, luôn hỏi lại: kết quả này còn phân tích tiếp được không? Chỉ dừng lại khi câu trả lời chắc chắn là không.

Một cách khác để nhớ quy trình: hãy tưởng tượng nhân tử chung là lớp vỏ ngoài của đa thức. Bóc lớp vỏ đó ra trước, phần lõi còn lại thường lộ rõ hơn — dễ nhận hằng đẳng thức hơn, hoặc dễ chia nhóm hơn, vì các hệ số đã được rút gọn. Thử làm ngược — cố nhóm hay tìm hằng đẳng thức trước khi bóc lớp vỏ chung — vẫn có thể ra đúng kết quả với vài bài đơn giản, nhưng dễ vấp phải hệ số lẻ hoặc dấu phức tạp không cần thiết, như ví dụ $2x^2-8$ đã cho thấy.

Cầu nối

Quy trình trên xử lí tốt các đa thức khớp thẳng vào hằng đẳng thức hoặc nhóm được ngay. Nhưng còn một dạng đa thức ba hạng tử rất phổ biến trong đề thi — tam thức bậc hai dạng $ax^2+bx+c$ — không luôn khớp bình phương của một tổng hay hiệu. Bài học sau dạy em một kĩ thuật riêng cho dạng này: tách hạng tử bậc nhất để đưa về nhóm hạng tử.