Bài học

Số đặc trưng mẫu số liệu và xác suất cổ điển — chọn đúng công cụ thống kê hay đếm

Mục tiêu ôn tập

Thống kê mô tả MỘT mẫu số liệu đã có sẵn (trung bình, trung vị, độ lệch chuẩn, hộp và râu); xác suất cổ điển dự đoán khả năng của một biến cố CHƯA xảy ra. Hai mạch tưởng như tách biệt, nhưng khi bài toán chọn ngẫu nhiên nhiều phần tử, xác suất cổ điển lại cần đúng công cụ đếm (tổ hợp) vừa ôn ở bài trước. Bài này luyện em nhận ra khi nào đang mô tả dữ liệu, khi nào đang tính khả năng của một biến cố.

Một câu hỏi giúp phân loại nhanh trước khi đọc kỹ đề: đề có nhắc đến một mẫu số liệu đã thu thập sẵn (điểm số, chiều cao, số liệu khảo sát) hay không? Nếu có, đó là thống kê mô tả. Nếu đề mô tả một phép thử ngẫu nhiên chưa xảy ra (tung xúc xắc, rút bài, chọn học sinh) và hỏi khả năng của một kết quả, đó là xác suất. Phân loại sai ngay từ đầu — chẳng hạn đi tính trung bình cho một câu hỏi xác suất — khiến cả lời giải đi sai hướng dù các phép tính sau đó có thể đều đúng.

Mô tả một mẫu số liệu — chọn đúng số đo

Khi đề hỏi "giá trị đại diện/trung tâm" của mẫu, có ba lựa chọn tùy ngữ cảnh: số trung bình (nhạy với giá trị bất thường, dùng khi muốn phản ánh tổng thể), trung vị (không bị ảnh hưởng bởi giá trị quá lớn/nhỏ, dùng khi mẫu có thể lệch), và mốt (giá trị xuất hiện nhiều nhất, dùng khi cần biết xu hướng phổ biến nhất). Khi đề hỏi về "độ phân tán", công cụ là khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, hoặc độ lệch chuẩn — bốn số đo này trả lời cùng một câu hỏi (dữ liệu tản mát cỡ nào) nhưng độ lệch chuẩn dùng phổ biến nhất để so sánh giữa hai mẫu.

Biểu đồ tần số cho thấy trực quan vì sao mốt của mẫu là 6 — cột cao nhất — trong khi trung bình (6,33) và trung vị (6) lại là hai số khác nhau.

Ví dụ

Ba số đo trung tâm trên cùng một mẫu — vì sao chúng khác nhau

1
Điểm kiểm tra của $9$ học sinh (đã sắp xếp): $4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 10$ . Tính số trung bình, trung vị và mốt của mẫu.
Điểm kiểm tra của $9$ học sinh (đã sắp xếp): $4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 10$. Tính số trung bình, trung vị và mốt của mẫu.
2
Ba số đo trả lời ba câu hỏi khác nhau về cùng một mẫu — không có số đo nào "đúng hơn" số đo kia, nên đề bài yêu cầu tính đủ cả ba để thấy chúng có thể lệch nhau khi mẫu không đối xứng.
3
$\bar x = \dfrac{4+5+5+6+6+6+7+8+10}{9} = \dfrac{57}{9} \approx 6,33$ .
$\bar x = \dfrac{4+5+5+6+6+6+7+8+10}{9} = \dfrac{57}{9} \approx 6,33$.
4
Mẫu có $9$ giá trị (lẻ), trung vị là giá trị đứng giữa khi đã sắp xếp — vị trí thứ $5$ : $M_e = 6$ .
Mẫu có $9$ giá trị (lẻ), trung vị là giá trị đứng giữa khi đã sắp xếp — vị trí thứ $5$: $M_e = 6$.
5
Giá trị $6$ xuất hiện $3$ lần, nhiều hơn mọi giá trị khác — mốt $M_o=6$ .
Giá trị $6$ xuất hiện $3$ lần, nhiều hơn mọi giá trị khác — mốt $M_o=6$.
6
Vậy $\bar x \approx 6,33$ , $M_e=6$ , $M_o=6$ . Trung bình lớn hơn trung vị một chút vì giá trị $10$ kéo trung bình lên cao hơn — đây chính là lý do trung vị được ưa chuộng hơn khi mẫu có giá trị bất thường (ở đây là $10$ , khá xa so với phần còn lại của mẫu).
Vậy $\bar x \approx 6,33$, $M_e=6$, $M_o=6$. Trung bình lớn hơn trung vị một chút vì giá trị $10$ kéo trung bình lên cao hơn — đây chính là lý do trung vị được ưa chuộng hơn khi mẫu có giá trị bất thường (ở đây là $10$, khá xa so với phần còn lại của mẫu).

Ví dụ

Phương sai và độ lệch chuẩn — đo độ phân tán

1
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ .
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.
2
Đề hỏi trực tiếp về độ phân tán của mẫu, không phải giá trị trung tâm — công cụ đúng là phương sai (trung bình bình phương độ lệch so với trung bình) và độ lệch chuẩn (căn bậc hai của phương sai, cùng đơn vị với dữ liệu gốc).
3
$\bar x = \dfrac{2+3+4+5+6+7+8}{7} = \dfrac{35}{7}=5$ .
$\bar x = \dfrac{2+3+4+5+6+7+8}{7} = \dfrac{35}{7}=5$.
4
Độ lệch so với trung bình: $-3,-2,-1,0,1,2,3$ ; bình phương: $9,4,1,0,1,4,9$ ; tổng $=28$ .
Độ lệch so với trung bình: $-3,-2,-1,0,1,2,3$; bình phương: $9,4,1,0,1,4,9$; tổng $=28$.
5
Phương sai $s^2=\dfrac{28}{7}=4$ . Độ lệch chuẩn $s=\sqrt4=2$ .
Phương sai $s^2=\dfrac{28}{7}=4$. Độ lệch chuẩn $s=\sqrt4=2$.
6
Vậy phương sai của mẫu là $4$ và độ lệch chuẩn là $2$ — độ lệch chuẩn $2$ nghĩa là trung bình, mỗi giá trị của mẫu lệch khỏi trung bình $5$ khoảng $2$ đơn vị.
Vậy phương sai của mẫu là $4$ và độ lệch chuẩn là $2$ — độ lệch chuẩn $2$ nghĩa là trung bình, mỗi giá trị của mẫu lệch khỏi trung bình $5$ khoảng $2$ đơn vị.

Biểu đồ hộp và phát hiện ngoại lệ

Khi đề hỏi có giá trị nào "bất thường" trong mẫu hay không, công cụ đúng không phải trung bình hay độ lệch chuẩn mà là tứ phân vị: tính $Q_1, Q_2, Q_3$ , sau đó so mỗi giá trị nghi ngờ với khoảng $[Q_1-1,5 \cdot IQR;\ Q_3+1,5 \cdot IQR]$ (với $IQR=Q_3-Q_1$ ) — giá trị nằm ngoài khoảng này được xem là ngoại lệ.

Khi đề hỏi có giá trị nào "bất thường" trong mẫu hay không, công cụ đúng không phải trung bình hay độ lệch chuẩn mà là tứ phân vị: tính $Q_1, Q_2, Q_3$, sau đó so mỗi giá trị nghi ngờ với khoảng $[Q_1-1,5 \cdot IQR;\ Q_3+1,5 \cdot IQR]$ (với $IQR=Q_3-Q_1$) — giá trị nằm ngoài khoảng này được xem là ngoại lệ.

Ví dụ

Tứ phân vị, khoảng tứ phân vị và kiểm tra ngoại lệ

1
Mẫu đã sắp xếp: $2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 20$ . Tìm $Q_1, Q_2, Q_3$ và kiểm tra xem $20$ có phải là giá trị ngoại lệ hay không.
Mẫu đã sắp xếp: $2, 3, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 20$. Tìm $Q_1, Q_2, Q_3$ và kiểm tra xem $20$ có phải là giá trị ngoại lệ hay không.
2
Câu hỏi "có phải ngoại lệ không" chỉ trả lời được bằng quy tắc tứ phân vị $1,5 \times IQR$ , không phải bằng cách nhìn mắt thường hay so với trung bình.
Câu hỏi "có phải ngoại lệ không" chỉ trả lời được bằng quy tắc tứ phân vị $1,5 \times IQR$, không phải bằng cách nhìn mắt thường hay so với trung bình.
3
Mẫu có $10$ giá trị (chẵn), $Q_2$ là trung bình hai giá trị giữa (vị trí $5,6$ ): $Q_2=\dfrac{7+7}{2}=7$ .
Mẫu có $10$ giá trị (chẵn), $Q_2$ là trung bình hai giá trị giữa (vị trí $5,6$): $Q_2=\dfrac{7+7}{2}=7$.
4
Nửa dưới (5 giá trị đầu) $2,3,5,6,7$ có trung vị $Q_1=5$ . Nửa trên (5 giá trị cuối) $7,8,9,10,20$ có trung vị $Q_3=9$ .
Nửa dưới (5 giá trị đầu) $2,3,5,6,7$ có trung vị $Q_1=5$. Nửa trên (5 giá trị cuối) $7,8,9,10,20$ có trung vị $Q_3=9$.
5
$IQR=Q_3-Q_1=9-5=4$ . Khoảng chấp nhận: $[Q_1-1,5 \cdot 4;\ Q_3+1,5 \cdot 4]=[-1;15]$ .
$IQR=Q_3-Q_1=9-5=4$. Khoảng chấp nhận: $[Q_1-1,5 \cdot 4;\ Q_3+1,5 \cdot 4]=[-1;15]$.
6
Vì $20>15$ (vượt ra ngoài khoảng chấp nhận), giá trị $20$ là một ngoại lệ của mẫu — có thể là lỗi nhập liệu hoặc một trường hợp đặc biệt cần kiểm tra lại, không nên dùng trực tiếp vào số trung bình mà không xem xét.
Vì $20>15$ (vượt ra ngoài khoảng chấp nhận), giá trị $20$ là một ngoại lệ của mẫu — có thể là lỗi nhập liệu hoặc một trường hợp đặc biệt cần kiểm tra lại, không nên dùng trực tiếp vào số trung bình mà không xem xét.

Xác suất cổ điển — khi công cụ đếm quay lại

Với không gian mẫu gồm các kết quả đồng khả năng, xác suất của biến cố $A$ là $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ — nhưng việc khó nhất thường không phải công thức này mà là ĐẾM $n(A)$ và $n(\Omega)$ cho đúng. Khi bài toán chọn ngẫu nhiên nhiều phần tử cùng lúc từ một tập, việc đếm số cách đó chính là tổ hợp đã ôn ở bài trước — xác suất cổ điển với chọn nhiều phần tử luôn cần tổ hợp, không phải một công thức xác suất mới.

Ví dụ

Xác suất khi chọn nhiều phần tử — cần tổ hợp để đếm

1
Một hộp có $6$ bạn nam và $4$ bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên $3$ bạn. Tính xác suất chọn được đúng $2$ nam và $1$ nữ.
Một hộp có $6$ bạn nam và $4$ bạn nữ. Chọn ngẫu nhiên $3$ bạn. Tính xác suất chọn được đúng $2$ nam và $1$ nữ.
2
Đây là bài xác suất cổ điển ( $P=n(A)/n(\Omega)$ ), nhưng cả $n(A)$ lẫn $n(\Omega)$ đều là những phép chọn nhiều phần tử cùng lúc không phân vai trò — phải dùng tổ hợp để đếm, không phải quy tắc nhân đơn giản.
Đây là bài xác suất cổ điển ($P=n(A)/n(\Omega)$), nhưng cả $n(A)$ lẫn $n(\Omega)$ đều là những phép chọn nhiều phần tử cùng lúc không phân vai trò — phải dùng tổ hợp để đếm, không phải quy tắc nhân đơn giản.
3
Tổng số cách chọn $3$ bạn bất kỳ trong $10$ bạn: $n(\Omega)=C_{10}^3=120$ .
Tổng số cách chọn $3$ bạn bất kỳ trong $10$ bạn: $n(\Omega)=C_{10}^3=120$.
4
Chọn $2$ nam trong $6$ nam: $C_6^2=15$ cách. Chọn $1$ nữ trong $4$ nữ: $C_4^1=4$ cách. Vì hai bước này liên tiếp và độc lập, theo quy tắc nhân: $n(A)=15 \times 4=60$ .
Chọn $2$ nam trong $6$ nam: $C_6^2=15$ cách. Chọn $1$ nữ trong $4$ nữ: $C_4^1=4$ cách. Vì hai bước này liên tiếp và độc lập, theo quy tắc nhân: $n(A)=15 \times 4=60$.
5
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$ .
$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$.
6
Vậy xác suất chọn được đúng $2$ nam và $1$ nữ là $\dfrac12=0,5$ — bài toán này dùng cả ba công cụ đã ôn trong hai bài: tổ hợp (đếm $n(A)$ và $n(\Omega)$ ), quy tắc nhân (kết hợp hai bước chọn nam và chọn nữ), và định nghĩa xác suất cổ điển.
Vậy xác suất chọn được đúng $2$ nam và $1$ nữ là $\dfrac12=0,5$ — bài toán này dùng cả ba công cụ đã ôn trong hai bài: tổ hợp (đếm $n(A)$ và $n(\Omega)$), quy tắc nhân (kết hợp hai bước chọn nam và chọn nữ), và định nghĩa xác suất cổ điển.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là đếm không gian mẫu hoặc số cách thuận lợi bằng quy tắc nhân đơn thuần (nhân số lựa chọn ở từng "vị trí") cho một phép chọn KHÔNG phân biệt thứ tự — phải dùng tổ hợp. Một sai lầm khác là quên nhân hai nhóm tổ hợp độc lập (như $C_6^2 \times C_4^1$ ở trên) mà chỉ cộng chúng lại, làm mất hẳn ý nghĩa "vừa 2 nam vừa 1 nữ" của biến cố.

Tổng kết cả chương tổ hợp – xác suất – thống kê: bốn công cụ đếm (cộng, nhân, chỉnh hợp, tổ hợp), ba nhóm số đo thống kê (trung tâm, phân tán, tứ phân vị/ngoại lệ), và xác suất cổ điển không tách rời nhau — một bài xác suất chọn nhiều phần tử luôn cần đúng công cụ đếm từ chương trước, và một mẫu số liệu luôn cần chọn đúng số đo cho đúng câu hỏi (trung tâm hay phân tán hay ngoại lệ).

Hai chương cuối cùng của khóa học không giới thiệu kiến thức mới nào nữa — chúng ghép tất cả bốn mạch (đại số, hình học phẳng, phương pháp tọa độ, tổ hợp – xác suất – thống kê) vào hai đề ôn tập hoàn chỉnh, đúng cấu trúc một đề kiểm tra học kỳ và một đề ôn tập cuối năm, để luyện đúng kỹ năng khó nhất: tự nhận diện công cụ mà không có tiêu đề bài học nào gợi ý trước.