Bài học

Hàm số bậc hai, dấu tam thức và bất phương trình quy về bậc hai — chọn đúng công cụ

Mục tiêu ôn tập

Ba bài học cũ — hàm số, hàm số bậc hai, dấu tam thức và bất phương trình bậc hai — thật ra chỉ là một câu chuyện được kể theo ba góc nhìn: đồ thị (hình vẽ), bảng biến thiên (bảng số), và bảng xét dấu (khoảng nghiệm). Bài ôn tập này luyện em chuyển qua lại giữa ba góc nhìn đó tùy theo câu hỏi thật sự cần gì, thay vì luôn vẽ lại đồ thị từ đầu.

Khi nào cần đồ thị, khi nào chỉ cần bảng xét dấu

Nếu câu hỏi nói về hình dạng của hàm số — đồng biến ở đâu, giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu, đồ thị cắt trục hoành tại mấy điểm — công cụ đúng là tọa độ đỉnh và bảng biến thiên của $y=ax^2+bx+c$ . Nhưng nếu câu hỏi chỉ hỏi "với giá trị nào của $x$ thì biểu thức dương, âm, hay bằng 0", việc dựng cả bảng biến thiên là thừa — bảng xét dấu tam thức đi thẳng vào câu trả lời nhanh hơn nhiều. Nắm được ranh giới này giúp em không mất thời gian vẽ đồ thị cho một câu chỉ cần một bảng xét dấu ba dòng.

Nếu câu hỏi nói về hình dạng của hàm số — đồng biến ở đâu, giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu, đồ thị cắt trục hoành tại mấy điểm — công cụ đúng là tọa độ đỉnh và bảng biến thiên của $y=ax^2+bx+c$. Nhưng nếu câu hỏi chỉ hỏi "với giá trị nào của $x$ thì biểu thức dương, âm, hay bằng 0", việc dựng cả bảng biến thiên là thừa — bảng xét dấu tam thức đi thẳng vào câu trả lời nhanh hơn nhiều. Nắm được ranh giới này giúp em không mất thời gian vẽ đồ thị cho một câu chỉ cần một bảng xét dấu ba dòng.

Hai nghiệm của tam thức chính là hai giao điểm của parabol với trục hoành — đọc trực tiếp dấu tam thức từ phần đồ thị nằm trên hay dưới trục.

Ví dụ

Từ bảng biến thiên đến dấu tam thức — cùng một hàm số, hai câu hỏi khác nhau

1
Cho $y = x^2 - 4x + 3$ . a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của $y$ trên $\mathbb{R}$ . b) Giải bất phương trình $x^2-4x+3 < 0$ .
Cho $y = x^2 - 4x + 3$. a) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị nhỏ nhất của $y$ trên $\mathbb{R}$. b) Giải bất phương trình $x^2-4x+3 < 0$.
2
Câu a hỏi giá trị nhỏ nhất — một câu về hình dạng đồ thị, nên công cụ là tọa độ đỉnh. Câu b hỏi khoảng nghiệm của một bất phương trình — công cụ đúng là bảng xét dấu tam thức, không cần vẽ lại đồ thị.
3
Ta có $a=1>0$ nên parabol quay bề lõm lên trên. Hoành độ đỉnh $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{2} = 2$ , tung độ đỉnh $y_0 = -\dfrac{\Delta}{4a}$ với $\Delta = b^2-4ac = 16-12=4$ , suy ra $y_0 = -1$ . Vì $a>0$ , hàm nghịch biến trên $(-\infty;2)$ , đồng biến trên $(2;+\infty)$ , và đạt giá trị nhỏ nhất $y=-1$ tại $x=2$ .
Ta có $a=1>0$ nên parabol quay bề lõm lên trên. Hoành độ đỉnh $x_0 = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{2} = 2$, tung độ đỉnh $y_0 = -\dfrac{\Delta}{4a}$ với $\Delta = b^2-4ac = 16-12=4$, suy ra $y_0 = -1$. Vì $a>0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty)$, và đạt giá trị nhỏ nhất $y=-1$ tại $x=2$.
4
Ta có $\Delta = 4 > 0$ nên tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=3$ (khớp với hai giao điểm trên đồ thị). Vì $a=1>0$ , tam thức mang dấu $+$ ở ngoài khoảng hai nghiệm và dấu $-$ ở trong khoảng hai nghiệm. Yêu cầu $x^2-4x+3<0$ ứng với phần mang dấu $-$ .
Ta có $\Delta = 4 > 0$ nên tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=3$ (khớp với hai giao điểm trên đồ thị). Vì $a=1>0$, tam thức mang dấu $+$ ở ngoài khoảng hai nghiệm và dấu $-$ ở trong khoảng hai nghiệm. Yêu cầu $x^2-4x+3<0$ ứng với phần mang dấu $-$.
5
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm là $-1$ tại $x=2$ , và tập nghiệm của bất phương trình là $(1;3)$ — đúng bằng khoảng giữa hai giao điểm của parabol với trục hoành trên hình vẽ.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm là $-1$ tại $x=2$, và tập nghiệm của bất phương trình là $(1;3)$ — đúng bằng khoảng giữa hai giao điểm của parabol với trục hoành trên hình vẽ.

Bất phương trình quy về bậc hai — ghép nhiều tam thức lại

Khi biểu thức là tích hoặc thương của nhiều tam thức (hoặc nhị thức), công cụ vẫn là bảng xét dấu — chỉ khác là bảng có nhiều dòng hơn, mỗi dòng cho một nhân tử, rồi nhân dấu theo cột. Với phân thức, thêm một bước bắt buộc trước khi lập bảng: đặt điều kiện xác định (mẫu khác 0), vì nghiệm làm mẫu bằng 0 luôn bị loại khỏi tập nghiệm dù dấu của tử thế nào.

Ba mốc chia trục số thành bốn khoảng để xét dấu — mốc -1 là điều kiện xác định (loại khỏi tập nghiệm), hai mốc 2 và 3 là nghiệm của tử.

Ví dụ

Bất phương trình phân thức quy về bậc hai

1
Giải bất phương trình $\dfrac{x^2-5x+6}{x+1} \ge 0$ .
Giải bất phương trình $\dfrac{x^2-5x+6}{x+1} \ge 0$.
2
Vế trái là thương của một tam thức và một nhị thức — không phải bất phương trình bậc hai đơn thuần, nên công cụ là bảng xét dấu ghép nhiều nhân tử, và bắt buộc phải đặt điều kiện xác định trước vì mẫu có thể bằng 0.
3
ĐKXĐ: $x+1 \ne 0 \iff x \ne -1$ .
ĐKXĐ: $x+1 \ne 0 \iff x \ne -1$.
4
Ta có $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$ , hai nghiệm $x=2$ , $x=3$ . Mẫu $x+1$ có nghiệm $x=-1$ . Xét dấu trên bốn khoảng chia bởi ba mốc $-1, 2, 3$ : với $x<-1$ , tử dương (ngoài $[2;3]$ ) và mẫu âm, thương âm. Với $-1<x<2$ , tử dương, mẫu dương, thương dương. Với $2<x<3$ , tử âm (trong khoảng hai nghiệm), mẫu dương, thương âm. Với $x>3$ , tử dương, mẫu dương, thương dương.
Ta có $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$, hai nghiệm $x=2$, $x=3$. Mẫu $x+1$ có nghiệm $x=-1$. Xét dấu trên bốn khoảng chia bởi ba mốc $-1, 2, 3$: với $x<-1$, tử dương (ngoài $[2;3]$) và mẫu âm, thương âm. Với $-1<x<2$, tử dương, mẫu dương, thương dương. Với $2<x<3$, tử âm (trong khoảng hai nghiệm), mẫu dương, thương âm. Với $x>3$, tử dương, mẫu dương, thương dương.
5
Yêu cầu thương $\ge 0$ ứng với các khoảng thương dương, cộng thêm hai điểm làm tử bằng 0 (vẫn thỏa vì $0 \ge 0$ ): $x=2$ và $x=3$ . Kết hợp ĐKXĐ $x \ne -1$ , tập nghiệm là $(-1;2] \cup [3;+\infty)$ . Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=(-1;2] \cup [3;+\infty)$ .
Yêu cầu thương $\ge 0$ ứng với các khoảng thương dương, cộng thêm hai điểm làm tử bằng 0 (vẫn thỏa vì $0 \ge 0$): $x=2$ và $x=3$. Kết hợp ĐKXĐ $x \ne -1$, tập nghiệm là $(-1;2] \cup [3;+\infty)$. Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=(-1;2] \cup [3;+\infty)$.
6
Thay $x=0 \in (-1;2]$ : $\dfrac{6}{1}=6\ge 0$ , đúng. Thay $x=2,5 \in (2;3)$ : $\dfrac{-0,25}{3,5}<0$ , đúng là không thỏa — khớp với bảng xét dấu vừa lập.
Thay $x=0 \in (-1;2]$: $\dfrac{6}{1}=6\ge 0$, đúng. Thay $x=2,5 \in (2;3)$: $\dfrac{-0,25}{3,5}<0$, đúng là không thỏa — khớp với bảng xét dấu vừa lập.

Ví dụ

Bất phương trình tích ba nhân tử

1
Giải bất phương trình $(x+2)(x^2-6x+8) < 0$ .
Giải bất phương trình $(x+2)(x^2-6x+8) < 0$.
2
Vế trái là tích của một nhị thức và một tam thức — sau khi phân tích tam thức thành nhân tử, đây vẫn là dạng bảng xét dấu nhiều nhân tử, không cần công thức nào khác.
3
Ta có $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$ . Vậy bất phương trình trở thành $(x+2)(x-2)(x-4) < 0$ , với ba nghiệm $-2, 2, 4$ .
Ta có $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$. Vậy bất phương trình trở thành $(x+2)(x-2)(x-4) < 0$, với ba nghiệm $-2, 2, 4$.
4
Hệ số bậc cao nhất của tích dương, nên dấu đổi luân phiên bắt đầu từ dấu $+$ ở khoảng ngoài cùng bên phải ( $x>4$ ). Suy ra: $x>4$ dấu $+$ ; $2<x<4$ dấu $-$ ; $-2<x<2$ dấu $+$ ; $x<-2$ dấu $-$ .
Hệ số bậc cao nhất của tích dương, nên dấu đổi luân phiên bắt đầu từ dấu $+$ ở khoảng ngoài cùng bên phải ($x>4$). Suy ra: $x>4$ dấu $+$; $2<x<4$ dấu $-$; $-2<x<2$ dấu $+$; $x<-2$ dấu $-$.
5
Yêu cầu tích âm ứng với hai khoảng mang dấu $-$ : $x<-2$ hoặc $2<x<4$ . Vậy tập nghiệm là $(-\infty;-2) \cup (2;4)$ .
Yêu cầu tích âm ứng với hai khoảng mang dấu $-$: $x<-2$ hoặc $2<x<4$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty;-2) \cup (2;4)$.
6
Thay $x=3 \in (2;4)$ : $(3+2)(9-18+8)=5 \cdot (-1)=-5<0$ , đúng. Thay $x=0$ (ngoài tập nghiệm): $(2)(8)=16>0$ , không thỏa — khớp với bảng xét dấu.
Thay $x=3 \in (2;4)$: $(3+2)(9-18+8)=5 \cdot (-1)=-5<0$, đúng. Thay $x=0$ (ngoài tập nghiệm): $(2)(8)=16>0$, không thỏa — khớp với bảng xét dấu.

Trường hợp Δ < 0 — công cụ chọn nhầm sẽ mất thời gian nhất

Một trường hợp học sinh hay lúng túng: khi $\Delta<0$ , tam thức không có nghiệm thực, nên không hề có bảng xét dấu nhiều dòng — toàn bộ tam thức chỉ mang đúng một dấu, trùng dấu với hệ số $a$ , trên toàn bộ $\mathbb{R}$ . Nhận ra dấu hiệu này ngay từ bước tính $\Delta$ giúp trả lời tức thì mà không cần dựng bảng dài dòng.

Một trường hợp học sinh hay lúng túng: khi $\Delta<0$, tam thức không có nghiệm thực, nên không hề có bảng xét dấu nhiều dòng — toàn bộ tam thức chỉ mang đúng một dấu, trùng dấu với hệ số $a$, trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Nhận ra dấu hiệu này ngay từ bước tính $\Delta$ giúp trả lời tức thì mà không cần dựng bảng dài dòng.

Ví dụ

Δ < 0 — tam thức không đổi dấu

1
Giải bất phương trình $-2x^2+3x-5 > 0$ .
Giải bất phương trình $-2x^2+3x-5 > 0$.
2
Trước khi lập bảng xét dấu, luôn tính $\Delta$ trước — nếu $\Delta<0$ , tam thức không đổi dấu nên không cần bảng nhiều dòng, chỉ cần so dấu yêu cầu với dấu của $a$ .
Trước khi lập bảng xét dấu, luôn tính $\Delta$ trước — nếu $\Delta<0$, tam thức không đổi dấu nên không cần bảng nhiều dòng, chỉ cần so dấu yêu cầu với dấu của $a$.
3
Ta có $a=-2$ , $b=3$ , $c=-5$ , $\Delta = b^2-4ac = 9-4 \cdot(-2)\cdot(-5) = 9-40=-31<0$ .
Ta có $a=-2$, $b=3$, $c=-5$, $\Delta = b^2-4ac = 9-4 \cdot(-2)\cdot(-5) = 9-40=-31<0$.
4
Vì $\Delta<0$ và $a=-2<0$ , tam thức $-2x^2+3x-5$ luôn âm với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Vậy bất phương trình $-2x^2+3x-5>0$ vô nghiệm.
Vì $\Delta<0$ và $a=-2<0$, tam thức $-2x^2+3x-5$ luôn âm với mọi $x \in \mathbb{R}$. Vậy bất phương trình $-2x^2+3x-5>0$ vô nghiệm.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là quên đặt điều kiện xác định cho bất phương trình phân thức rồi lấy luôn nghiệm của tử làm biên mà không loại điểm làm mẫu bằng 0 — hoặc ngược lại, tưởng $x^2-5x+6=0$ tại $x=2,3$ cũng phải loại như mẫu, trong khi tử bằng 0 vẫn hợp lệ với dấu $\ge$ . Một sai lầm khác là quên đổi dấu bất phương trình khi nhân hai vế với một biểu thức có thể âm — cách an toàn nhất vẫn luôn là chuyển vế về 0 rồi xét dấu, không nhân chéo.

Sai lầm phổ biến nhất là quên đặt điều kiện xác định cho bất phương trình phân thức rồi lấy luôn nghiệm của tử làm biên mà không loại điểm làm mẫu bằng 0 — hoặc ngược lại, tưởng $x^2-5x+6=0$ tại $x=2,3$ cũng phải loại như mẫu, trong khi tử bằng 0 vẫn hợp lệ với dấu $\ge$. Một sai lầm khác là quên đổi dấu bất phương trình khi nhân hai vế với một biểu thức có thể âm — cách an toàn nhất vẫn luôn là chuyển vế về 0 rồi xét dấu, không nhân chéo.

Bài học này cho thấy cùng một hàm số có thể trả lời hai loại câu hỏi rất khác nhau: câu hỏi về hình dạng dùng đỉnh và bảng biến thiên, câu hỏi về dấu dùng bảng xét dấu — và khi biểu thức phức tạp hơn (tích, thương nhiều nhân tử), bảng xét dấu chỉ cần thêm dòng chứ không cần công cụ mới. Điều kiện xác định luôn là bước đầu tiên với mọi phân thức, không phải bước tùy chọn.

Trong đề kiểm tra và đề thi, dạng câu hỏi "giải bất phương trình quy về bậc hai" gần như luôn xuất hiện, nhưng cách ra đề rất đa dạng: có khi cho sẵn dạng tích, có khi giấu dưới một bài toán thực tế (ví dụ tìm điều kiện của một tham số để một đại lượng luôn dương), có khi lại là một phân thức cần đặt điều kiện trước. Bốn thao tác vừa ôn — tính $\Delta$ , phân tích nhân tử, lập bảng xét dấu, đặt điều kiện xác định — chính là bốn bước sẽ lặp lại trong mọi biến thể đó; khác biệt duy nhất giữa các đề chỉ là hình thức của biểu thức ban đầu, không phải công cụ dùng để giải nó.

Trong đề kiểm tra và đề thi, dạng câu hỏi "giải bất phương trình quy về bậc hai" gần như luôn xuất hiện, nhưng cách ra đề rất đa dạng: có khi cho sẵn dạng tích, có khi giấu dưới một bài toán thực tế (ví dụ tìm điều kiện của một tham số để một đại lượng luôn dương), có khi lại là một phân thức cần đặt điều kiện trước. Bốn thao tác vừa ôn — tính $\Delta$, phân tích nhân tử, lập bảng xét dấu, đặt điều kiện xác định — chính là bốn bước sẽ lặp lại trong mọi biến thể đó; khác biệt duy nhất giữa các đề chỉ là hình thức của biểu thức ban đầu, không phải công cụ dùng để giải nó.

Bài tiếp theo rời mạch đại số, chuyển sang hình học phẳng — ôn lại hệ thức lượng trong tam giác và vectơ, nơi việc chọn công cụ cũng dựa trên chính dữ kiện đề bài cho: biết đủ ba cạnh dùng cosin, biết một cạnh và hai góc dùng sin, còn một bài chứng minh vuông góc lại cần đến tích vô hướng.