Bài học

Đề ôn tập cuối năm — tổng hợp toàn bộ chương trình Toán 10

Mục tiêu ôn tập

Đây là bài cuối cùng của khóa Toán 10. Đề dưới đây trộn đủ bốn mạch đã ôn suốt khóa: đại số, hình học tam giác/vectơ, phương pháp tọa độ, và tổ hợp – xác suất – thống kê — đúng cấu trúc một đề ôn tập cuối năm. Không có công thức nào mới; cái mới duy nhất là đề không còn xếp câu hỏi theo đúng thứ tự chương đã học.

Một đề ôn tập cuối năm khác một đề kiểm tra giữa kỳ ở một điểm quan trọng: nó không kiểm tra từng mạch kiến thức một cách tách biệt, mà cố tình đặt các câu hỏi cạnh nhau theo thứ tự KHÔNG liên quan đến chương học, buộc học sinh phải bật lại đúng phản xạ nhận diện dạng bài mỗi khi chuyển câu — từ tọa độ sang xác suất, từ đại số sang hình học, rồi quay lại thống kê. Đây chính là điều một đề thi thật đòi hỏi, khác hẳn việc làm bài tập ngay sau khi vừa học xong một bài cụ thể.

Câu 1 (tọa độ) — đường tròn đường kính AB

Đề không nói thẳng "tâm" hay "bán kính" mà nói "đường kính AB" — phải tự dịch cụm từ này sang đúng dữ kiện: tâm là trung điểm AB, bán kính là nửa độ dài AB. Đây là kiểu chuyển ngữ đề bài quen thuộc trong phần tọa độ mà học sinh hay bỏ sót.

Ví dụ

Câu 1 — đường tròn có AB là đường kính

1
Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính, với $A(1;1)$ , $B(5;5)$ .
Viết phương trình đường tròn nhận $AB$ làm đường kính, với $A(1;1)$, $B(5;5)$.
2
"Đường kính AB" dịch sang đúng dữ kiện cần cho phương trình chính tắc: tâm là trung điểm $AB$ , bán kính là nửa độ dài $AB$ — không cần thêm dữ kiện nào khác.
"Đường kính AB" dịch sang đúng dữ kiện cần cho phương trình chính tắc: tâm là trung điểm $AB$, bán kính là nửa độ dài $AB$ — không cần thêm dữ kiện nào khác.
3
Tâm $I=\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{1+5}{2}\right)=(3;3)$ .
Tâm $I=\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{1+5}{2}\right)=(3;3)$.
4
$R=IA=\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2$ , nên $R^2=8$ .
$R=IA=\sqrt{(3-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2$, nên $R^2=8$.
5
Vậy phương trình đường tròn là $(x-3)^2+(y-3)^2=8$ .
Vậy phương trình đường tròn là $(x-3)^2+(y-3)^2=8$.

Đoạn AB đi đúng qua tâm I và có độ dài bằng hai lần bán kính — hình vẽ xác nhận trực quan kết quả vừa tính bằng đại số.

Câu 2 (tổ hợp – xác suất) — chọn nhiều phần tử từ hai nhóm

Ví dụ

Câu 2 — xác suất chọn đúng số bi mỗi màu

1
Một hộp có $5$ bi đỏ và $3$ bi xanh. Chọn ngẫu nhiên $4$ bi. Tính xác suất chọn được đúng $2$ bi đỏ.
Một hộp có $5$ bi đỏ và $3$ bi xanh. Chọn ngẫu nhiên $4$ bi. Tính xác suất chọn được đúng $2$ bi đỏ.
2
Chọn nhiều phần tử cùng lúc, không phân biệt thứ tự — công cụ đếm là tổ hợp, và xác suất là tỉ số giữa số cách thuận lợi và tổng số cách (xác suất cổ điển).
3
$n(\Omega)=C_8^4=70$ (chọn $4$ trong tổng $8$ bi).
$n(\Omega)=C_8^4=70$ (chọn $4$ trong tổng $8$ bi).
4
Đúng $2$ đỏ trong $4$ bi nghĩa là còn lại $2$ bi phải là xanh. Số cách: $C_5^2 \times C_3^2 = 10 \times 3=30$ .
Đúng $2$ đỏ trong $4$ bi nghĩa là còn lại $2$ bi phải là xanh. Số cách: $C_5^2 \times C_3^2 = 10 \times 3=30$.
5
$P=\dfrac{30}{70}=\dfrac{3}{7}\approx 0,43$ .
$P=\dfrac{30}{70}=\dfrac{3}{7}\approx 0,43$.
6
Vậy xác suất chọn được đúng $2$ bi đỏ (và do đó đúng $2$ bi xanh) là $\dfrac37$ .
Vậy xác suất chọn được đúng $2$ bi đỏ (và do đó đúng $2$ bi xanh) là $\dfrac37$.

Câu 3 (đại số) — bất phương trình tích ba nghiệm

Ví dụ

Câu 3 — bảng xét dấu ba nhân tử

1
Giải bất phương trình $(x-1)(x-2)(x-3) \ge 0$ .
Giải bất phương trình $(x-1)(x-2)(x-3) \ge 0$.
2
Vế trái là tích ba nhị thức đã ở dạng nhân tử — công cụ đúng là bảng xét dấu nhiều nhân tử, không cần biến đổi hay phân tích gì thêm.
3
Ba nghiệm $1, 2, 3$ chia trục số thành bốn khoảng. Hệ số bậc cao nhất dương nên dấu bắt đầu từ $+$ ở khoảng ngoài cùng bên phải: $x>3$ dấu $+$ ; $2<x<3$ dấu $-$ ; $1<x<2$ dấu $+$ ; $x<1$ dấu $-$ .
Ba nghiệm $1, 2, 3$ chia trục số thành bốn khoảng. Hệ số bậc cao nhất dương nên dấu bắt đầu từ $+$ ở khoảng ngoài cùng bên phải: $x>3$ dấu $+$; $2<x<3$ dấu $-$; $1<x<2$ dấu $+$; $x<1$ dấu $-$.
4
Yêu cầu tích $\ge 0$ ứng với các khoảng dấu $+$ , cộng thêm ba điểm làm tích bằng $0$ : tập nghiệm là $[1;2] \cup [3;+\infty)$ .
Yêu cầu tích $\ge 0$ ứng với các khoảng dấu $+$, cộng thêm ba điểm làm tích bằng $0$: tập nghiệm là $[1;2] \cup [3;+\infty)$.
5
Thay $x=1,5 \in [1;2]$ : $(0,5)(-0,5)(-1,5)=0,375>0$ , đúng. Thay $x=2,5$ (ngoài tập nghiệm): $(1,5)(0,5)(-0,5)=-0,375<0$ , không thỏa — khớp bảng xét dấu.
Thay $x=1,5 \in [1;2]$: $(0,5)(-0,5)(-1,5)=0,375>0$, đúng. Thay $x=2,5$ (ngoài tập nghiệm): $(1,5)(0,5)(-0,5)=-0,375<0$, không thỏa — khớp bảng xét dấu.

Câu 4 (tọa độ + hệ thức lượng) — hai công cụ nối tiếp

Câu này là ví dụ rõ nhất cho việc một bài toán tọa độ có thể cần đến công cụ của một mạch khác ngay sau bước đầu tiên: đề cho tọa độ ba đỉnh, nhưng câu hỏi lại là diện tích — một đại lượng hệ thức lượng vẫn xử lý được (Heron) miễn là đã biết đủ ba cạnh. Vậy quy trình đúng là dùng công cụ tọa độ (khoảng cách) để lấy ba cạnh, rồi chuyển sang công cụ hệ thức lượng (Heron) để lấy diện tích — không có công thức diện tích nào tính trực tiếp từ tọa độ ba đỉnh trong chương trình này.

Ví dụ

Câu 4 — từ tọa độ ba đỉnh đến diện tích bằng Heron

1
Cho ba điểm $A(0;0)$ , $B(6;0)$ , $C(3;4)$ . Tính diện tích tam giác $ABC$ .
Cho ba điểm $A(0;0)$, $B(6;0)$, $C(3;4)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.
2
Đề cho tọa độ nhưng không có công thức diện tích trực tiếp từ ba tọa độ trong chương trình đã học — phải tính ba cạnh bằng khoảng cách tọa độ trước, sau đó mới áp dụng Heron của hệ thức lượng.
3
$AB=\sqrt{(6-0)^2+(0-0)^2}=6$ . $AC=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{25}=5$ . $BC=\sqrt{(3-6)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ . (1)
$AB=\sqrt{(6-0)^2+(0-0)^2}=6$. $AC=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{25}=5$. $BC=\sqrt{(3-6)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. (1)
4
Theo (1), nửa chu vi $p=\dfrac{6+5+5}{2}=8$ . Diện tích $S=\sqrt{p(p-6)(p-5)(p-5)}=\sqrt{8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}=\sqrt{144}=12$ .
Theo (1), nửa chu vi $p=\dfrac{6+5+5}{2}=8$. Diện tích $S=\sqrt{p(p-6)(p-5)(p-5)}=\sqrt{8 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}=\sqrt{144}=12$.
5
Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng $12$ (đơn vị diện tích) — có được nhờ nối tiếp đúng hai công cụ của hai mạch kiến thức khác nhau.
Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng $12$ (đơn vị diện tích) — có được nhờ nối tiếp đúng hai công cụ của hai mạch kiến thức khác nhau.

Câu 5 (thống kê) — cùng trung bình, khác độ đồng đều

Câu cuối quay lại thống kê với một bẫy quen thuộc: hai mẫu có thể có CÙNG số trung bình nhưng khác hẳn về độ phân tán — và chỉ độ lệch chuẩn mới phát hiện được sự khác biệt đó, không phải trung bình.

Ví dụ

Câu 5 — so sánh hai lớp có cùng điểm trung bình

1
Điểm kiểm tra của $5$ học sinh lớp A: $6,7,7,7,8$ . Điểm của $5$ học sinh lớp B: $3,5,7,9,11$ . So sánh độ đồng đều của hai lớp.
Điểm kiểm tra của $5$ học sinh lớp A: $6,7,7,7,8$. Điểm của $5$ học sinh lớp B: $3,5,7,9,11$. So sánh độ đồng đều của hai lớp.
2
Câu hỏi "độ đồng đều" là câu hỏi về độ phân tán, không phải giá trị trung tâm — công cụ đúng là so sánh độ lệch chuẩn của hai mẫu, dù trung bình của chúng có thể giống nhau.
3
Lớp A: $\bar x_A=\dfrac{6+7+7+7+8}{5}=7$ . Lớp B: $\bar x_B=\dfrac{3+5+7+9+11}{5}=7$ . Hai lớp có CÙNG trung bình. (1)
Lớp A: $\bar x_A=\dfrac{6+7+7+7+8}{5}=7$. Lớp B: $\bar x_B=\dfrac{3+5+7+9+11}{5}=7$. Hai lớp có CÙNG trung bình. (1)
4
Lớp A: các độ lệch $-1,0,0,0,1$ , bình phương $1,0,0,0,1$ , phương sai $=\dfrac{2}{5}=0,4$ , độ lệch chuẩn $s_A=\sqrt{0,4}\approx 0,63$ . Lớp B: các độ lệch $-4,-2,0,2,4$ , bình phương $16,4,0,4,16$ , phương sai $=\dfrac{40}{5}=8$ , độ lệch chuẩn $s_B=\sqrt8\approx 2,83$ .
Lớp A: các độ lệch $-1,0,0,0,1$, bình phương $1,0,0,0,1$, phương sai $=\dfrac{2}{5}=0,4$, độ lệch chuẩn $s_A=\sqrt{0,4}\approx 0,63$. Lớp B: các độ lệch $-4,-2,0,2,4$, bình phương $16,4,0,4,16$, phương sai $=\dfrac{40}{5}=8$, độ lệch chuẩn $s_B=\sqrt8\approx 2,83$.
5
Theo (1), dù cùng trung bình $7$ , lớp A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn hẳn ( $0,63$ so với $2,83$ ), nên điểm số lớp A đồng đều hơn lớp B — lớp B có học sinh điểm rất cao lẫn rất thấp dù trung bình vẫn ở mức $7$ .
Theo (1), dù cùng trung bình $7$, lớp A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn hẳn ($0,63$ so với $2,83$), nên điểm số lớp A đồng đều hơn lớp B — lớp B có học sinh điểm rất cao lẫn rất thấp dù trung bình vẫn ở mức $7$.

Hai cột trung bình bằng nhau nhưng hai cột độ lệch chuẩn chênh lệch rõ rệt — đây chính là điều số trung bình một mình không thể hiện được.

Sai lầm thường gặp

Nhìn lại cả năm đề tổng hợp: sai lầm nguy hiểm nhất không phải là quên công thức, mà là áp công thức của mạch này cho câu hỏi của mạch khác — dùng Heron khi đã có sẵn góc xen giữa (thừa bước), quên đổi từ tọa độ ba đỉnh sang cạnh trước khi tính diện tích, hay so sánh hai mẫu chỉ bằng trung bình mà bỏ qua độ lệch chuẩn. Phòng chống sai lầm này không phải bằng cách học thêm công thức, mà bằng phản xạ luôn tự hỏi "đề đang cho loại dữ kiện gì" trước khi đặt bút.

Năm câu của đề cuối năm vừa đi qua đủ bốn mạch kiến thức của Toán 10: tọa độ (câu 1 và một nửa câu 4), tổ hợp – xác suất (câu 2), đại số (câu 3), hệ thức lượng (nửa còn lại của câu 4), và thống kê (câu 5) — đúng cấu trúc ma trận đề mà nhà trường dùng cho kỳ thi cuối năm, trộn đều các mạch thay vì xếp theo thứ tự chương học.

Mỗi khi làm một đề tổng hợp mới trong tương lai — đề giữa kỳ, cuối kỳ, hay đề luyện thi — quy trình năm bước đã nhắc ở đầu bài (đọc đề, nhận diện dạng bài, chọn công cụ, giải, kiểm tra) vẫn không đổi, dù nội dung cụ thể của từng câu có khác. Càng luyện nhiều đề tổng hợp, phản xạ nhận diện dạng bài càng nhanh, và thời gian dành cho việc "không biết bắt đầu từ đâu" càng ngắn lại.

Khép lại khóa ôn tập tổng hợp Toán 10: giá trị thật sự của việc luyện đề không nằm ở việc nhớ thêm công thức mới, mà ở phản xạ đọc dữ kiện — mấy ẩn, mấy cạnh, mấy góc, có tọa độ hay không, chọn hết hay chọn một phần — để tự quyết định công cụ trước khi đặt bút. Toàn bộ chín khóa học trước đã cho em đủ công cụ; khóa ôn tập này chỉ luyện lại đúng một kỹ năng: chọn đúng công cụ, đúng lúc, trong một đề không còn gắn nhãn theo bài học.