Bài học

Tam thức bậc hai ax² + bx + c bằng tách hạng tử

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phân tích được tam thức bậc hai dạng $ax^2+bx+c$ — kể cả khi $a\ne 1$ — thành nhân tử bằng cách tách hạng tử bậc nhất $bx$ thành hai hạng tử rồi nhóm lại, đúng kĩ thuật chuẩn của chương trình lớp 8.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài Nhóm hạng tử đã dạy em cách chia bốn hạng tử thành hai nhóm để lộ ra nhân tử chung mới. Kĩ thuật hôm nay thực chất là nhóm hạng tử, chỉ khác một bước chuẩn bị: đa thức $ax^2+bx+c$ chỉ có BA hạng tử, nên trước khi nhóm, em cần tách hạng tử bậc nhất $bx$ thành hai hạng tử $mx+nx$ để đa thức có đủ bốn hạng tử rồi mới nhóm được.

Khởi động

Với $x^2+5x+6$ , em cần tìm hai số có tích bằng $6$ (hệ số tự do) và tổng bằng $5$ (hệ số bậc nhất). Liệt kê các cặp có tích $6$ : $(1,6)$ tổng $7$ ; $(2,3)$ tổng $5$ — khớp. Vậy $5x$ được tách thành $2x+3x$ , và $x^2+5x+6 = x^2+2x+3x+6$ , một đa thức bốn hạng tử sẵn sàng để nhóm.

Với $x^2+5x+6$, em cần tìm hai số có tích bằng $6$ (hệ số tự do) và tổng bằng $5$ (hệ số bậc nhất). Liệt kê các cặp có tích $6$: $(1,6)$ tổng $7$; $(2,3)$ tổng $5$ — khớp. Vậy $5x$ được tách thành $2x+3x$, và $x^2+5x+6 = x^2+2x+3x+6$, một đa thức bốn hạng tử sẵn sàng để nhóm.

Kiến thức trọng tâm

Với tam thức $x^2+bx+c$ (hệ số bậc hai bằng 1): tìm hai số $m,n$ sao cho $m\cdot n = c$ và $m+n=b$ . Tách $bx$ thành $mx+nx$ , viết lại đa thức thành bốn hạng tử $x^2+mx+nx+c$ , rồi nhóm hạng tử như bài trước. Với tam thức tổng quát $ax^2+bx+c$ ( $a\ne 1$ ): tìm hai số $m,n$ sao cho $m\cdot n = a\cdot c$ (tích của hệ số bậc hai và hệ số tự do, KHÔNG phải chỉ $c$ ) và $m+n=b$ . Tách $bx$ thành $mx+nx$ rồi nhóm y hệt trường hợp trên. Cách tìm $m,n$ nhanh nhất là liệt kê các cặp ước có tích đúng bằng giá trị cần tìm, rồi chọn cặp có tổng khớp $b$ — không đoán ngẫu nhiên.

Với tam thức $x^2+bx+c$ (hệ số bậc hai bằng 1): tìm hai số $m,n$ sao cho $m\cdot n = c$ và $m+n=b$. Tách $bx$ thành $mx+nx$, viết lại đa thức thành bốn hạng tử $x^2+mx+nx+c$, rồi nhóm hạng tử như bài trước. Với tam thức tổng quát $ax^2+bx+c$ ($a\ne 1$): tìm hai số $m,n$ sao cho $m\cdot n = a\cdot c$ (tích của hệ số bậc hai và hệ số tự do, KHÔNG phải chỉ $c$) và $m+n=b$. Tách $bx$ thành $mx+nx$ rồi nhóm y hệt trường hợp trên. Cách tìm $m,n$ nhanh nhất là liệt kê các cặp ước có tích đúng bằng giá trị cần tìm, rồi chọn cặp có tổng khớp $b$ — không đoán ngẫu nhiên.

Điều khác biệt duy nhất giữa hai trường hợp là tích cần tìm: $c$ khi $a=1$ , hoặc $a\cdot c$ khi $a\ne 1$ . Sau khi tách đúng, phần còn lại của lời giải luôn là nhóm hạng tử — kĩ thuật em đã thành thạo. Chú ý: bước tách này KHÁC với việc thêm một hạng tử mới rồi bớt lại (một kĩ thuật khác, không thuộc chương trình lớp 8) — ở đây em chỉ viết lại MỘT hạng tử sẵn có ( $bx$ ) thành tổng của hai hạng tử, tổng giá trị không đổi.

Điều khác biệt duy nhất giữa hai trường hợp là tích cần tìm: $c$ khi $a=1$, hoặc $a\cdot c$ khi $a\ne 1$. Sau khi tách đúng, phần còn lại của lời giải luôn là nhóm hạng tử — kĩ thuật em đã thành thạo. Chú ý: bước tách này KHÁC với việc thêm một hạng tử mới rồi bớt lại (một kĩ thuật khác, không thuộc chương trình lớp 8) — ở đây em chỉ viết lại MỘT hạng tử sẵn có ($bx$) thành tổng của hai hạng tử, tổng giá trị không đổi.

Quy trình tách hạng tử: chọn đúng cặp số có tích và tổng khớp yêu cầu trước khi tách, sau đó áp dụng lại đúng kĩ thuật nhóm hạng tử đã học.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Tam thức với hệ số bậc hai bằng 1

1
Phân tích đa thức $x^2+5x+6$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $x^2+5x+6$ thành nhân tử.
2
Cần $m\cdot n=6$ , $m+n=5$ . Liệt kê cặp ước của 6: $(1,6)$ tổng 7, $(2,3)$ tổng 5 — chọn $m=2$ , $n=3$ .
Cần $m\cdot n=6$, $m+n=5$. Liệt kê cặp ước của 6: $(1,6)$ tổng 7, $(2,3)$ tổng 5 — chọn $m=2$, $n=3$.
3
$x^2+5x+6 = x^2+2x+3x+6 = (x^2+2x)+(3x+6) = x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3)$ .
$x^2+5x+6 = x^2+2x+3x+6 = (x^2+2x)+(3x+6) = x(x+2)+3(x+2) = (x+2)(x+3)$.
4
Vậy $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$ . Kiểm tra: $(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$ , khớp đề bài.
Vậy $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. Kiểm tra: $(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6$, khớp đề bài.

Ví dụ

Tam thức có hệ số âm

1
Phân tích đa thức $x^2-x-6$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $x^2-x-6$ thành nhân tử.
2
Cần $m\cdot n=-6$ , $m+n=-1$ . Liệt kê cặp có tích $-6$ : $(-3,2)$ tổng $-1$ — khớp.
Cần $m\cdot n=-6$, $m+n=-1$. Liệt kê cặp có tích $-6$: $(-3,2)$ tổng $-1$ — khớp.
3
$x^2-x-6 = x^2-3x+2x-6 = (x^2-3x)+(2x-6) = x(x-3)+2(x-3) = (x-3)(x+2)$ .
$x^2-x-6 = x^2-3x+2x-6 = (x^2-3x)+(2x-6) = x(x-3)+2(x-3) = (x-3)(x+2)$.
4
Vậy $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ .
Vậy $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

Ví dụ

Tam thức có hệ số bậc hai khác 1

1
Phân tích đa thức $3x^2-x-2$ thành nhân tử.
Phân tích đa thức $3x^2-x-2$ thành nhân tử.
2
Ở đây $a=3$ , $c=-2$ , nên tích cần tìm là $a\cdot c=3\times(-2)=-6$ , tổng cần tìm là $b=-1$ . Liệt kê cặp có tích $-6$ : $(-3,2)$ tổng $-1$ — khớp.
Ở đây $a=3$, $c=-2$, nên tích cần tìm là $a\cdot c=3\times(-2)=-6$, tổng cần tìm là $b=-1$. Liệt kê cặp có tích $-6$: $(-3,2)$ tổng $-1$ — khớp.
3
$3x^2-x-2 = 3x^2-3x+2x-2 = (3x^2-3x)+(2x-2) = 3x(x-1)+2(x-1) = (x-1)(3x+2)$ .
$3x^2-x-2 = 3x^2-3x+2x-2 = (3x^2-3x)+(2x-2) = 3x(x-1)+2(x-1) = (x-1)(3x+2)$.
4
Vậy $3x^2-x-2=(x-1)(3x+2)$ . Kiểm tra: $(x-1)(3x+2)=3x^2+2x-3x-2=3x^2-x-2$ , khớp đề bài.
Vậy $3x^2-x-2=(x-1)(3x+2)$. Kiểm tra: $(x-1)(3x+2)=3x^2+2x-3x-2=3x^2-x-2$, khớp đề bài.

Ví dụ

Tam thức không phân tích được bằng tách hạng tử

1
Phân tích đa thức $x^2+x+3$ thành nhân tử (nếu được).
Phân tích đa thức $x^2+x+3$ thành nhân tử (nếu được).
2
Cần $m\cdot n=3$ , $m+n=1$ . Liệt kê cặp có tích $3$ (là số nguyên tố, chỉ có $1$ và $3$ ): $(1,3)$ tổng $4$ , $(-1,-3)$ tổng $-4$ . Không cặp nào cho tổng bằng $1$ .
Cần $m\cdot n=3$, $m+n=1$. Liệt kê cặp có tích $3$ (là số nguyên tố, chỉ có $1$ và $3$): $(1,3)$ tổng $4$, $(-1,-3)$ tổng $-4$. Không cặp nào cho tổng bằng $1$.
3
Vậy $x^2+x+3$ KHÔNG phân tích được thành nhân tử bằng công cụ lớp 8 — không tồn tại cặp số nguyên $m,n$ thỏa cả hai điều kiện. Không phải tam thức bậc hai nào cũng phân tích được; việc liệt kê hết các cặp ước mà không tìm ra tổng khớp chính là cách xác nhận điều đó, thay vì đoán mò rồi bỏ cuộc giữa chừng.
Vậy $x^2+x+3$ KHÔNG phân tích được thành nhân tử bằng công cụ lớp 8 — không tồn tại cặp số nguyên $m,n$ thỏa cả hai điều kiện. Không phải tam thức bậc hai nào cũng phân tích được; việc liệt kê hết các cặp ước mà không tìm ra tổng khớp chính là cách xác nhận điều đó, thay vì đoán mò rồi bỏ cuộc giữa chừng.

Ví dụ trên nhắc em một điều quan trọng: bước liệt kê cặp ước không chỉ để TÌM ra $m,n$ , mà còn để XÁC NHẬN khi nào một tam thức thực sự không phân tích được bằng phương pháp này. Nếu liệt kê hết mọi cặp ước có tích đúng yêu cầu mà không cặp nào cho tổng khớp $b$ , kết luận chắc chắn là tam thức đó không phân tích được — đây là một kết luận hợp lệ, không phải một lỗi làm bài.

Ví dụ trên nhắc em một điều quan trọng: bước liệt kê cặp ước không chỉ để TÌM ra $m,n$, mà còn để XÁC NHẬN khi nào một tam thức thực sự không phân tích được bằng phương pháp này. Nếu liệt kê hết mọi cặp ước có tích đúng yêu cầu mà không cặp nào cho tổng khớp $b$, kết luận chắc chắn là tam thức đó không phân tích được — đây là một kết luận hợp lệ, không phải một lỗi làm bài.

Ví dụ dạng thi

Ví dụ

Ứng dụng vào bài toán diện tích mảnh đất

1
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $2x^2+7x+3$ ( $m^2$ , $x>0$ ). Tìm biểu thức hai kích thước của mảnh đất theo $x$ .
Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $2x^2+7x+3$ ($m^2$, $x>0$). Tìm biểu thức hai kích thước của mảnh đất theo $x$.
2
$a=2$ , $c=3$ , tích cần tìm $a\cdot c=6$ , tổng cần tìm $b=7$ . Cặp có tích 6, tổng 7: $(6,1)$ .
$a=2$, $c=3$, tích cần tìm $a\cdot c=6$, tổng cần tìm $b=7$. Cặp có tích 6, tổng 7: $(6,1)$.
3
$2x^2+7x+3 = 2x^2+6x+x+3 = (2x^2+6x)+(x+3) = 2x(x+3)+1(x+3) = (x+3)(2x+1)$ .
$2x^2+7x+3 = 2x^2+6x+x+3 = (2x^2+6x)+(x+3) = 2x(x+3)+1(x+3) = (x+3)(2x+1)$.
4
Vậy diện tích $S=(2x+1)(x+3)$ , nên hai kích thước của mảnh đất là $(2x+1)$ m và $(x+3)$ m — đúng dạng tích chiều dài nhân chiều rộng của hình chữ nhật.
Vậy diện tích $S=(2x+1)(x+3)$, nên hai kích thước của mảnh đất là $(2x+1)$ m và $(x+3)$ m — đúng dạng tích chiều dài nhân chiều rộng của hình chữ nhật.

Sai lầm thường gặp

Bẫy thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất khi $a\ne 1$ là quên nhân $a$ vào $c$ — chỉ tìm hai số có tích bằng $c$ thay vì $a\cdot c$ . Với $3x^2-x-2$ , nếu tìm sai hai số có tích $-2$ (thay vì $-6$ ) và tổng $-1$ , em sẽ được cặp $(-2,1)$ , tách $3x^2-2x+x-2$ — nhóm không ra nhân tử chung mới, vì bước tính tích đã sai ngay từ đầu. Sai lầm thứ hai là chọn đúng tích nhưng sai dấu khi liệt kê cặp ước — quên rằng khi tích âm, hai số phải trái dấu, còn khi tích dương và tổng âm, cả hai số đều phải âm.

Sai lầm phổ biến nhất khi $a\ne 1$ là quên nhân $a$ vào $c$ — chỉ tìm hai số có tích bằng $c$ thay vì $a\cdot c$. Với $3x^2-x-2$, nếu tìm sai hai số có tích $-2$ (thay vì $-6$) và tổng $-1$, em sẽ được cặp $(-2,1)$, tách $3x^2-2x+x-2$ — nhóm không ra nhân tử chung mới, vì bước tính tích đã sai ngay từ đầu. Sai lầm thứ hai là chọn đúng tích nhưng sai dấu khi liệt kê cặp ước — quên rằng khi tích âm, hai số phải trái dấu, còn khi tích dương và tổng âm, cả hai số đều phải âm.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Phân tích tam thức $ax^2+bx+c$ : tìm hai số $m,n$ có tích bằng $c$ (nếu $a=1$ ) hoặc $a\cdot c$ (nếu $a\ne 1$ ) và tổng bằng $b$ ; tách $bx=mx+nx$ ; nhóm hạng tử như bình thường. Đây chính là nhóm hạng tử, chỉ thêm một bước chuẩn bị: tách đúng hạng tử bậc nhất trước khi nhóm.

Phân tích tam thức $ax^2+bx+c$: tìm hai số $m,n$ có tích bằng $c$ (nếu $a=1$) hoặc $a\cdot c$ (nếu $a\ne 1$) và tổng bằng $b$; tách $bx=mx+nx$; nhóm hạng tử như bình thường. Đây chính là nhóm hạng tử, chỉ thêm một bước chuẩn bị: tách đúng hạng tử bậc nhất trước khi nhóm.

Cầu nối

Em đã có đủ bốn công cụ: đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử, hằng đẳng thức, và tách hạng tử cho tam thức bậc hai. Bài học sau cho em thấy phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ để có một dạng viết gọn hơn, mà còn là công cụ giải quyết ba dạng bài rất hay gặp trong đề thi: giải phương trình, tính nhanh giá trị biểu thức, và chứng minh chia hết.