Bài học

Đếm, hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp và nhị thức Newton — chọn đúng công thức đếm

Mục tiêu ôn tập

Đếm là mạch kiến thức mà chọn sai công cụ cho ra sai số ngay lập tức, không có "gần đúng". Bài ôn tập này xâu chuỗi lại quy tắc cộng/nhân, ba công thức hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp, và nhị thức Newton thành một quy trình quyết định duy nhất: hỏi đúng ba câu trước khi chọn công thức.

Ba câu hỏi quyết định công thức đếm

Câu hỏi thứ nhất: công việc có tách thành nhiều phương án loại trừ nhau (chỉ chọn một trong số đó), hay nhiều bước liên tiếp (phải làm hết tất cả các bước)? Phương án loại trừ nhau dùng quy tắc cộng; các bước liên tiếp dùng quy tắc nhân. Câu hỏi thứ hai, khi đã vào một bước chọn phần tử: có chọn HẾT $n$ phần tử hay chỉ chọn $k<n$ trong số đó? Chọn hết và sắp xếp thành hàng dùng hoán vị $P_n=n!$ . Câu hỏi thứ ba, khi chỉ chọn $k$ trong $n$ : các phần tử được chọn có phân biệt vai trò (thứ tự, chức vụ) hay không? Có phân biệt dùng chỉnh hợp $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ ; không phân biệt dùng tổ hợp $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Câu hỏi thứ nhất: công việc có tách thành nhiều phương án loại trừ nhau (chỉ chọn một trong số đó), hay nhiều bước liên tiếp (phải làm hết tất cả các bước)? Phương án loại trừ nhau dùng quy tắc cộng; các bước liên tiếp dùng quy tắc nhân. Câu hỏi thứ hai, khi đã vào một bước chọn phần tử: có chọn HẾT $n$ phần tử hay chỉ chọn $k<n$ trong số đó? Chọn hết và sắp xếp thành hàng dùng hoán vị $P_n=n!$. Câu hỏi thứ ba, khi chỉ chọn $k$ trong $n$: các phần tử được chọn có phân biệt vai trò (thứ tự, chức vụ) hay không? Có phân biệt dùng chỉnh hợp $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$; không phân biệt dùng tổ hợp $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Ba câu hỏi này áp dụng cho mọi bài đếm — trả lời đúng thứ tự trước khi viết bất kỳ công thức nào.

Ví dụ

Một bài toán, cả quy tắc cộng lẫn quy tắc nhân

1
Một quán ăn có $4$ món chính hoặc $3$ món chay (khách chỉ chọn đúng $1$ trong $7$ món này), sau đó chọn thêm $1$ trong $2$ loại nước uống. Hỏi khách có bao nhiêu cách chọn một bữa ăn (gồm một món và một nước uống)?
Một quán ăn có $4$ món chính hoặc $3$ món chay (khách chỉ chọn đúng $1$ trong $7$ món này), sau đó chọn thêm $1$ trong $2$ loại nước uống. Hỏi khách có bao nhiêu cách chọn một bữa ăn (gồm một món và một nước uống)?
2
Bước "chọn món" có hai nhóm phương án loại trừ nhau (chính hoặc chay, không chọn cả hai) — dùng quy tắc cộng bên trong bước này. Nhưng bữa ăn cần cả món VÀ nước uống — hai bước liên tiếp bắt buộc — dùng quy tắc nhân giữa hai bước.
3
Vì món chính và món chay loại trừ nhau (chọn nhóm này thì không chọn nhóm kia), số cách chọn món là $4+3=7$ cách. (1)
Vì món chính và món chay loại trừ nhau (chọn nhóm này thì không chọn nhóm kia), số cách chọn món là $4+3=7$ cách. (1)
4
Theo (1), việc chọn nước uống là một bước liên tiếp, độc lập với món đã chọn, nên tổng số cách chọn bữa ăn là $7 \times 2 = 14$ cách.
Theo (1), việc chọn nước uống là một bước liên tiếp, độc lập với món đã chọn, nên tổng số cách chọn bữa ăn là $7 \times 2 = 14$ cách.
5
Vậy khách có $14$ cách chọn một bữa ăn gồm một món và một nước uống.
Vậy khách có $14$ cách chọn một bữa ăn gồm một món và một nước uống.

Cùng một nhóm 8 học sinh, ba câu hỏi khác nhau

Ví dụ rõ nhất để phân biệt ba công thức là dùng chung một nhóm học sinh cho ba tình huống khác nhau: xếp hàng (hoán vị), chọn ra một số bạn có vai trò khác nhau (chỉnh hợp), và chọn ra một số bạn không phân vai trò (tổ hợp). Cùng số liệu đầu vào nhưng ba câu hỏi cho ba kết quả rất khác nhau.

Ví dụ

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trên cùng một nhóm 8 học sinh

1
Một lớp có $8$ học sinh. a) Có bao nhiêu cách xếp cả $8$ em thành một hàng dọc? b) Có bao nhiêu cách chọn $3$ em làm lớp trưởng, lớp phó, thư ký (ba chức vụ khác nhau)? c) Có bao nhiêu cách chọn $3$ em đi thi học sinh giỏi (không phân vai trò)?
Một lớp có $8$ học sinh. a) Có bao nhiêu cách xếp cả $8$ em thành một hàng dọc? b) Có bao nhiêu cách chọn $3$ em làm lớp trưởng, lớp phó, thư ký (ba chức vụ khác nhau)? c) Có bao nhiêu cách chọn $3$ em đi thi học sinh giỏi (không phân vai trò)?
2
Câu a chọn HẾT cả $8$ em và xếp thành hàng có thứ tự — hoán vị. Câu b chỉ chọn $3$ trong $8$ em nhưng ba vị trí có vai trò khác nhau (đổi hai em cho hai chức vụ khác nhau ra một cách chọn khác) — chỉnh hợp. Câu c cũng chọn $3$ trong $8$ nhưng ba em này vai trò như nhau (đổi thứ tự không tạo ra nhóm khác) — tổ hợp.
Câu a chọn HẾT cả $8$ em và xếp thành hàng có thứ tự — hoán vị. Câu b chỉ chọn $3$ trong $8$ em nhưng ba vị trí có vai trò khác nhau (đổi hai em cho hai chức vụ khác nhau ra một cách chọn khác) — chỉnh hợp. Câu c cũng chọn $3$ trong $8$ nhưng ba em này vai trò như nhau (đổi thứ tự không tạo ra nhóm khác) — tổ hợp.
3
Số cách xếp cả $8$ em thành hàng là $P_8=8!=40\,320$ .
Số cách xếp cả $8$ em thành hàng là $P_8=8!=40\,320$.
4
Vì ba chức vụ phân biệt vai trò, số cách chọn là $A_8^3=\dfrac{8!}{(8-3)!}=8 \times 7 \times 6=336$ .
Vì ba chức vụ phân biệt vai trò, số cách chọn là $A_8^3=\dfrac{8!}{(8-3)!}=8 \times 7 \times 6=336$.
5
Vì ba bạn đi thi không phân vai trò, số cách chọn là $C_8^3=\dfrac{8!}{3!5!}=\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}=56$ .
Vì ba bạn đi thi không phân vai trò, số cách chọn là $C_8^3=\dfrac{8!}{3!5!}=\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}=56$.
6
Vậy ba câu hỏi cho ba kết quả $40\,320$ , $336$ , $56$ — đúng bằng $336=6 \times 56$ , vì mỗi cách chọn $3$ bạn (không vai trò) có thể gán vai trò theo $3!=6$ cách khác nhau. Đây là mối liên hệ luôn đúng: $A_n^k = k! \times C_n^k$ .
Vậy ba câu hỏi cho ba kết quả $40\,320$, $336$, $56$ — đúng bằng $336=6 \times 56$, vì mỗi cách chọn $3$ bạn (không vai trò) có thể gán vai trò theo $3!=6$ cách khác nhau. Đây là mối liên hệ luôn đúng: $A_n^k = k! \times C_n^k$.

Nhị thức Newton — khai triển và ứng dụng

Nhị thức Newton $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$ dùng chính công thức tổ hợp vừa ôn — hệ số của mỗi số hạng là một $C_n^k$ . Khi đề chỉ hỏi MỘT hệ số cụ thể (không cần khai triển hết), công cụ là số hạng tổng quát $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k$ , tìm đúng $k$ ứng với số hạng cần rồi thay vào, nhanh hơn khai triển toàn bộ rất nhiều.

Nhị thức Newton $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k}b^k$ dùng chính công thức tổ hợp vừa ôn — hệ số của mỗi số hạng là một $C_n^k$. Khi đề chỉ hỏi MỘT hệ số cụ thể (không cần khai triển hết), công cụ là số hạng tổng quát $T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k$, tìm đúng $k$ ứng với số hạng cần rồi thay vào, nhanh hơn khai triển toàn bộ rất nhiều.

Mỗi cột chính là hệ số của một số hạng trong khai triển (a+b)⁵ — dãy đối xứng vì Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.

Ví dụ

Khai triển đầy đủ và tìm một hệ số riêng lẻ

1
a) Khai triển đầy đủ $(x+2)^4$ . b) Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(x+1)^5$ mà không khai triển toàn bộ.
a) Khai triển đầy đủ $(x+2)^4$. b) Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển $(x+1)^5$ mà không khai triển toàn bộ.
2
Câu a cần TOÀN BỘ khai triển nên phải liệt kê hết các số hạng theo công thức tổng quát. Câu b chỉ cần MỘT hệ số, nên công cụ nhanh hơn là xác định đúng $k$ tương ứng với lũy thừa $x^3$ trong số hạng tổng quát, rồi tính riêng số hạng đó.
Câu a cần TOÀN BỘ khai triển nên phải liệt kê hết các số hạng theo công thức tổng quát. Câu b chỉ cần MỘT hệ số, nên công cụ nhanh hơn là xác định đúng $k$ tương ứng với lũy thừa $x^3$ trong số hạng tổng quát, rồi tính riêng số hạng đó.
3
Với $n=4$ , $a=x$ , $b=2$ : $(x+2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 2^2 + C_4^3 x \cdot 2^3 + C_4^4 \cdot 2^4 = x^4+8x^3+24x^2+32x+16$ .
Với $n=4$, $a=x$, $b=2$: $(x+2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2 + C_4^2 x^2 \cdot 2^2 + C_4^3 x \cdot 2^3 + C_4^4 \cdot 2^4 = x^4+8x^3+24x^2+32x+16$.
4
Số hạng tổng quát của $(x+1)^5$ là $T_{k+1}=C_5^k x^{5-k} \cdot 1^k = C_5^k x^{5-k}$ . Cần $5-k=3 \Rightarrow k=2$ .
Số hạng tổng quát của $(x+1)^5$ là $T_{k+1}=C_5^k x^{5-k} \cdot 1^k = C_5^k x^{5-k}$. Cần $5-k=3 \Rightarrow k=2$.
5
Hệ số của $x^3$ là $C_5^2 = \dfrac{5!}{2!3!}=10$ .
Hệ số của $x^3$ là $C_5^2 = \dfrac{5!}{2!3!}=10$.
6
Vậy $(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$ , và hệ số của $x^3$ trong $(x+1)^5$ là $10$ , tìm được mà không cần viết hết cả năm số hạng.
Vậy $(x+2)^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$, và hệ số của $x^3$ trong $(x+1)^5$ là $10$, tìm được mà không cần viết hết cả năm số hạng.

Ví dụ

Ứng dụng nhị thức Newton — tổng hệ số và tính gần đúng

1
a) Tính $C_6^0+C_6^1+\dots+C_6^6$ . b) Dùng nhị thức Newton tính gần đúng $1,02^5$ (giữ ba số hạng đầu).
a) Tính $C_6^0+C_6^1+\dots+C_6^6$. b) Dùng nhị thức Newton tính gần đúng $1,02^5$ (giữ ba số hạng đầu).
2
Câu a là tổng TẤT CẢ hệ số của một hàng Pascal — công cụ là thay $a=b=1$ vào nhị thức Newton, biến mọi số hạng thành đúng hệ số. Câu b cần một giá trị GẦN ĐÚNG của một lũy thừa lẻ, nên tách $1,02=1+0,02$ rồi dùng vài số hạng đầu của khai triển thay vì bấm máy tính lũy thừa trực tiếp.
Câu a là tổng TẤT CẢ hệ số của một hàng Pascal — công cụ là thay $a=b=1$ vào nhị thức Newton, biến mọi số hạng thành đúng hệ số. Câu b cần một giá trị GẦN ĐÚNG của một lũy thừa lẻ, nên tách $1,02=1+0,02$ rồi dùng vài số hạng đầu của khai triển thay vì bấm máy tính lũy thừa trực tiếp.
3
$(1+1)^6=\sum_{k=0}^{6} C_6^k \cdot 1^{6-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^{6} C_6^k$ . Vậy $C_6^0+\dots+C_6^6=2^6=64$ .
$(1+1)^6=\sum_{k=0}^{6} C_6^k \cdot 1^{6-k} \cdot 1^k = \sum_{k=0}^{6} C_6^k$. Vậy $C_6^0+\dots+C_6^6=2^6=64$.
4
$1,02^5=(1+0,02)^5=C_5^0+C_5^1 \cdot 0,02+C_5^2 \cdot 0,02^2+\dots \approx 1+5 \cdot 0,02+10 \cdot 0,02^2=1+0,1+0,004=1,104$ .
$1,02^5=(1+0,02)^5=C_5^0+C_5^1 \cdot 0,02+C_5^2 \cdot 0,02^2+\dots \approx 1+5 \cdot 0,02+10 \cdot 0,02^2=1+0,1+0,004=1,104$.
5
Vậy tổng các hệ số của hàng Pascal thứ $6$ là $64$ , và $1,02^5 \approx 1,104$ — giá trị thật là $1,10408...$ , sai số chưa tới $0,001$ dù chỉ giữ ba số hạng đầu.
Vậy tổng các hệ số của hàng Pascal thứ $6$ là $64$, và $1,02^5 \approx 1,104$ — giá trị thật là $1,10408...$, sai số chưa tới $0,001$ dù chỉ giữ ba số hạng đầu.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là nhầm chỉnh hợp với tổ hợp khi đề không nói rõ "vai trò" hay "chức vụ" bằng từ ngữ tường minh — phải tự hỏi: nếu đổi chỗ hai phần tử đã chọn cho nhau, kết quả có còn được xem là MỘT cách chọn khác hay không. Đổi chỗ mà vẫn là cùng một cách chọn → tổ hợp. Đổi chỗ ra cách chọn khác → chỉnh hợp. Một sai lầm khác là dùng quy tắc cộng cho các bước phải làm hết (đáng lẽ dùng nhân), ví dụ đếm mã số bằng cách cộng số lựa chọn của từng vị trí thay vì nhân.

Tổng kết: toàn bộ mạch đếm quy về ba câu hỏi phân loại (cộng hay nhân, chọn hết hay chọn một phần, có phân biệt vai trò hay không) cộng thêm nhị thức Newton như một công cụ khai triển dùng lại chính công thức tổ hợp. Không có công thức nào trong bốn công thức này khó hơn công thức còn lại — cái khó duy nhất là chọn đúng công thức cho đúng tình huống.

Bài tiếp theo khép lại mạch tổ hợp – xác suất – thống kê bằng số đặc trưng của mẫu số liệu và xác suất cổ điển — nơi các công thức đếm vừa ôn (đặc biệt tổ hợp) quay lại làm công cụ tính xác suất trong các bài chọn ngẫu nhiên nhiều phần tử.

Một thói quen tốt khi làm đề thi: viết ra bằng lời ba câu trả lời (loại trừ nhau hay liên tiếp, chọn hết hay chọn một phần, có phân biệt vai trò hay không) trước khi viết bất kỳ ký hiệu $P$ , $A$ hay $C$ nào. Việc này chỉ tốn vài giây nhưng loại bỏ gần hết những lỗi chọn nhầm công thức — lỗi phổ biến nhất trong toàn bộ mạch kiến thức này.

Một thói quen tốt khi làm đề thi: viết ra bằng lời ba câu trả lời (loại trừ nhau hay liên tiếp, chọn hết hay chọn một phần, có phân biệt vai trò hay không) trước khi viết bất kỳ ký hiệu $P$, $A$ hay $C$ nào. Việc này chỉ tốn vài giây nhưng loại bỏ gần hết những lỗi chọn nhầm công thức — lỗi phổ biến nhất trong toàn bộ mạch kiến thức này.