Bài học

Mệnh đề, tập hợp và bất phương trình hai ẩn — chọn đúng công cụ

Mục tiêu ôn tập

Cả học kỳ 1 phần đại số dạy em ba thứ ngôn ngữ khác nhau: ngôn ngữ mệnh đề (đúng/sai), ngôn ngữ tập hợp (một khoảng số), và ngôn ngữ miền nghiệm (một vùng trên mặt phẳng). Bài ôn tập này không dạy gì mới — nó luyện cho em một kỹ năng khác: nhìn một đề bài và nhận ra ngay nó đang nói bằng thứ ngôn ngữ nào, để chọn đúng công cụ ngay từ dòng đầu tiên.

Ba công cụ, ba dấu hiệu nhận biết

Đề cho một câu khẳng định và hỏi nó đúng hay sai, hoặc hỏi quan hệ kéo theo/tương đương giữa hai câu khẳng định — đó là địa bàn của mệnh đề. Đề cho một hoặc nhiều tập số (thường viết bằng khoảng, đoạn, nửa khoảng) và hỏi hợp, giao, hiệu, phần bù — đó là địa bàn của tập hợp. Đề cho hai ẩn cùng vài ràng buộc bất đẳng thức và một đại lượng cần lớn nhất hay nhỏ nhất (lợi nhuận, chi phí, số sản phẩm) — đó là địa bàn của bất phương trình bậc nhất hai ẩn và bài toán tối ưu tuyến tính. Ba dấu hiệu này không chồng lấn nhau, nên việc đầu tiên khi đọc một câu trong đề tổng hợp là hỏi: câu này đang hỏi về một mệnh đề, một tập số, hay một miền nghiệm?

Bốn mốc trên trục số là ranh giới của hai tập hợp A=[-2;5] và B=(1;7] sẽ dùng lại trong ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1 — mệnh đề lồng trong tập hợp

Đề bài không tách rời mệnh đề khỏi tập hợp: xét tính đúng sai của một mệnh đề chứa điều kiện thuộc tập hợp chính là bước khởi động của rất nhiều câu trắc nghiệm. Công cụ đúng ở đây là kết hợp cả hai: trước tiên xác định tập hợp bằng phép toán trên khoảng, sau đó mới phát biểu mệnh đề và xét đúng sai từng trường hợp cụ thể.

Ví dụ

Xét mệnh đề gắn với giao của hai tập hợp

1
Cho hai tập hợp $A = [-2; 5]$ , $B = (1; 7]$ . Xét mệnh đề $P$ : " $x \in A \cap B$ ". a) Tìm $A \cap B$ . b) Xét tính đúng sai của $P$ khi $x=3$ và khi $x=6$ .
Cho hai tập hợp $A = [-2; 5]$, $B = (1; 7]$. Xét mệnh đề $P$: "$x \in A \cap B$". a) Tìm $A \cap B$. b) Xét tính đúng sai của $P$ khi $x=3$ và khi $x=6$.
2
Đề hỏi về một điều kiện đúng/sai gắn với một tập hợp giao — vậy phải tính tập hợp trước bằng phép toán trên khoảng, rồi mới xét mệnh đề bằng cách thay từng giá trị cụ thể vào điều kiện đã tìm được.
3
Ta có $A = [-2;5]$ và $B = (1;7]$ . Trên trục số, phần chung của hai tập hợp bắt đầu từ mốc lớn hơn của hai đầu trái ( $1$ , không lấy vì $B$ mở tại $1$ ) và kết thúc ở mốc nhỏ hơn của hai đầu phải ( $5$ , lấy vì $A$ đóng tại $5$ ). Suy ra $A \cap B = (1;5]$ . (1)
Ta có $A = [-2;5]$ và $B = (1;7]$. Trên trục số, phần chung của hai tập hợp bắt đầu từ mốc lớn hơn của hai đầu trái ($1$, không lấy vì $B$ mở tại $1$) và kết thúc ở mốc nhỏ hơn của hai đầu phải ($5$, lấy vì $A$ đóng tại $5$). Suy ra $A \cap B = (1;5]$. (1)
4
Ta có $3 \in (1;5]$ vì $1 < 3 \le 5$ , đúng theo (1). Vậy mệnh đề $P$ đúng khi $x=3$ .
Ta có $3 \in (1;5]$ vì $1 < 3 \le 5$, đúng theo (1). Vậy mệnh đề $P$ đúng khi $x=3$.
5
Ta có $6 \notin (1;5]$ vì $6 > 5$ . Vậy mệnh đề $P$ sai khi $x=6$ — dù $6 \in B$ , $6$ không thuộc $A$ nên không thể thuộc giao.
Ta có $6 \notin (1;5]$ vì $6 > 5$. Vậy mệnh đề $P$ sai khi $x=6$ — dù $6 \in B$, $6$ không thuộc $A$ nên không thể thuộc giao.
6
Vậy $A \cap B = (1;5]$ , mệnh đề $P$ đúng tại $x=3$ và sai tại $x=6$ . Sai lầm hay gặp là chỉ kiểm tra một trong hai tập rồi kết luận vội — giao chỉ đúng khi phần tử thuộc cả hai tập cùng lúc.
Vậy $A \cap B = (1;5]$, mệnh đề $P$ đúng tại $x=3$ và sai tại $x=6$. Sai lầm hay gặp là chỉ kiểm tra một trong hai tập rồi kết luận vội — giao chỉ đúng khi phần tử thuộc cả hai tập cùng lúc.

Miền nghiệm và bài toán tối ưu — công cụ khác hẳn

Ngay khi đề xuất hiện hai ẩn cùng lúc và một hàm mục tiêu cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất, ngôn ngữ tập hợp một chiều không còn đủ — phải chuyển sang miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ. Nguyên tắc cốt lõi cần nhớ lại: giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm mục tiêu bậc nhất luôn đạt được tại một đỉnh của miền nghiệm, không bao giờ ở điểm trong miền. Vì vậy công việc chỉ gồm hai bước: xác định các đỉnh của miền nghiệm, rồi thay tọa độ từng đỉnh vào hàm mục tiêu và so sánh.

Ba cạnh của tam giác là ba đường biên x=0, y=0 và x+y=4; ba đỉnh là nơi duy nhất cần thử hàm mục tiêu.

Ví dụ

Tìm GTLN của hàm mục tiêu trên miền nghiệm đã cho

1
Miền nghiệm của hệ $\{x \ge 0; y \ge 0; x+y \le 4\}$ là tam giác có ba đỉnh $(0;0)$ , $(4;0)$ , $(0;4)$ . Tìm giá trị lớn nhất của $F = 2x+3y$ trên miền này.
Miền nghiệm của hệ $\{x \ge 0; y \ge 0; x+y \le 4\}$ là tam giác có ba đỉnh $(0;0)$, $(4;0)$, $(0;4)$. Tìm giá trị lớn nhất của $F = 2x+3y$ trên miền này.
2
Đề cho sẵn miền nghiệm (đã có ba đỉnh) và một hàm mục tiêu bậc nhất hai ẩn — đây đúng là dạng bài chỉ cần thử giá trị hàm mục tiêu tại từng đỉnh, không cần giải lại hệ bất phương trình.
3
Ta có $F(0;0) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$ . $F(4;0) = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 8$ . $F(0;4) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 12$ .
Ta có $F(0;0) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$. $F(4;0) = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 = 8$. $F(0;4) = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 4 = 12$.
4
Trong ba giá trị $0, 8, 12$ , lớn nhất là $12$ , đạt tại đỉnh $(0;4)$ . Vậy $\max F = 12$ tại $(x;y) = (0;4)$ .
Trong ba giá trị $0, 8, 12$, lớn nhất là $12$, đạt tại đỉnh $(0;4)$. Vậy $\max F = 12$ tại $(x;y) = (0;4)$.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất khi ôn tập ba mảng này là dùng nhầm công cụ: thử vẽ miền nghiệm cho một câu chỉ hỏi mệnh đề đúng/sai, hoặc đi tính hợp/giao cho một bài thật ra cần tìm đỉnh miền nghiệm. Trước khi đặt bút, luôn hỏi lại: đề có hai ẩn và ràng buộc bất đẳng thức không — nếu có, đó là miền nghiệm; nếu chỉ có một tập số, đó là ngôn ngữ tập hợp; nếu chỉ hỏi đúng/sai một câu, đó là mệnh đề.

Ví dụ 3 (dạng thi) — bài toán kinh tế cần tự dựng miền nghiệm

Khác với ví dụ trước — nơi miền nghiệm đã được vẽ sẵn — một bài thi thường chỉ cho tình huống bằng lời, và việc dựng hệ bất phương trình rồi tìm đỉnh là một nửa công việc. Công cụ vẫn là quy hoạch tuyến tính, nhưng phải tự đặt ẩn, tự viết ràng buộc từ số liệu đề bài, rồi mới thử hàm mục tiêu tại các đỉnh vừa tìm được.

Ví dụ

Bài toán xưởng mộc — hai ràng buộc, tìm phương án lời nhất

1
Một xưởng làm hai loại bàn. Bàn loại A cần 3 giờ công và 2 m² gỗ, lãi 400 nghìn đồng/bàn. Bàn loại B cần 2 giờ công và 4 m² gỗ, lãi 300 nghìn đồng/bàn. Mỗi ngày xưởng có tối đa 42 giờ công và 44 m² gỗ. Hỏi làm bao nhiêu bàn mỗi loại để lãi lớn nhất trong một ngày?
2
Đề có hai ẩn (số bàn mỗi loại), có ràng buộc dạng bất đẳng thức (giờ công, gỗ), và hỏi một đại lượng bậc nhất cần lớn nhất (tiền lãi) — đúng ba dấu hiệu của bài toán quy hoạch tuyến tính, nên phải tự dựng hệ bất phương trình trước khi tìm đỉnh.
3
Gọi $x, y$ lần lượt là số bàn loại A, loại B làm trong ngày ( $x, y \ge 0$ ). Ràng buộc giờ công: $3x+2y \le 42$ . Ràng buộc gỗ: $2x+4y \le 44$ , rút gọn còn $x+2y \le 22$ . Hàm mục tiêu (đơn vị nghìn đồng): $L = 400x+300y$ .
Gọi $x, y$ lần lượt là số bàn loại A, loại B làm trong ngày ($x, y \ge 0$). Ràng buộc giờ công: $3x+2y \le 42$. Ràng buộc gỗ: $2x+4y \le 44$, rút gọn còn $x+2y \le 22$. Hàm mục tiêu (đơn vị nghìn đồng): $L = 400x+300y$.
4
Ta có bốn đường biên $x=0$ , $y=0$ , $3x+2y=42$ , $x+2y=22$ . Giao của hai trục với hai đường xiên cho hai đỉnh trên trục: $3x+2y=42$ cắt $Ox$ tại $(14;0)$ — điểm này thỏa $x+2y=14 \le 22$ nên hợp lệ; còn $x+2y=22$ cắt $Ox$ tại $(22;0)$ lại vi phạm ràng buộc gỗ nên không phải đỉnh. Tương tự trên $Oy$ : $x+2y=22$ cắt tại $(0;11)$ , hợp lệ vì $3 \cdot 0+2 \cdot 11=22 \le 42$ . Giải hệ $\{3x+2y=42; x+2y=22\}$ bằng cách trừ hai phương trình: $2x=20 \Rightarrow x=10$ , thay lại $x+2y=22$ được $y=6$ . Vậy miền nghiệm có bốn đỉnh: $(0;0), (14;0), (10;6), (0;11)$ . (1)
Ta có bốn đường biên $x=0$, $y=0$, $3x+2y=42$, $x+2y=22$. Giao của hai trục với hai đường xiên cho hai đỉnh trên trục: $3x+2y=42$ cắt $Ox$ tại $(14;0)$ — điểm này thỏa $x+2y=14 \le 22$ nên hợp lệ; còn $x+2y=22$ cắt $Ox$ tại $(22;0)$ lại vi phạm ràng buộc gỗ nên không phải đỉnh. Tương tự trên $Oy$: $x+2y=22$ cắt tại $(0;11)$, hợp lệ vì $3 \cdot 0+2 \cdot 11=22 \le 42$. Giải hệ $\{3x+2y=42; x+2y=22\}$ bằng cách trừ hai phương trình: $2x=20 \Rightarrow x=10$, thay lại $x+2y=22$ được $y=6$. Vậy miền nghiệm có bốn đỉnh: $(0;0), (14;0), (10;6), (0;11)$. (1)
5
Theo (1): $L(0;0)=0$ . $L(14;0)=400 \cdot 14=5\,600$ . $L(10;6)=400 \cdot 10+300 \cdot 6=4\,000+1\,800=5\,800$ . $L(0;11)=300 \cdot 11=3\,300$ .
Theo (1): $L(0;0)=0$. $L(14;0)=400 \cdot 14=5\,600$. $L(10;6)=400 \cdot 10+300 \cdot 6=4\,000+1\,800=5\,800$. $L(0;11)=300 \cdot 11=3\,300$.
6
Trong bốn giá trị $0, 5\,600, 5\,800, 3\,300$ , lớn nhất là $5\,800$ tại $(10;6)$ . Vậy xưởng nên làm $10$ bàn loại A và $6$ bàn loại B mỗi ngày để lãi lớn nhất, đạt $5\,800$ nghìn đồng.
Trong bốn giá trị $0, 5\,600, 5\,800, 3\,300$, lớn nhất là $5\,800$ tại $(10;6)$. Vậy xưởng nên làm $10$ bàn loại A và $6$ bàn loại B mỗi ngày để lãi lớn nhất, đạt $5\,800$ nghìn đồng.
7
Với $x=10, y=6$ : giờ công dùng $3 \cdot 10+2 \cdot 6=42$ (dùng hết), gỗ dùng $2 \cdot 10+4 \cdot 6=44$ (dùng hết) — cả hai ràng buộc đều đúng bằng giới hạn, khớp với việc đỉnh tối ưu luôn là giao của hai đường biên.
Với $x=10, y=6$: giờ công dùng $3 \cdot 10+2 \cdot 6=42$ (dùng hết), gỗ dùng $2 \cdot 10+4 \cdot 6=44$ (dùng hết) — cả hai ràng buộc đều đúng bằng giới hạn, khớp với việc đỉnh tối ưu luôn là giao của hai đường biên.

Điều kiện cần và đủ nhìn qua ngôn ngữ tập hợp

Một liên hệ ít em để ý: phát biểu " $P$ là điều kiện cần và đủ để $Q$ " chính là cách nói bằng lời của "tập nghiệm của $P$ bằng tập nghiệm của $Q$ ". Nhờ vậy, một câu hỏi về điều kiện cần và đủ đôi khi giải nhanh hơn bằng cách so hai tập hợp, thay vì lập luận kéo theo hai chiều dài dòng.

Một liên hệ ít em để ý: phát biểu "$P$ là điều kiện cần và đủ để $Q$" chính là cách nói bằng lời của "tập nghiệm của $P$ bằng tập nghiệm của $Q$". Nhờ vậy, một câu hỏi về điều kiện cần và đủ đôi khi giải nhanh hơn bằng cách so hai tập hợp, thay vì lập luận kéo theo hai chiều dài dòng.

Ví dụ

Điều kiện cần và đủ đọc bằng ngôn ngữ tập hợp

1
Cho $x$ là số thực. Xét xem " $x \in (1;5]$ " có phải là điều kiện cần và đủ để " $x \in A \cap B$ " (với $A, B$ như ví dụ 1) hay không.
Cho $x$ là số thực. Xét xem "$x \in (1;5]$" có phải là điều kiện cần và đủ để "$x \in A \cap B$" (với $A, B$ như ví dụ 1) hay không.
2
Câu hỏi dùng đúng cụm "cần và đủ", tức đang hỏi về mệnh đề tương đương $P \iff Q$ — nhưng vì cả hai vế đều là điều kiện thuộc một tập số, cách kiểm tra nhanh nhất là so sánh trực tiếp hai tập hợp thay vì xét kéo theo từng chiều bằng lời.
Câu hỏi dùng đúng cụm "cần và đủ", tức đang hỏi về mệnh đề tương đương $P \iff Q$ — nhưng vì cả hai vế đều là điều kiện thuộc một tập số, cách kiểm tra nhanh nhất là so sánh trực tiếp hai tập hợp thay vì xét kéo theo từng chiều bằng lời.
3
Theo (1) ở ví dụ 1, $A \cap B = (1;5]$ , đúng bằng tập được nêu trong đề.
Theo (1) ở ví dụ 1, $A \cap B = (1;5]$, đúng bằng tập được nêu trong đề.
4
Vì hai tập hợp trùng nhau, mọi $x$ thuộc tập này đều thuộc tập kia và ngược lại. Vậy " $x \in (1;5]$ " đúng là điều kiện cần và đủ để " $x \in A \cap B$ ".
Vì hai tập hợp trùng nhau, mọi $x$ thuộc tập này đều thuộc tập kia và ngược lại. Vậy "$x \in (1;5]$" đúng là điều kiện cần và đủ để "$x \in A \cap B$".

Tổng kết lại bài ôn tập: ba công cụ mệnh đề, tập hợp và miền nghiệm giải quyết ba dạng câu hỏi khác nhau, và việc nhận diện đúng dạng câu hỏi quan trọng ngang với việc tính toán chính xác. Một đề tổng hợp thường trộn cả ba trong cùng một câu hoặc cùng một đề, nên phản xạ "đọc đề trước, chọn công cụ sau" cần trở thành thói quen trước khi làm bài kiểm tra hoặc thi cuối kỳ.

Bài tiếp theo chuyển sang mạch hình học phẳng, ôn lại hệ thức lượng trong tam giác và vectơ — nơi việc chọn công cụ cũng quan trọng không kém: biết ba cạnh dùng cosin, biết một cạnh và hai góc dùng sin, còn một bài toán chứng minh vuông góc lại cần đến tích vô hướng.