Bài học

Đề ôn tập cuối học kỳ 1 — luyện chọn công cụ qua một đề hoàn chỉnh

Mục tiêu ôn tập

Đây là lần đầu tiên trong khóa ôn tập, đề bài không còn gắn nhãn "bài về tam thức" hay "bài về vectơ" — một đề kiểm tra học kỳ thật sự trộn lẫn đại số và hình học tam giác/vectơ trong cùng một đề, đôi khi trong cùng một câu. Việc của em bây giờ là đúng việc một học sinh làm bài thi thật: đọc từng câu, tự nhận diện dạng bài, rồi mới chọn công cụ.

Quy trình này áp dụng cho MỌI câu trong đề, bất kể câu đó thuộc mạch đại số hay hình học.

Câu 1 (đại số) — điều kiện để phương trình vô nghiệm

Ví dụ

Câu 1 — điều kiện tham số qua dấu của Δ

1
Tìm $m$ để phương trình $x^2-2x+m=0$ vô nghiệm.
Tìm $m$ để phương trình $x^2-2x+m=0$ vô nghiệm.
2
Câu hỏi về SỐ NGHIỆM của một phương trình bậc hai theo tham số — công cụ đúng là xét dấu của $\Delta$ , không phải giải trực tiếp phương trình.
Câu hỏi về SỐ NGHIỆM của một phương trình bậc hai theo tham số — công cụ đúng là xét dấu của $\Delta$, không phải giải trực tiếp phương trình.
3
$\Delta = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot m = 4-4m$ .
$\Delta = (-2)^2-4 \cdot 1 \cdot m = 4-4m$.
4
Phương trình vô nghiệm khi $\Delta<0 \iff 4-4m<0 \iff m>1$ .
Phương trình vô nghiệm khi $\Delta<0 \iff 4-4m<0 \iff m>1$.
5
Vậy phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $m>1$ .
Vậy phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $m>1$.

Câu 2 (đại số) — tam thức, tập hợp và mệnh đề trong một câu

Câu này không tách rời ba mạch nhỏ của Chương 1 mà xâu chuỗi chúng: trước tiên phải giải bất phương trình (dùng bảng xét dấu tam thức) để có một tập hợp, sau đó mới xét quan hệ tập con (dùng ngôn ngữ tập hợp) để kết luận một mệnh đề đúng hay sai. Bỏ qua bước đầu (giải bất phương trình) mà đoán tập nghiệm sẽ dẫn tới kết luận sai ở bước cuối.

Ví dụ

Câu 2 — từ tam thức đến tập hợp đến mệnh đề

1
Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+6<0$ . Xét mệnh đề $P$ : " $S \subset (0;4)$ ". Mệnh đề $P$ đúng hay sai?
Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình $x^2-5x+6<0$. Xét mệnh đề $P$: "$S \subset (0;4)$". Mệnh đề $P$ đúng hay sai?
2
Phải giải bất phương trình trước (bảng xét dấu tam thức) để biết chính xác $S$ là tập gì, rồi mới so sánh $S$ với $(0;4)$ bằng ngôn ngữ tập con, cuối cùng mới kết luận về mệnh đề $P$ .
Phải giải bất phương trình trước (bảng xét dấu tam thức) để biết chính xác $S$ là tập gì, rồi mới so sánh $S$ với $(0;4)$ bằng ngôn ngữ tập con, cuối cùng mới kết luận về mệnh đề $P$.
3
Ta có $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ , hai nghiệm $2$ và $3$ . Vì hệ số bậc hai dương, tam thức âm giữa hai nghiệm. Vậy $S=(2;3)$ . (1)
Ta có $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, hai nghiệm $2$ và $3$. Vì hệ số bậc hai dương, tam thức âm giữa hai nghiệm. Vậy $S=(2;3)$. (1)
4
Theo (1), mọi $x \in (2;3)$ đều thỏa $0<x<4$ , nên $(2;3) \subset (0;4)$ .
Theo (1), mọi $x \in (2;3)$ đều thỏa $0<x<4$, nên $(2;3) \subset (0;4)$.
5
Vậy $S=(2;3) \subset (0;4)$ là đúng, nên mệnh đề $P$ đúng.
Vậy $S=(2;3) \subset (0;4)$ là đúng, nên mệnh đề $P$ đúng.

Câu 3 (hình học) — cosin và diện tích với góc tù

Đề chuyển hẳn sang hình học nhưng vẫn cùng một dấu hiệu quen thuộc: hai cạnh và góc xen giữa — kể cả khi góc đó là góc tù. Công cụ vẫn là cosin cho cạnh còn lại và $\frac12 ab\sin C$ cho diện tích, không có gì thay đổi so với bài đã ôn ở Chương 2 — chỉ khác giá trị lượng giác của góc tù mang dấu âm khi thay vào cosin.

Ví dụ

Câu 3 — hai cạnh và góc tù xen giữa

1
Tam giác $ABC$ có $AB=6$ , $AC=9$ , $\angle BAC=120°$ . Tính cạnh $BC$ và diện tích tam giác.
Tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=9$, $\angle BAC=120°$. Tính cạnh $BC$ và diện tích tam giác.
2
Đề cho hai cạnh và góc xen giữa — đúng dấu hiệu của cosin (cho cạnh) và $\frac12 ab\sin C$ (cho diện tích); góc tù chỉ ảnh hưởng đến DẤU của $\cos120°=-0,5$ , không đổi công cụ.
Đề cho hai cạnh và góc xen giữa — đúng dấu hiệu của cosin (cho cạnh) và $\frac12 ab\sin C$ (cho diện tích); góc tù chỉ ảnh hưởng đến DẤU của $\cos120°=-0,5$, không đổi công cụ.
3
$BC^2=AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos120° = 36+81-2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot(-0,5) = 117+54=171$ . Suy ra $BC=\sqrt{171}=3\sqrt{19} \approx 13,08$ . (1)
$BC^2=AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos120° = 36+81-2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot(-0,5) = 117+54=171$. Suy ra $BC=\sqrt{171}=3\sqrt{19} \approx 13,08$. (1)
4
$S=\dfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin120° = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 13,5\sqrt3 \approx 23,38$ .
$S=\dfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin120° = \dfrac12 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = 13,5\sqrt3 \approx 23,38$.
5
Theo (1), $BC=3\sqrt{19}\approx 13,08$ và $S=13,5\sqrt3\approx 23,38$ (đơn vị diện tích). Chú ý dấu trừ của $\cos120°$ làm $BC^2$ LỚN hơn tổng $AB^2+AC^2$ — dấu hiệu nhận biết một tam giác có góc tù mà không cần vẽ hình.
Theo (1), $BC=3\sqrt{19}\approx 13,08$ và $S=13,5\sqrt3\approx 23,38$ (đơn vị diện tích). Chú ý dấu trừ của $\cos120°$ làm $BC^2$ LỚN hơn tổng $AB^2+AC^2$ — dấu hiệu nhận biết một tam giác có góc tù mà không cần vẽ hình.

Câu 4 (vectơ + hệ thức lượng) — một bài, hai công cụ phải kết hợp

Câu cuối của đề HK1 là câu khó nhất vì không thể giải xong chỉ bằng MỘT công cụ: cần công thức trung điểm của vectơ (Chương 2, bài vectơ) để biểu diễn $\overrightarrow{AM}$ , nhưng để tính ĐỘ DÀI của nó lại cần khai triển bình phương vô hướng — và số hạng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ xuất hiện trong khai triển đó chỉ tính được nhờ hệ thức lượng (góc $A$ đã biết từ câu 3). Đây chính là kiểu câu hỏi "chọn công cụ" mà cả khóa ôn tập này hướng tới: hai mạch kiến thức khác nhau phải ghép lại trong cùng một lời giải.

Câu cuối của đề HK1 là câu khó nhất vì không thể giải xong chỉ bằng MỘT công cụ: cần công thức trung điểm của vectơ (Chương 2, bài vectơ) để biểu diễn $\overrightarrow{AM}$, nhưng để tính ĐỘ DÀI của nó lại cần khai triển bình phương vô hướng — và số hạng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ xuất hiện trong khai triển đó chỉ tính được nhờ hệ thức lượng (góc $A$ đã biết từ câu 3). Đây chính là kiểu câu hỏi "chọn công cụ" mà cả khóa ôn tập này hướng tới: hai mạch kiến thức khác nhau phải ghép lại trong cùng một lời giải.

Ví dụ

Câu 4 — độ dài trung tuyến bằng vectơ, dùng lại góc đã biết

1
Với tam giác $ABC$ ở câu 3 ( $AB=6$ , $AC=9$ , $\angle BAC=120°$ ), gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Tính độ dài đoạn thẳng $AM$ .
Với tam giác $ABC$ ở câu 3 ($AB=6$, $AC=9$, $\angle BAC=120°$), gọi $M$ là trung điểm $BC$. Tính độ dài đoạn thẳng $AM$.
2
$\overrightarrow{AM}$ biểu diễn qua $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ bằng công thức trung điểm (công cụ vectơ), nhưng bình phương độ dài của nó sinh ra tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ — đại lượng này chỉ tính được từ góc $A$ đã cho, tức phải quay lại hệ thức lượng.
$\overrightarrow{AM}$ biểu diễn qua $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ bằng công thức trung điểm (công cụ vectơ), nhưng bình phương độ dài của nó sinh ra tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ — đại lượng này chỉ tính được từ góc $A$ đã cho, tức phải quay lại hệ thức lượng.
3
Theo công thức trung điểm đã chứng minh ở Chương 2: $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ . (1)
Theo công thức trung điểm đã chứng minh ở Chương 2: $\overrightarrow{AM}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. (1)
4
Từ (1): $AM^2 = \left|\overrightarrow{AM}\right|^2 = \dfrac14\left(AB^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AC^2\right)$ .
Từ (1): $AM^2 = \left|\overrightarrow{AM}\right|^2 = \dfrac14\left(AB^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AC^2\right)$.
5
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB \cdot AC \cdot \cos A = 6 \cdot 9 \cdot \cos120° = 54 \cdot(-0,5)=-27$ . (2)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB \cdot AC \cdot \cos A = 6 \cdot 9 \cdot \cos120° = 54 \cdot(-0,5)=-27$. (2)
6
Theo (2): $AM^2=\dfrac14\left(36+2 \cdot(-27)+81\right)=\dfrac14 \cdot 63 = 15,75$ . Vậy $AM=\sqrt{15,75}=\dfrac{3\sqrt7}{2}\approx 3,97$ .
Theo (2): $AM^2=\dfrac14\left(36+2 \cdot(-27)+81\right)=\dfrac14 \cdot 63 = 15,75$. Vậy $AM=\sqrt{15,75}=\dfrac{3\sqrt7}{2}\approx 3,97$.
7
$\dfrac{3\sqrt7}{2}$ nằm giữa $0$ và $\dfrac{AB+AC}{2}=7,5$ như bất đẳng thức tam giác (trung tuyến) đòi hỏi — kết quả hợp lý về độ lớn.
$\dfrac{3\sqrt7}{2}$ nằm giữa $0$ và $\dfrac{AB+AC}{2}=7,5$ như bất đẳng thức tam giác (trung tuyến) đòi hỏi — kết quả hợp lý về độ lớn.

Câu 5 (đại số) — miền nghiệm quay lại trong một bối cảnh mới

Một đề tổng hợp thường dành ít nhất một câu cho miền nghiệm và bài toán tối ưu tuyến tính, dù đây là nội dung của chương đầu tiên trong học kỳ. Câu này nhắc lại đúng bộ công cụ đã ôn ở Chương 1: xác định miền nghiệm từ hệ bất phương trình, tìm các đỉnh, rồi thử hàm mục tiêu tại từng đỉnh — không có gì thay đổi so với lúc mới học, chỉ là câu hỏi xuất hiện sau ba câu hình học nên dễ khiến học sinh quên mất phải quay lại tư duy miền nghiệm.

Ví dụ

Câu 5 — miền nghiệm và hàm mục tiêu

1
Miền nghiệm của hệ $\{x \ge 0;\ y \ge 0;\ x+y \le 4\}$ có ba đỉnh $(0;0), (4;0), (0;4)$ . Tìm giá trị lớn nhất của $F=2x+3y$ trên miền này, và cho biết mệnh đề "tại điểm làm $F$ lớn nhất, $x=0$ " đúng hay sai.
Miền nghiệm của hệ $\{x \ge 0;\ y \ge 0;\ x+y \le 4\}$ có ba đỉnh $(0;0), (4;0), (0;4)$. Tìm giá trị lớn nhất của $F=2x+3y$ trên miền này, và cho biết mệnh đề "tại điểm làm $F$ lớn nhất, $x=0$" đúng hay sai.
2
Nhận ra ngay hai ẩn cùng ràng buộc bất đẳng thức và một hàm mục tiêu bậc nhất là dấu hiệu quay lại quy hoạch tuyến tính — chỉ cần thử hàm mục tiêu tại từng đỉnh đã cho, không cần dựng lại miền nghiệm từ đầu.
3
$F(0;0)=0$ , $F(4;0)=8$ , $F(0;4)=12$ .
$F(0;0)=0$, $F(4;0)=8$, $F(0;4)=12$.
4
Giá trị lớn nhất là $12$ , đạt tại $(0;4)$ .
Giá trị lớn nhất là $12$, đạt tại $(0;4)$.
5
Tại điểm làm $F$ lớn nhất, $(x;y)=(0;4)$ , nên $x=0$ đúng như mệnh đề nêu. Vậy mệnh đề đã cho đúng.
Tại điểm làm $F$ lớn nhất, $(x;y)=(0;4)$, nên $x=0$ đúng như mệnh đề nêu. Vậy mệnh đề đã cho đúng.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất trong một đề tổng hợp là cố giải một câu chỉ bằng công cụ của bài học gần nhất đã ôn, thay vì đọc kỹ xem câu đó thật sự cần công cụ nào. Câu 4 ở trên là ví dụ điển hình: nhìn qua tưởng chỉ là một bài vectơ, nhưng nếu không quay lại hệ thức lượng để tính tích vô hướng, bài toán sẽ bế tắc ở chính bước tưởng như đơn giản nhất.

Năm câu vừa giải tóm tắt đúng tinh thần của một đề kiểm tra học kỳ 1: câu 1, câu 2 và câu 5 kiểm tra mạch đại số (tam thức, tập hợp, mệnh đề, miền nghiệm), câu 3 kiểm tra hệ thức lượng, và câu 4 buộc phải kết hợp vectơ với hệ thức lượng trong cùng một lời giải. Không câu nào giới thiệu kiến thức mới — toàn bộ công cụ đã được ôn đầy đủ ở bốn chương trước, chỉ khác là đề không còn nói trước công cụ nào sẽ dùng, và thứ tự câu hỏi cố tình không đi theo đúng thứ tự chương đã học để luyện đúng phản xạ nhận diện.

Bài ôn tập cuối cùng của khóa học mở rộng đúng cách làm này ra toàn bộ chương trình Toán 10 — thêm phương pháp tọa độ và tổ hợp – xác suất – thống kê vào cùng một đề, mô phỏng đúng cấu trúc ma trận đề ôn tập cuối năm mà nhà trường thường ra.