Bài học

Vectơ và tích vô hướng — chọn đúng phép toán vectơ

Mục tiêu ôn tập

Vectơ cho em hai lối đi khác hẳn nhau để giải cùng một dạng bài hình học: lối tọa độ (khi đề cho tọa độ điểm, cộng trừ và nhân vô hướng bằng các thành phần) và lối tổng hợp (khi đề không có tọa độ, chỉ có quan hệ hình học như trung điểm hay hình bình hành, dùng quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm–trọng tâm). Bài ôn tập này luyện em nhận ra ngay đề đang đi theo lối nào.

Có tọa độ hay không — hai lối đi khác nhau

Khi đề cho tọa độ các điểm, mọi phép toán vectơ quy về phép toán trên từng thành phần: vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ $(x_B-x_A; y_B-y_A)$ , tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1+u_2v_2$ , và vuông góc kiểm tra bằng tích vô hướng bằng $0$ — không cần vẽ hình cũng ra được kết quả chính xác. Ngược lại, khi đề chỉ mô tả quan hệ hình học (M là trung điểm, ABCD là hình bình hành) mà không cho tọa độ, công cụ là quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, và các đẳng thức vectơ về trung điểm, trọng tâm — đặt tọa độ vào đây chỉ làm bài toán dài thêm mà không cần thiết.

Khi đề cho tọa độ các điểm, mọi phép toán vectơ quy về phép toán trên từng thành phần: vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ $(x_B-x_A; y_B-y_A)$, tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1+u_2v_2$, và vuông góc kiểm tra bằng tích vô hướng bằng $0$ — không cần vẽ hình cũng ra được kết quả chính xác. Ngược lại, khi đề chỉ mô tả quan hệ hình học (M là trung điểm, ABCD là hình bình hành) mà không cho tọa độ, công cụ là quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, và các đẳng thức vectơ về trung điểm, trọng tâm — đặt tọa độ vào đây chỉ làm bài toán dài thêm mà không cần thiết.

Lời giải có hình

Tam giác cho bằng tọa độ: vuông góc và trọng tâm cùng một hình

Bước 1

Vẽ tam giác ABC theo tọa độ đề cho: A(0;0), B(4;3), C(-3;4).

Cùng ba đỉnh A, B, C trên hệ trục Oxy — vị trí của G cho thấy trực quan trọng tâm nằm trong tam giác, gần trung điểm BC hơn đỉnh A theo tỉ lệ 2:1.

Ví dụ

Tọa độ vectơ: vuông góc, trọng tâm và diện tích cùng một bài

1
Cho $A(0;0)$ , $B(4;3)$ , $C(-3;4)$ . a) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ . c) Tính diện tích tam giác.
Cho $A(0;0)$, $B(4;3)$, $C(-3;4)$. a) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $A$. b) Tìm tọa độ trọng tâm $G$. c) Tính diện tích tam giác.
2
Cả ba đỉnh đều có tọa độ — công cụ cho câu a là tích vô hướng theo thành phần, cho câu b là công thức trung bình tọa độ ba đỉnh, và cho câu c là tận dụng luôn góc vuông vừa chứng minh được ở câu a thay vì tính lại bằng Heron.
3
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;3)$ , $\overrightarrow{AC}=(-3;4)$ . Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot(-3)+3 \cdot 4 = -12+12=0$ . Vì tích vô hướng bằng $0$ , hai vectơ vuông góc. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . (1)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;3)$, $\overrightarrow{AC}=(-3;4)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot(-3)+3 \cdot 4 = -12+12=0$. Vì tích vô hướng bằng $0$, hai vectơ vuông góc. Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$. (1)
4
Ta có $G\left(\dfrac{0+4+(-3)}{3}; \dfrac{0+3+4}{3}\right) = G\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{7}{3}\right)$ .
Ta có $G\left(\dfrac{0+4+(-3)}{3}; \dfrac{0+3+4}{3}\right) = G\left(\dfrac{1}{3}; \dfrac{7}{3}\right)$.
5
Theo (1), tam giác vuông tại $A$ nên hai cạnh góc vuông là $AB$ và $AC$ . Ta có $AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$ , $AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$ . Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: $S=\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5$ .
Theo (1), tam giác vuông tại $A$ nên hai cạnh góc vuông là $AB$ và $AC$. Ta có $AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2}=5$, $AC=|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$. Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: $S=\dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,5$.
6
Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , trọng tâm $G\left(\frac13;\frac73\right)$ , và diện tích bằng $12,5$ (đơn vị diện tích). Chú ý cách câu a mở khóa câu c: một khi đã biết góc vuông, công thức diện tích tam giác vuông luôn nhanh hơn Heron hay $\frac12 ab\sin C$ .
Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$, trọng tâm $G\left(\frac13;\frac73\right)$, và diện tích bằng $12,5$ (đơn vị diện tích). Chú ý cách câu a mở khóa câu c: một khi đã biết góc vuông, công thức diện tích tam giác vuông luôn nhanh hơn Heron hay $\frac12 ab\sin C$.

Không có tọa độ — quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm

Khi đề không cho tọa độ mà chỉ nói về quan hệ hình học thuần túy, việc đặt hệ trục tọa độ tùy tiện thường làm bài toán dài hơn cần thiết, vì kết quả cần chứng minh đúng với MỌI vị trí của tam giác, không riêng một hệ tọa độ cụ thể. Công cụ đúng lúc này là biến đổi vectơ thuần túy: quy tắc ba điểm $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$ , và đẳng thức trung điểm $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec0$ khi $M$ là trung điểm $AB$ .

Khi đề không cho tọa độ mà chỉ nói về quan hệ hình học thuần túy, việc đặt hệ trục tọa độ tùy tiện thường làm bài toán dài hơn cần thiết, vì kết quả cần chứng minh đúng với MỌI vị trí của tam giác, không riêng một hệ tọa độ cụ thể. Công cụ đúng lúc này là biến đổi vectơ thuần túy: quy tắc ba điểm $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$, và đẳng thức trung điểm $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec0$ khi $M$ là trung điểm $AB$.

Ví dụ

Chứng minh đẳng thức trung điểm bằng biến đổi vectơ thuần túy

1
Cho tam giác $ABC$ , gọi $M$ là trung điểm $BC$ . Chứng minh $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ .
Cho tam giác $ABC$, gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.
2
Đề không cho tọa độ và yêu cầu chứng minh đúng với mọi tam giác — đặt tọa độ vào đây sẽ chỉ chứng minh cho một trường hợp cụ thể, không phải chứng minh tổng quát. Công cụ đúng là quy tắc ba điểm kết hợp tính chất trung điểm.
3
Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$ . (1) Đồng thời cũng có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$ . (2)
Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM}$. (1) Đồng thời cũng có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}$. (2)
4
Cộng (1) và (2) theo vế: $2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}\right)$ .
Cộng (1) và (2) theo vế: $2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}\right)$.
5
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{CM}$ , suy ra $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\vec0$ .
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{CM}$, suy ra $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\vec0$.
6
Thay vào bước trên: $2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ , suy ra $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ (điều phải chứng minh). Đẳng thức đúng với mọi vị trí của $A, B, C$ , không phụ thuộc hệ tọa độ nào.
Thay vào bước trên: $2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ (điều phải chứng minh). Đẳng thức đúng với mọi vị trí của $A, B, C$, không phụ thuộc hệ tọa độ nào.

Cùng nguyên tắc "không tọa độ thì dùng quy tắc thuần túy" áp dụng cho hình bình hành: quy tắc hình bình hành nói $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (đường chéo bằng tổng hai cạnh kề), và giao điểm hai đường chéo luôn là trung điểm của cả hai đường chéo — hai sự kiện này thường được dùng nối tiếp nhau trong một bài chứng minh, không phải hai công thức tách rời.

Ví dụ

Hình bình hành — giao điểm hai đường chéo là trung điểm chung

1
Cho hình bình hành $ABCD$ , gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ . Chứng minh $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$ , từ đó suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec0$ .
Cho hình bình hành $ABCD$, gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Chứng minh $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$, từ đó suy ra $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec0$.
2
Đề không cho tọa độ, chỉ mô tả một hình bình hành bằng tên gọi — công cụ đúng là tính chất hình học của hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường), không cần đặt hệ trục.
3
Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường — đây là một tính chất đã học, không cần chứng minh lại. Vậy $O$ vừa là trung điểm $AC$ , vừa là trung điểm $BD$ . (1)
Theo tính chất hình bình hành, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường — đây là một tính chất đã học, không cần chứng minh lại. Vậy $O$ vừa là trung điểm $AC$, vừa là trung điểm $BD$. (1)
4
Theo (1), vì $O$ là trung điểm $AC$ , áp dụng tính chất trung điểm đã ôn ở ví dụ trước: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec0$ .
Theo (1), vì $O$ là trung điểm $AC$, áp dụng tính chất trung điểm đã ôn ở ví dụ trước: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec0$.
5
Vậy $O$ là trung điểm chung của hai đường chéo, và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec0$ — tương tự cũng có $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec0$ . Đây là lý do vì sao O thường được chọn làm gốc khi cần một hệ vectơ đối xứng trong hình bình hành.
Vậy $O$ là trung điểm chung của hai đường chéo, và $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\vec0$ — tương tự cũng có $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\vec0$. Đây là lý do vì sao O thường được chọn làm gốc khi cần một hệ vectơ đối xứng trong hình bình hành.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là đặt tọa độ tùy tiện cho một bài chứng minh cần đúng với MỌI tam giác, rồi tưởng đã chứng minh xong khi mới chỉ kiểm tra được một trường hợp cụ thể. Một sai lầm khác là quên đổi dấu khi tách vectơ qua điểm trung gian ngược chiều, ví dụ nhầm $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{MB}$ là cùng một vectơ.

Tổng kết: vectơ có tọa độ hay không quyết định toàn bộ cách trình bày lời giải. Có tọa độ — mọi phép toán, kể cả vuông góc và trọng tâm, quy về cộng trừ và nhân các thành phần. Không có tọa độ — quy tắc ba điểm và tính chất trung điểm/trọng tâm là công cụ duy nhất cho một chứng minh tổng quát, đúng với mọi hình chứ không riêng một trường hợp vẽ cụ thể.

Chương tiếp theo rời khỏi hình học tổng hợp để bước sang phương pháp tọa độ trong mặt phẳng — nơi CHÍNH tọa độ trở thành công cụ trung tâm cho cả đường thẳng, đường tròn lẫn ba đường conic, và việc chọn đúng dạng phương trình (tổng quát, tham số, chính tắc) theo dữ kiện đề cho lại là kỹ năng cốt lõi tiếp theo.

Một cách khác để ghi nhớ ranh giới giữa hai lối đi: nếu đề bài có thể vẽ được với thước và compa mà không cần một hệ trục cụ thể nào — ví dụ "cho tam giác bất kỳ", "cho hình bình hành bất kỳ" — thì kết luận cần đúng với MỌI hình như vậy, và chỉ biến đổi vectơ thuần túy mới chứng minh được điều đó. Ngược lại, một khi đề đã neo các điểm vào những con số cụ thể — $A(0;0)$ , $B(4;3)$ — thì bài toán chỉ còn hỏi về MỘT hình cụ thể, và tọa độ luôn là con đường ngắn nhất. Nhầm lẫn giữa hai tình huống này là nguyên nhân phổ biến khiến một bài chứng minh đơn giản bị làm dài gấp đôi cần thiết.

Một cách khác để ghi nhớ ranh giới giữa hai lối đi: nếu đề bài có thể vẽ được với thước và compa mà không cần một hệ trục cụ thể nào — ví dụ "cho tam giác bất kỳ", "cho hình bình hành bất kỳ" — thì kết luận cần đúng với MỌI hình như vậy, và chỉ biến đổi vectơ thuần túy mới chứng minh được điều đó. Ngược lại, một khi đề đã neo các điểm vào những con số cụ thể — $A(0;0)$, $B(4;3)$ — thì bài toán chỉ còn hỏi về MỘT hình cụ thể, và tọa độ luôn là con đường ngắn nhất. Nhầm lẫn giữa hai tình huống này là nguyên nhân phổ biến khiến một bài chứng minh đơn giản bị làm dài gấp đôi cần thiết.