Bài học

Đường thẳng và đường tròn trong mặt phẳng tọa độ — chọn đúng dạng phương trình

Mục tiêu ôn tập

Chương này đưa vectơ vào một hệ trục cụ thể để viết phương trình cho đường thẳng và đường tròn. Vẫn là ba câu hỏi cũ (viết phương trình, xét vị trí tương đối, tính khoảng cách) nhưng giờ mọi thứ quy về đại số: thay số vào công thức, so sánh hai giá trị. Bài ôn tập này luyện em chọn đúng dạng phương trình và đúng công thức so sánh.

Hai dạng phương trình đường thẳng — chọn theo dữ kiện có sẵn

Biết một điểm và một vectơ pháp tuyến (vuông góc với đường thẳng) — công cụ là phương trình tổng quát $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ , khai triển thành $ax+by+c=0$ . Biết một điểm và một vectơ chỉ phương (song song với đường thẳng), hoặc biết hai điểm trên đường thẳng — công cụ là phương trình tham số $x=x_0+u_1t,\ y=y_0+u_2t$ . Hai dạng mô tả cùng một đường thẳng nhưng xuất phát từ hai loại vectơ khác nhau, nên việc đầu tiên là hỏi: đề cho pháp tuyến hay chỉ phương?

Biết một điểm và một vectơ pháp tuyến (vuông góc với đường thẳng) — công cụ là phương trình tổng quát $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$, khai triển thành $ax+by+c=0$. Biết một điểm và một vectơ chỉ phương (song song với đường thẳng), hoặc biết hai điểm trên đường thẳng — công cụ là phương trình tham số $x=x_0+u_1t,\ y=y_0+u_2t$. Hai dạng mô tả cùng một đường thẳng nhưng xuất phát từ hai loại vectơ khác nhau, nên việc đầu tiên là hỏi: đề cho pháp tuyến hay chỉ phương?

Ví dụ

Viết phương trình đường thẳng — pháp tuyến và chỉ phương

1
a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $A(1;2)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(3;-1)$ . b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm $A(1;2)$ , $B(5;-4)$ .
a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua $A(1;2)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(3;-1)$. b) Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm $A(1;2)$, $B(5;-4)$.
2
Câu a cho sẵn vectơ pháp tuyến nên dùng thẳng phương trình tổng quát. Câu b cho hai điểm — vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$ , nên dùng phương trình tham số; muốn có phương trình tổng quát từ hai điểm phải đổi chỉ phương thành pháp tuyến trước, đi vòng hơn.
Câu a cho sẵn vectơ pháp tuyến nên dùng thẳng phương trình tổng quát. Câu b cho hai điểm — vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}$, nên dùng phương trình tham số; muốn có phương trình tổng quát từ hai điểm phải đổi chỉ phương thành pháp tuyến trước, đi vòng hơn.
3
Đường thẳng qua $A(1;2)$ với pháp tuyến $\vec n=(3;-1)$ có phương trình $3(x-1)-1(y-2)=0$ , khai triển: $3x-y-1=0$ .
Đường thẳng qua $A(1;2)$ với pháp tuyến $\vec n=(3;-1)$ có phương trình $3(x-1)-1(y-2)=0$, khai triển: $3x-y-1=0$.
4
Ta có $\overrightarrow{AB}=(5-1;-4-2)=(4;-6)$ , rút gọn còn $\vec u=(2;-3)$ . Phương trình tham số qua $A(1;2)$ với chỉ phương $\vec u$ : $x=1+2t,\ y=2-3t$ .
Ta có $\overrightarrow{AB}=(5-1;-4-2)=(4;-6)$, rút gọn còn $\vec u=(2;-3)$. Phương trình tham số qua $A(1;2)$ với chỉ phương $\vec u$: $x=1+2t,\ y=2-3t$.
5
Với $t=2$ ở câu b: $x=1+4=5$ , $y=2-6=-4$ — đúng là điểm $B(5;-4)$ , xác nhận tham số hóa đúng.
Với $t=2$ ở câu b: $x=1+4=5$, $y=2-6=-4$ — đúng là điểm $B(5;-4)$, xác nhận tham số hóa đúng.

Một cách khác để nhớ ranh giới giữa hai dạng: pháp tuyến luôn vuông góc với đường thẳng cần viết, còn chỉ phương luôn song song với nó. Nếu đề cho "vuông góc với đường thẳng khác" hoặc "vuông góc với một vectơ cho trước", đó chính là pháp tuyến của đường thẳng cần tìm — dùng ngay phương trình tổng quát. Nếu đề cho "song song với" hoặc cho hai điểm để nối, đó là chỉ phương — dùng phương trình tham số. Nhầm vai trò của hai loại vectơ này là lỗi phổ biến nhất khi mới ôn lại chương.

Đường tròn — dạng chính tắc và dạng khai triển

Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ có phương trình chính tắc $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ ; khai triển ra sẽ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $c=a^2+b^2-R^2$ . Khi đề cho sẵn dạng khai triển, công cụ để tìm lại tâm và bán kính là đồng nhất hệ số: tâm $(a;b)$ đọc trực tiếp từ hệ số $x, y$ (chia $-2$ ), còn $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$ .

Đường tròn tâm $I(a;b)$ bán kính $R$ có phương trình chính tắc $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$; khai triển ra sẽ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $c=a^2+b^2-R^2$. Khi đề cho sẵn dạng khai triển, công cụ để tìm lại tâm và bán kính là đồng nhất hệ số: tâm $(a;b)$ đọc trực tiếp từ hệ số $x, y$ (chia $-2$), còn $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

Ví dụ

Từ phương trình khai triển tìm lại tâm và bán kính

1
Đường tròn $(C): x^2+y^2-4x+6y-3=0$ . Tìm tâm $I$ và bán kính $R$ .
Đường tròn $(C): x^2+y^2-4x+6y-3=0$. Tìm tâm $I$ và bán kính $R$.
2
Phương trình đã ở dạng khai triển $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ — công cụ đúng là đồng nhất hệ số, không cần biến đổi về dạng chính tắc bằng cách thêm bớt (dù cách đó cũng ra kết quả tương tự nhưng chậm hơn).
Phương trình đã ở dạng khai triển $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ — công cụ đúng là đồng nhất hệ số, không cần biến đổi về dạng chính tắc bằng cách thêm bớt (dù cách đó cũng ra kết quả tương tự nhưng chậm hơn).
3
So với dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ : $-2a=-4 \Rightarrow a=2$ ; $-2b=6 \Rightarrow b=-3$ ; $c=-3$ .
So với dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$: $-2a=-4 \Rightarrow a=2$; $-2b=6 \Rightarrow b=-3$; $c=-3$.
4
$R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+9-(-3)}=\sqrt{16}=4$ .
$R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{4+9-(-3)}=\sqrt{16}=4$.
5
Vậy $(C)$ có tâm $I(2;-3)$ , bán kính $R=4$ .
Vậy $(C)$ có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=4$.

Đường thẳng d nằm gần tâm I hơn bán kính (khoảng cách ≈0,71 < R=4) nên cắt đường tròn tại hai điểm.

Chiều ngược lại — từ tâm và bán kính viết phương trình

Đề cũng có thể đi ngược: cho sẵn tâm và bán kính (hoặc tâm và một điểm thuộc đường tròn), yêu cầu viết phương trình. Khi đó công cụ đơn giản nhất là viết thẳng dạng chính tắc $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ — khai triển thành dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ chỉ cần thiết khi đề yêu cầu rõ dạng đó, không phải bước bắt buộc.

Ví dụ

Viết phương trình đường tròn và phương trình tiếp tuyến

1
a) Viết phương trình đường tròn tâm $I(1;-2)$ , bán kính $3$ . b) Cho đường tròn $(C)$ tâm $I(2;-3)$ , $R=4$ ở ví dụ trước, viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A(6;-3)$ thuộc $(C)$ .
a) Viết phương trình đường tròn tâm $I(1;-2)$, bán kính $3$. b) Cho đường tròn $(C)$ tâm $I(2;-3)$, $R=4$ ở ví dụ trước, viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $A(6;-3)$ thuộc $(C)$.
2
Câu a cho sẵn tâm và bán kính nên viết thẳng dạng chính tắc. Câu b cho một điểm trên đường tròn và yêu cầu tiếp tuyến — công cụ là tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, tức tiếp tuyến nhận $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến.
Câu a cho sẵn tâm và bán kính nên viết thẳng dạng chính tắc. Câu b cho một điểm trên đường tròn và yêu cầu tiếp tuyến — công cụ là tính chất tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, tức tiếp tuyến nhận $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến.
3
Đường tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $3$ có phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=9$ .
Đường tròn tâm $I(1;-2)$ bán kính $3$ có phương trình $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.
4
Ta có $(6-2)^2+(-3+3)^2=16+0=16=R^2$ , nên $A$ thuộc $(C)$ . Vectơ $\overrightarrow{IA}=(6-2;-3-(-3))=(4;0)$ vuông góc với tiếp tuyến tại $A$ , nên chính là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến.
Ta có $(6-2)^2+(-3+3)^2=16+0=16=R^2$, nên $A$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(6-2;-3-(-3))=(4;0)$ vuông góc với tiếp tuyến tại $A$, nên chính là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến.
5
Tiếp tuyến qua $A(6;-3)$ với pháp tuyến $(4;0)$ : $4(x-6)+0 \cdot(y+3)=0 \iff x=6$ .
Tiếp tuyến qua $A(6;-3)$ với pháp tuyến $(4;0)$: $4(x-6)+0 \cdot(y+3)=0 \iff x=6$.
6
Vậy tiếp tuyến của $(C)$ tại $A(6;-3)$ là đường thẳng đứng $x=6$ — điều này hợp lý vì $A$ là điểm bên phải cùng, nằm ngang tâm $I$ , nên bán kính $IA$ nằm ngang và tiếp tuyến vuông góc với nó phải là đường thẳng đứng.
Vậy tiếp tuyến của $(C)$ tại $A(6;-3)$ là đường thẳng đứng $x=6$ — điều này hợp lý vì $A$ là điểm bên phải cùng, nằm ngang tâm $I$, nên bán kính $IA$ nằm ngang và tiếp tuyến vuông góc với nó phải là đường thẳng đứng.

Khi đã có tâm và bán kính, xét vị trí tương đối giữa một đường thẳng và đường tròn không cần giải hệ phương trình — chỉ cần so sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng với bán kính: khoảng cách nhỏ hơn bán kính thì cắt tại hai điểm, bằng bán kính thì tiếp xúc, lớn hơn bán kính thì không cắt.

Ví dụ

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn — so khoảng cách, không giải hệ

1
Với $(C)$ tâm $I(2;-3)$ , $R=4$ ở trên, xét vị trí tương đối của $(C)$ với hai đường thẳng $d_1: x-y-6=0$ và $d_2: 3x+4y+30=0$ .
Với $(C)$ tâm $I(2;-3)$, $R=4$ ở trên, xét vị trí tương đối của $(C)$ với hai đường thẳng $d_1: x-y-6=0$ và $d_2: 3x+4y+30=0$.
2
Đã có tâm và bán kính từ ví dụ trước — công cụ nhanh nhất là công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, so với $R$ , thay vì giải hệ phương trình đường thẳng và đường tròn để tìm giao điểm.
Đã có tâm và bán kính từ ví dụ trước — công cụ nhanh nhất là công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, so với $R$, thay vì giải hệ phương trình đường thẳng và đường tròn để tìm giao điểm.
3
$d(I,d_1)=\dfrac{|1 \cdot 2+(-1)\cdot(-3)-6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|2+3-6|}{\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx 0,71$ .
$d(I,d_1)=\dfrac{|1 \cdot 2+(-1)\cdot(-3)-6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{|2+3-6|}{\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx 0,71$.
4
Vì $0,71 < R=4$ , đường thẳng $d_1$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt.
Vì $0,71 < R=4$, đường thẳng $d_1$ cắt đường tròn $(C)$ tại hai điểm phân biệt.
5
$d(I,d_2)=\dfrac{|3 \cdot 2+4 \cdot(-3)+30|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|6-12+30|}{5}=\dfrac{24}{5}=4,8$ .
$d(I,d_2)=\dfrac{|3 \cdot 2+4 \cdot(-3)+30|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|6-12+30|}{5}=\dfrac{24}{5}=4,8$.
6
Vì $4,8 > R=4$ , đường thẳng $d_2$ không cắt đường tròn $(C)$ — cả hai kết luận đều có được chỉ bằng công thức khoảng cách, không cần giải hệ phương trình nào.
Vì $4,8 > R=4$, đường thẳng $d_2$ không cắt đường tròn $(C)$ — cả hai kết luận đều có được chỉ bằng công thức khoảng cách, không cần giải hệ phương trình nào.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên chuẩn hóa vectơ pháp tuyến/chỉ phương khi đọc từ phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ — vectơ pháp tuyến là $(a;b)$ chứ không phải $(b;a)$ , và vectơ chỉ phương vuông góc với nó là $(-b;a)$ hoặc $(b;-a)$ . Một sai lầm khác là thử giải hệ phương trình để xét vị trí tương đối đường thẳng – đường tròn trong khi so khoảng cách với bán kính nhanh hơn nhiều và ít khả năng tính sai.

Sai lầm phổ biến nhất là quên chuẩn hóa vectơ pháp tuyến/chỉ phương khi đọc từ phương trình tổng quát $ax+by+c=0$ — vectơ pháp tuyến là $(a;b)$ chứ không phải $(b;a)$, và vectơ chỉ phương vuông góc với nó là $(-b;a)$ hoặc $(b;-a)$. Một sai lầm khác là thử giải hệ phương trình để xét vị trí tương đối đường thẳng – đường tròn trong khi so khoảng cách với bán kính nhanh hơn nhiều và ít khả năng tính sai.

Tổng kết: một khi đã xác định đúng loại vectơ đề cho (pháp tuyến hay chỉ phương) và đưa đường tròn về đúng tâm–bán kính, mọi câu hỏi về vị trí tương đối hay khoảng cách đều quy về so sánh hai số — không cần giải hệ, không cần vẽ hình chính xác từng milimét.

Bài tiếp theo tiếp tục dùng chính bộ công cụ tọa độ này cho ba đường conic — elip, hypebol, parabol — nơi việc chọn đúng công thức chính tắc phụ thuộc vào loại dữ kiện đề cho: độ dài trục, tiêu cự, hay một điểm thuộc conic.

Nhìn lại toàn bộ bài học, mọi câu hỏi trong phương pháp tọa độ đều bắt đầu từ đúng một câu hỏi nền: dữ kiện đề cho là loại vectơ nào (pháp tuyến hay chỉ phương), và đối tượng đang xét là đường thẳng hay đường tròn. Một khi trả lời được câu hỏi nền đó, phần còn lại chỉ là thay số vào đúng công thức — viết phương trình tổng quát hoặc tham số cho đường thẳng, đồng nhất hệ số hoặc viết trực tiếp dạng chính tắc cho đường tròn, và so khoảng cách với bán kính cho vị trí tương đối. Không có công thức nào trong bài này là mới so với chương trình đã học; điều luyện lại chỉ là phản xạ chọn đúng công thức trong đúng tình huống, điều mà một đề tổng hợp luôn kiểm tra gắt gao hơn một bài tập lẻ trong sách giáo khoa.